初级中学数学函数学习知识重点归纳.doc

-* 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+） 点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-） 点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-） 点P（x,y），则x＞0,y＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|， 点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。 点P（x,y）到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离： X轴上两点为A、B |AB| Y轴上两点为C、D |CD| 已知A、B AB|= 9、中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点,则：M=( , ) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）； 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、 定义域和值域： 定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、 函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减 单调增：y随x的增大而增大 单调减：y随x的增大而减小 口诀：“同增异减”， 注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的y与之对应时。 8、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 9、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 一次函数图象和性质 【知识梳理】 一、一次函数的基础知识 1、定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数 当b=0时，y=kx＋b即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 说明： ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数 2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) 3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而增大（单调增）；k<0，y随x而增大而减小（单调减） 5、必过点：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b中， ⑴当x=o,时，y= 所以，该函数经过（ ， ）点 ⑵当y=o,时，x= 所以，该函数经过（ ， ）点 所以，一次函数的图象是必经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。 6、一次函数图像的画法：两点法 ① 计算必过点（0，b）和（-，0） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线） 7、增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. 8、倾斜度(只与k相关)：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. 9、截点（与b有关）：（直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距） ①当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）； ②当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴） 10、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；口诀“正上” 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 口诀“负下” 例如：y=2x+3, 将直线 y=2x 的图象向 上 平移 3 个单位 y=2x-3, 将直线 y=2x 的图象向 下 平移 3 个单位 练习：y=5x-6,将直线 y=5x 的图象向 下 平移 6 个单位 注：一次函数y=kx+b图像的平移，只与b有关，将y=kx的图像平移，平移方向： b正上移，b负下移 11、一次函数的图象与性质 　 b>0 b<0 b=0（正比例函数） k>0 经过：第一、二、三象限 不经过：第四象限 经过：第一、三、四象限不经过：第二象限 经过：第一、三象限 不经过：第二、四象限 增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增 k<0 经过第一、二、四象限 不经过：第三象限 经过第二、三、四象限 不经过：第一象限 经过第二、四象限 不经过：第一、三象限 增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减 必过点：经过（，0）和（0，b）两点，正比例函数即是经过原点（0，0） 12、两直线之间的位置关系（平行或相交）： ①平行： ②相交：将两直线方程联立成一个方程组， ，解得结果，即为交点。 13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 14、 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。 15、【思想方法】数形结合 。巩固练习：试试画出y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1的图像 反比例函数图象和性质 【知识梳理】 一、反比例函数的基础知识 1、定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。 还可以写成 2、解析式：（为常数，） 注：反比例函数解析式的特征： ①等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ②比例系数 ③自变量的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0） ④函数的取值是一切非零实数。 3、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增） 4、反比例函数的图象：双曲线 （1）图像的画法：描点法 ① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） （3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的 几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分 别为A、B，则所得矩形OAPB的面积(阴影面积)为 . （由y＝变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k取绝对值。） 5、反比例函数性质如下表： k的符号 o y x k＞0 y x o k＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 增减性（单调性：单调区间内讨论） 在每一象限内，从左到右看，y随x的增大而减小 ； （-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调减 在每一象限内,从左到右看 y随x的增大而增大 （-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调增 图像的对称性 中心称图形，对称中心是原点； 同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 6、【思想方法】：数形结合 7、 二次函数图象和性质 【知识梳理】 一、二次函数的基础知识： 1．定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零． 二次函数的定义域（x的取值范围）：全体实数，R． 2. 解析式（表达式）：一般式：（，是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种） ①一般式：（，，为常数，）； ②顶点式：（，，为常数，）；[抛物线的顶点P（h，k）] ③两根式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. [仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即△≥0] 其中 (即一元二次方程求根公式) 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ⑵二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中． 3、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 4、二次函数图象的画法 五点绘图法： ① 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标; ② ②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 4、 二次函数的图像：抛物线 （1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） （2）抛物线有一个顶点P， 当=0时，P在y轴上；当Δ= =0时，P在x轴上。 5、 a.b.c与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项） y=5x2 y=x2 x y （1）a决定抛物线的开口方向和大小： 开口方向：a为正(a＞0)，开口朝上，有最小值； a为负(a＜0)，开口朝下，有最大值； 开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （2）a、b共同决定 的符号决定对称轴的位置，分两种情况： ①当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； ②当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。 概括的说就是“左同右异” （3）常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况： ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 6、抛物线与x轴交点个数 Δ= ＞0时，抛物线与x轴有2个交点。A（x1,0）和B（x2,0） Δ==0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P Δ= ＜0时，抛物线与x轴没有交点。 y △=0 x △＜0 y x △＞0 y x A B P 配图：开口向上(开口向下，情况类似) 7、类比一元二次方程的根的情况： 特别地，二次函数（以下称函数） 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 8、二次函数的图像和性质 ＞0 y x O ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x＝ 时， y有最 值，y 当x＝ 时， y有最 值，y 增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而　 y 随x的增大而　 在对称轴右侧 y随x的增大而　 y随x的增大而　 9. 应用： （1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它 10、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 函数y=kx+b(b>0)和y=(k≠0)，在同一坐标系中的图象可能是（ B ） A B C D 在一次函数y=2x-1的图象上，到两坐标轴距离相等的点有（ B ） A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个 若点（-2，y1）、（-1，y2）、（1，y3）在反比例函数的图像上， 则下列结论中正确的是（ D ） A、 y1>y2>y3 B、y1y1>y3 D、y3>y1>y2 已知一次函数y=(m2-4)x+1-m的图象在y轴上的截距与一次函数y=(m2-2)x+m2-3的图象在y轴上的截距互为相反数，则m=___-1____。