八年级数学导报标准答案.doc

-/ 第1期有效学案参考答案 第1课时 11.1全等三角形 【检测1】C. 【检测2】△ABO，△CDO. 【检测3】BD和CE，AD和AE是对应边，∠A和∠A，∠ADB和∠AEC，∠B和∠C是对应角. 【问题1】（1）由AC∥DE，AB∥DF，得 ∠C＝∠DEF，∠F＝∠ABC， 所以对应边是AC与DE，AB与DF，CB与EF； 对应角是∠ACB与∠DEF，∠ABC与∠DFE，∠CAB与∠EDF； （2）由AC是∠BAD的平分线，得∠BAC＝∠DAC，所以对应边是AB与AD，AC与AC，BC与DC，对应角是∠ABC与∠ADC，∠BCA与∠DCA，∠BAC与∠DAC. 【问题2】因为△ABC≌△DEF， 所以∠B＝∠E，∠C＝∠F，∠A＝∠D，DF＝AC＝2cm. 因为∠B＝50，∠C＝70， 所以∠A＝180－50－70＝60，∠D＝∠A＝60. 1．D. 2．7． 3．OA＝OC，AB＝CD，OB＝OD，∠B＝∠D，∠AOD＝∠COB. 4．C． 5．（1）对应边是FG和MH，EF和NM，EG和NH； 对应角是∠E和∠N，∠EGF和∠NHM; （2）根据全等三角形的性质，得NM＝EF＝2.4cm， HG＝FG－FH＝MH－FH＝3.5－1.9＝1.6cm. 6．∠CAE＝∠BAD，理由如下： 由旋转可知△ABC≌△ADE， 所以∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， 所以∠CAE＝∠BAD. 7．（6）；（3），（5）. 8．因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC－∠EAC＝∠DAE－∠EAC， 所以∠BAE＝∠DAC， 因为∠BAD＝100，∠CAE＝40， 所以∠BAE＝∠DAC＝＝30， 所以∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝30＋40＝70. 9．BM∥EN，理由如下： 因为△ABC≌△FED， 所以∠ABC＝∠FED，∠ACB＝∠FDE， 又因为∠ABM＝∠FEN， 所以∠ABC－∠ABM＝∠FED－∠FEN， 即∠MBC＝∠NED， 又因为∠ACB＝∠FDE， 所以∠BMC＝∠END，所以BM∥EN. 10．B. 11．（1）由已知条件可知∠BAD＝∠CAE， 所以∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，所以∠BAE＝∠CAD； （2）由已知条件可知BD＝CE，所以BD＋DE＝CE＋DE，所以BE＝CD. 第2课时 11.2三角形全等的判定（1） 【检测1】B. 【检测2】AB＝DC. 【检测3】∵AD＝FC， ∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD. 在△ABC和△FED中， ∴△ABC≌△FED（SSS）. 【问题1】在△ABC与△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（SSS）. ∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC. ∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB. ∴∠1＝∠2. 【问题2】有道理，理由如下： 在△ACB与△ACD中， ∴△ACB≌△ACD（SSS）. ∴∠BAC＝∠DAC，即AE是∠DAB的平分线. 1．D. 2．△ADC，△BCD；△ABD，△BAC. 3．AD⊥BC符合要求，理由如下： ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ADB＝∠ADC. 又∵∠ADB＋∠ADC＝180， ∴∠ADB＝∠ADC＝90. ∴AD⊥BC. 4．D． 5．∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF.∴AC＝DF. 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. ∴∠A＝∠D. ∴AB∥DE. 6．在△ADC与△AEB中， ∴△ADC≌△AEB（SSS）. ∴∠DAC＝∠EAB. ∴∠DAC－∠BAC＝∠EAB－∠BAC. ∴∠DAB＝∠EAC. ∵△ADC≌△AEB， ∴∠B＝∠C. ∴∠B＋∠BAC＝∠C＋∠BAC. ∴∠BMC＝∠CNB. 7．4． 8．连接AC，在△ADC与△CBA中， AB＝CD，AD＝CB，AC＝CA， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， ∴∠ACD＝∠CAB， ∴AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180. 9．因为所作三角形的一边DE等于已知△ABC的一边BC，则有下列情况： 如图（1）中，DE＝BC，DM＝BA，ME＝AC；如图（2）中，DE＝BC，DM＝CA，ME＝AB；如图（3）中，DE＝BC，DM＝BA，ME＝AC；如图（4）中，DE＝BC，DM＝CA，ME＝AB.故这样的三角形最多可以画出4个. 10．连接BD，在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SSS）. ∴∠C＝∠A. 11．