苏科版八年级上册第二章轴对称图形线段和最值问题（有答案）.docx

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1、八上第二章线段和最值问题班级 姓名 得分 一、选择题1. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 122. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若CDM周长的最小值为8，则ABC的面积为A. 12B. 16C. 24D. 323. 如图，在ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若

2、点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（） A. 7B. 72C. 9D. 1124. 如图，MON=90，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作MAB与ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF的最小值为（）A. 2B. 4C. 2D. 3二、填空题5. 如图，等腰ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为_6. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，

3、AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_7. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_8. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_cm9. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一

4、动点，则的周长的最小值为_10. 如图，四边形ABCD为菱形，C=120，AB=4，H为边BC上的动点，连接AH，作AH的垂直平分线GF交CD于F点，则线段GF 的最小值为 11. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_12. 如图，在锐角ABC中，AB=43 ,BAC=60,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为13. 如图，在锐角ABC中，AB=32,BAC=45,BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和

5、AB上的动点，则BM+MN的最小值是_14. 15. 如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，AC6，若点P是AD上一动点，且作PNAC于点N，则PNPC的最小值是_三、解答题16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_17. 如图，BD是ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G，连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;(2)若ABC=30,C=45,ED=210，点H是BD上的一个动点，求HG

6、+HC的最小值.18. 如图，在ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB（1）若ABC=70，则NMA的度数是_度（2）若AB=8cm，MBC的周长是14cm求BC的长度；若点P为直线MN上一点，请你直接写出PBC周长的最小值19. 如图已知EFGH，ACEF于点C，BDEF于点D交HG于点KAC=3，DK=2，BK=4（1）若CD=6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD=132，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】 此题考查了线

7、段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键连接AD，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论【解答】解：如图，连接AD， ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ADBC， SABC=12BCAD=124AD=16，解得AD=8， EF是线段AC的垂直平分线， 点C关于直线EF的对称点为点A， AD的长为CM+MD的最小值， CDM的周长最短=（CM+MD）

8、+CD=AD+12BC=8+124=8+2=10 故选C2.【答案】A【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键连接AD，根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，从而得到AD长，由等腰三角形三线合一的性质可得AD为BC边上的高，最后由三角形面积公式求得答案.【解答】解：连接AD，EF是线段AC的垂直平分线，点C关于直线EF的对称点为点A，CDM的周长为CM+DM+CD，AD的长为CM+MD的最小值，CD=2，AD=6，AB=AC，D为BC

9、中点，ADBC，ABC的面积为462=12.故选A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.连接AD，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.【解答】解：连接AD，ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=14，解得AD=7，EF是线段AB的垂直平分线，点B关于直线EF的对称点为点A，AD的长为CM+MD的最小值

10、，CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=7+124=7+2=9.故选C.4.【答案】C【解析】【分析】作FCOB于C，FDOA于D，FEAB于E，由角平分线的性质得出FD=FC，证出点F在MON的平分线上，BOF=45，在点A在运动过程中，当OFAB时，BF最小，OBF为等腰直角三角形，即可得出BF=22OB=2【解答】解：作FCOB于C，FDOA于D，FEAB于E，如图所示：MAB与ABN的角平分线AF与BF交于点F，FD=FE，FE=FC，FD=FC，点F在MON的平分线上，BOF=45，在点A在运动过程中，当OFAB时，F为垂足，BF最小，此时，OBF为等腰直角三角形，

11、BF=22OB=2；故选C5.【答案】9【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质，轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出AD的长为CM+MD的最小值是解题的关键，先做C点关于EF的对称点A，连接AD交EF于M，此时CM+MD的值最小，求出周长即可.【解答】解：连接AD，ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=14，解得AD=7，EF是线段AB的垂直平分线，点B关于直线EF的对称点为点A，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=7+124=8+2=9故答案为96.【答案】8【解析】【分析】连接AD交EF与点

12、M，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键【解答】解：连接AD交EF与点M，连结AMABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=12，解得AD=6，EF是线段AB的垂直平分线，AM=BMBM+MD=MD+AM当点M位于点M处时，MB+MD有最小值，最小值6BDM的周长的最小值为DB+AD=2+

13、6=8故答案为8.7.【答案】8【解析】【分析】连接AD交EF与点M，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键【解答】解：连接AD交EF与点M，连结AMABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=12，解得AD=6，EF是线段AB的垂直平分线，AM=BMBM+MD=MD+AM当点M位于点M处时，

14、MB+MD有最小值，最小值6BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=88.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是轴对称 -最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键连接AD，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论【解答】解：如图，连接AD， ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=12，解得AD=6cm，EF是线段AB的垂直平分线，点B关于直线EF的对称点为点A

15、，AD的长为BM+MD的最小值，BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+12BC=6+124=6+2=8cm故答案为89.【答案】8【解析】【分析】连接AD交EF与点M，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长【解答】解：连接AD交EF与点M，连结AM.ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=12，解得AD=6，EF是线段AB的垂直平分线，AM=BM.BM+MD

