初级中学数学竞赛《圆》.doc

*- B1 I C1 A1 B C 2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（　　　） A、30　　　B、45　　　C、60　　　D、90 （第3题图） A B C D O Q P 3．（06）正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ） （A）（B） （C）（D） 5（07）已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（ ）． （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 10．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ． （第8题） C E I A D B 8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为　　　　。 9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（　　）。 A、　　B、1　　C、　　D、 1（04）．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值. （第4题） A B C O P E K 4．（06）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PEAC=CEKB． 6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切． 7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证： （1）； （2）△∽△． 11（10）．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题） ． （第12B题） （第12B题） 12（11）、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 初中数学竞赛《圆》历届考题 1（04）．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值. 解：连结AP，则， 所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分） ∴， 所以， ∴， …………………………（10分） A1 B C D A B1 C1 I 所以. …………………………（15分） 2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是 点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接 圆上，则∠ABC等于（　　　） A、30　　　B、45　　　C、60　　　D、90 答：C 解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以 点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID， 所以∠IBD＝30，同理，∠IBA＝30，于是，∠ABC＝60 （第3题图） A B C D O Q P 3．（06）正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ） （A）（B） （C）（D） 答：D． 解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m， QA=r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD． 即 (r－m)(r＋m)=mQD ，所以 QD=．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以， （第4题） A B C O P E K 4．（06）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PEAC=CEKB． 证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线， 所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是 △KPE∽△KAP， 所以 ， 即 ． 由切割线定理得 所以 ． …………………………10分 因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是 故 ， 即 PEAC=CEKB． ………………………………15分 5（07）已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（ ）． （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）． 解： 如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以， 均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等， 且为两圆的公共弦，所以． （第3题答案图） 于是，． 若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心．故选（B）． 6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切． （第13A题答案图） 证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，． ……………5分 两式相减可得， 又 ， 于是有 ，即， 所以，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切． 7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证： （1）； （2）△∽△． 证明：（1）连接PE，PF，PG，因为， 所以． 又因为，所以△∽△， 于是有 ，从而△∽△，所以．又已知，所以，． ………………10分 （2）由于，结合（1）知，△∽△，从而有 ，所以，因此△∽△． ………………15分 A B C D E I r ha （第8题） 8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为　　　　。 解：如图，设△ABC的三边长为， 内切圆l的半径为r，BC边上的高为，则 ，所以， 因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此 所以DE＝ 故　DE＝。 9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（　B　）。 A B C O D E （第9题） A、　　B、1　　C、　　D、 解：如图，连接OE，OA，OB，设∠D＝，则 ∠ECA＝120－＝∠EAC 又因为∠ABO＝ 所以　△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1 10．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ． 解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．由题设知，，在△FHA和△EFA中，， （第10题） 所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， .而，所以. 11（10）．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题） ． （第12B题） （第12B题） 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以 ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则 （第11题） ， 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得 ， 从而 ， 所以 . …………（20分） A B C H P D Q 12（11）、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 证明：如图，延长AP交⊙于点Q 连结AH，BD，QC，QH ∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900 ∴BQ为⊙的直径 于是CQ⊥BC，BH⊥HQ ∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC ∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形 则点P为CH的中点。