在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SSS）. ∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠ADB＋∠CDB＝∠AEC＋∠BEC＝180， ∴∠CDB＝∠BEC. 第3课时 11.2三角形全等的判定（2） 【检测1】SAS. 【检测2】BC＝DC，SSS；∠BAC＝∠DAC，SAS. 【检测3】在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）. 【问题1】证明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E. 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED（SAS）. ∴AC＝CD. 【问题2】AB∥CF.理由如下： 在△AED与△CEF中， ∴△AED≌△CFE（SAS）. ∴∠A＝∠FCE. ∴AB∥CF. 1．B. 2．B，C；AB，CD. 3．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE. ∴∠BAC＝∠DAE. 在△BAC与△DAE中， ∴△BAC≌△DAE（SAS）. ∴BC＝DE. 4．90. 5．∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴AD＝AC，AE＝AB. 又∵AB＝AC，∴AE＝AD. 在△ADB与△AEC中， AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）. ∴BD＝CE. 6．（1）∵C为BD的中点， ∴CD＝CB. 在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC（SAS）. ∴AB＝ED. （2）∵CD＝140m，∴CB＝140m. 在△ACB中，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以（140－100）m＜AB＜（140＋100）m，即40m＜AB＜240m. 7．D. 8．相等，理由如下： 在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SSS）. ∴∠BAC＝∠DAC. 在△BAE与△DAE中， ∴△BAE≌△DAE（SAS）. ∴BE＝DE. 9．（1）△ABE≌△ACD，证明如下： ∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. ∴△ABE≌△ACD（SAS）. （2）证明：由（1）△ABE≌△ACD，知 ∠ACD＝∠ABE＝45. 又∠ACB＝45， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90， ∴DC⊥BE. 10．A. 11．证明：在△AOC与△BOC中， ∵AO＝BO，∠1＝∠2，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC，∴AC＝BC. 第4课时 11.2三角形全等的判定（3） 【检测1】D. 【检测2】AOB，COD. 【检测3】在△ACB与△ADB中， ∴△ACB≌△ADB（AAS）. ∴AC＝AD. 【问题1】证明：∵AC∥DF，∴∠ACE＝∠DFB. 又∵∠ACE＋∠ACB＝180，∠DFB＋∠DFE＝180，∴∠ACB＝∠DFE. 又BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF. 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. ∴AB＝DE. 【问题2】证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（ASA）. ∴AB＝AD. 又∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ABO≌△ADO（SAS）. ∴BO＝DO. 1．D. 2．∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D. 3．∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD. ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED（AAS）. ∴AB＝AE. 4．B. 5．∵点O为AB的中点，∴AO＝BO. ∵AD∥BC， ∴∠ADO＝∠BEO，∠DAO＝∠EBO. 在△AOD与△BOE中， ∴△AOD≌△BOE（AAS）. ∴OD＝OE. 6．∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠DEC＝∠BFA＝90. 在△BFA与△DEC中， ∴△BFA≌△DEC（ASA）. ∴AF＝CE. ∴AF＋EF＝CE＋EF. ∴ AE＝CF. 7．1. 8．OM＝ON成立．理由是： ∵△BOD绕点O旋转180后得到△AOC， ∴△BOD≌△AOC． ∴∠A＝∠B，AO＝BO． 又∵∠AOM＝∠BON， ∴△AOM≌△BON(ASA)． ∴OM＝ON． 9．（1）△ACD≌△CBE，证明： ∵∠ACB＝90，∴∠ACD＋∠BCE＝90. 