16、=MD+AM.当点M位于点M处时，MB+MD有最小值，最小值6.BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8.故答案为8.10.【答案】3【解析】【分析】这是一道考查菱形的性质以及线段垂直平分线的性质的题目，解题关键在于知道当AHBC时，GF最短，即可求出答案.【解答】解：连接AF、HF，则当AH最短时，GF最小，此时AHBC ，AHAB，GF为AH的垂直平分线，G为AH中点，F为CD中点，GF=12AD+HC=3.故答案为3.11.【答案】8【解析】解：连接AD交EF与点M，连结AMABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=12，解得AD=6，EF

17、是线段AB的垂直平分线，AM=BMBM+MD=MD+AM当点M位于点M处时，MB+MD有最小值，最小值6BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8连接AD交EF与点M，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键12.【答案】6【解析】【分析】本题考查了轴对称的应用易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进

18、行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，BAC的平分线交BC于点D，EAM=NAM，在AME与AMN中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AMEAMN（SAS），ME=MNBM+MN=BM+MEBEBM+MN有最小值当BE是点B到直线AC的距离时，BEAC，又AB=43，BAC=60，此时，在RtABE中，得出BE=6，即BE取最小值为6，BM+MN的最小值是6故答案为6.13.【答案】3【解析】解：如图，在AC上截

19、取AE=AN，连接BEBAC的平分线交BC于点D，EAM=NAM，在AME与AMN中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AMEAMN（SAS），ME=MNBM+MN=BM+MEBEBM+MN有最小值当BE是点B到直线AC的距离时，BEAC，又AB=32，BAC=45，此时，ABE为等腰直角三角形，BE=3，即BE取最小值为3，BM+MN的最小值是3故答案为3从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值本题考查了轴对称的应用易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为

20、点到直线的距离而导致错误规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点14.【答案】322【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角的平分线的性质，勾股定理以及直角三角形的性质解题关键是根据角平分线的性质和垂线段最短得出CE的长是PN+PC的最小值作CEAB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在RtACE中利用勾股定理求解即可【解答】解：作CEAB于点E，交AD于P点，AD是BAC的平分线，PNAC，CEAB，PN=PE，PNPC=PE+PC=CE，根据“垂线段最短”可知CE的长就是PN+PC的最小值在RtACE中，BAC60，AC6，AE=12

21、AC=62，由勾股定理得：CE=322故答案是32215.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查三角形周长的知识，关键是知道线段垂直平分线的性质，知道等腰三角形的性质.【解答】解：连接AD交EF与点M，连结AMABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=12BCAD=124AD=12，解得AD=6，EF是线段AB的垂直平分线，AM=BMBM+MD=MD+AM当点M位于点M处时，MB+MD有最小值，最小值6BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8故答案为8.16.【答案】解：（1）四边形EBGD是菱形理由：EG垂直平分BD，EB=ED，GB=GD，EBD=EDB，EBD=DB

22、C，EDF=GBF，在EFD和GFB中，EDF=GBFEFD=GFBDF=BF，EFDGFB，ED=BG，BE=ED=DG=GB，四边形EBGD是菱形（2）作EMBC于M，DNBC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RTEBM中，EMB=90，EBM=30，EB=ED=210，EM=12BE=10，DEBC，EMBC，DNBC，EMDN，EM=DN=10，MN=DE=210，在RTDNC中，DNC=90，DCN=45，NDC=NCD=45，DN=NC=10，MC=310，在RTEMC中，EMC=90，EM=10MC=310，EC=EM2+MC2=(10)2+(310)2=10HG

23、+HC=EH+HC=EC，HG+HC的最小值为10【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.（1）结论四边形EBGD是菱形只要证明BE=ED=DG=GB即可；（2）作EMBC于M，DNBC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RTEMC中，求出EM、MC即可解决问题.17.【答案】（1）50（2）614【解析】解：（1）AB=AC，C=ABC=70，A=40，AB的垂直平分线交AB于点N，ANM=90，NMA=50，故答案为：50；（2）MN是AB的垂直平分线，A

24、M=BM，MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，AB=8，MBC的周长是14，BC=14-8=6；当点P与M重合时，PBC周长的值最小，理由：PB+PB=PA+PC，PA+PCAC，P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解，当点P与M重合时，PBC周长的值最小，于是得到结论本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性

25、质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键18.【答案】解：（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM设DM=x在RtACM中，AM2=AC2+CM2=32+（6-x）2，在RtBDM中，BM2=DM2+BD2=x2+62，AM=MB，32+（6-x）2=x2+62，解得x=34，CM=CD-MD=6-34=214（2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A，点B关于直线EF的对称点B，连接AB交GH于点P，交EF于点Q，作BHCA交CA的延长线于H则此时AP+PQ+QB的值最小根据对称的性质可知：PA=PA，

26、QB=QB，PA+PQ+QB=PA+PQ+QB=AB，PA+PQ+PB的最小值为线段AB的长，在RtABH中，HB=CD=132，HA=DB+CA=7+6=13，AB=HA2+BH2=132+(132)2=1325，AP+PQ+QB的最小值为1325【解析】（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM设DM=x根据MA=MB构建方程即可解决问题；（2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A，点B关于直线EF的对称点B，连接AB交GH于点P，交EF于点Q，作BHCA交CA的延长线于H则此时AP+PQ+QB的值最小最小值为线段AB的长；本题考查轴对称-最短问题，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题