又∵AD⊥，∴∠CAD＋∠ACD＝90. ∴∠BCE＝∠CAD. ∵BE⊥，∴∠ADC＝∠CEB＝90. 在△ACD与△CBE中， ∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB，AC＝CB， ∴△ACD≌△CBE（AAS）. （2）由（1）可知△ACD≌△CBE， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE＝3＋5＝8. 10．C. 11．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF. ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 在△ABC与△DEF中， ∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. 11.1~11.2（1）测试题 基础巩固 一、精挑细选，一锤定音 1．D．2．D．3．C．4．D．5．D． 6．C．提示：A中的条件不能构成三角形；B中的条件可画出两个三角形；D中的条件可画出无数个三角形． 二、慎思妙解，画龙点睛 7．4．8．CD=CB或∠DAC=∠BAC．9．65． 10．22． 提示：先证△ABC≌△DCB，则∠A＝∠D＝78，∠ABC＝180－(∠A＋∠ACB)＝62．∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝22． 三、过关斩将，胜利在望 11．解：依题意，∠B＝∠C＝30． ∴∠BFC＝∠A＋∠B＝80， ∴∠BOC＝∠BFC＋∠C＝110． 12．证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠B＝∠E＝90． ∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF． 又∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． ∴∠A＝∠D． 13．证明：∵OA＝OB，OC＝OD，AC＝BD， ∴△OAC≌△OBD(SSS)． ∴∠AOC＝∠BOD． ∴∠AOC－∠BOC＝∠BOD－∠BOC， 即∠AOB＝∠COD． ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90． ∴∠COD＝90，即OC⊥OD． 14．(1)如果①、③，那么②或如果②、③，那么①； (2)下面选择“如果①、③，那么②”加以证明． 证明：∵BE∥AF， ∴∠AFD＝∠BEC． 又∵∠A＝∠B，AD＝BC， ∴△ADF≌△BCE(AAS)． ∴DF＝CE． ∴DF－EF＝CE－EF，即DE＝CF． 15．（1）∵∠ABC＝90，点F为AB延长线上一点， ∴∠ABC＝∠CBF＝90. 在△ABE与△CBF中， ∴△ABE≌△CBF（SAS）. ∴AE＝CF. （2）由题意知，△ABC和△EBF都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠EFB＝45. ∵∠CAE＝30， ∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝30＋45＝75. 由（1）知△ABE≌△CBF， ∴∠CFB＝∠AEB＝75， ∴∠EFC＝∠CFB－∠EFB＝75－45＝30. 能力提高 1．①②③． 2．证明：∵∠AEC=180-∠DEC=100，∠ADB=100， ∴∠AEC=∠ADB． ∵∠BAD+∠CAE=80，∠ACE+∠CAE=∠CED=80， ∴∠BAD=∠ACE． 又∵AB=AC， ∴△ABD≌△CAE(AAS) ． ∴AD=CE，AE=BD． ∴ED=AD-AE=CE-BD． 3．全等三角形还有： △AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CB′E. 选△AA′E≌△C′CF进行说明. ∵AD＝CB，∠D＝∠B＝90，AB＝CD， ∴△ABC≌△CDA（SAS）. 由平移的性质可得∴△A′B′C′≌△ABC. ∴△A′B′C′≌△ABC≌△CDA， ∴∠A＝∠C′，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）. 4．（1）∵∠A＋∠APB＝90，∠APB＋∠QPC＝90， ∴∠A＝∠QPC. （2）当BP＝3时，PC＝BC－BP＝2＝AB，则△BAP≌△CPQ（ASA），∴PA＝PQ.当BP＝7时，点P在C的延长线上，如图所示，则PC＝BP－BC＝2＝AB.则△BAP≌△CPQ（ASA），∴PA＝PQ，综上可知，当BP＝3或BP＝7时，PA＝PQ. A B Q C P 第2期有效学案参考答案 第5课时11.2三角形全等的判定（4） 【检测1】斜边、直角边，HL. 【检测2】SSS，SAS，ASA，AAS；HL． 【检测3】A. 【问题1】（1）∵AB⊥AC，AC⊥DC， ∴∠BAC＝∠DCA＝90. 在Rt△BAC与Rt△DCA中， ∴Rt△BAC≌Rt△DCA（HL）. （2）由（1）知Rt△BAC≌Rt△DCA（HL）， ∴∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC. 【问题2】∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）. ∴AB＝DE. 1． AB＝AC. 2. ∵AB⊥BC，ED⊥DC，∴∠B＝∠D＝90. ∵点C是BD的中点，∴BC＝DC. 在Rt△ABC与Rt△EDC中， ∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）. ∴ AB=ED. 3．CB＝DA，理由如下： 由题意易知AC＝BD. ∵CB⊥AB，DA⊥AB，∴∠DAB＝∠CBA＝90. 在Rt△DAB与Rt△CBA中， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA（HL）. ∴DA＝CB. 4．2. 5．证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE. 又∵∠C＝∠F＝90，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． ∴∠ABC＝∠DEF． ∴BC∥EF． 6．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90. 又∵点D是BC的中点，∴BD＝CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）. 7．D. 8．∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠ACB＝∠DFE＝90. 又∵EC＝BF，∴EC＋EB＝BF＋EB，∴CB＝FE. 在Rt△ACB与Rt△DFE中， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL）.∴AC＝DF. 在△ACE与△DFB中， ∴△ACE≌△DFB（SAS）. ∴AE＝DB. 9．答案不唯一，如AD＝AE，AB＝AC，AD⊥DC，AE⊥BE，求证：AM＝AN. 证明：∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D＝∠E＝90. 又∵AD＝AE，AB＝AC， ∴Rt△ADC≌Rt△AEB. ∴∠C＝∠B. ∵∠CAM＝∠BAN，AC＝AB， ∴△CAM≌△BAN（ASA）. ∴AM＝AN. 10．由题意可知：∠A＝∠D＝90，AB＝CD，EG＝FG， 又∵点E，F分别是AB，DC的中点， ∴AE＝AB，DF＝DC，∴AE＝DF. 在Rt△AGE与Rt△DGF中， ∴Rt△AGE≌Rt△DGF（HL）. ∴AG＝DG，即G是AD的中点. 11．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠DCE＝90. ∴∠A＋∠B＝90. 在Rt△ACB和Rt△DCE中， ∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL）， ∴∠A＝∠D， ∴∠D＋∠B＝90. ∴DE⊥AB. 第6课时11.2三角形全等的判定习题课 【检测1】D. 【检测2】答案不唯一，如∠A＝∠D或AC＝DF等. 【检测3】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠ABC＝∠DCB. 在△ABC与△DCB中， ∠4＝∠3，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB， ∴△ABC≌△DCB（ASA）. ∴AB＝CD. 【问题1】∠BAD＝∠CAD，理由如下： ∵AE＝AB，AF＝AC，AB＝AC，∴AE＝AF. 又∵OE＝OF，AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF（SSS）. ∴∠EAO＝∠FAO，即∠BAD＝∠CAD. 【问题2】如图，在AF上截取AG=AD，连接EG,EF. 在△ADE和△AGE中， ∴△ADE≌△AGE(SAS). ∴DE=GE, ∠AGE=∠ADE=90. ∵DE=CE, ∴CE=GE. 在Rt△EGF和Rt△ECF中， ∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL). ∴GF=CF. ∵AF=AG+GF, ∴AF=AD+CF. 1．D. 2．答案不唯一，如AE＝BF或DE＝CF等. 3．∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线， ∴∠BOP＝∠DOP，∠AOP＝∠COP， ∴∠AOP－∠BOP＝∠COP－∠DOP， ∴∠AOB＝∠COD. 在△AOB与△COD中， ∴△AOB≌△COD(SAS). ∴AB＝CD. 4．B. 5．(1)证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE． 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE(SAS) ． （2）∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠C． ∴∠COB＝∠B＋∠E＝∠C＋∠E＝∠1＝60． 6．（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠C. 又∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDF， ∴△BGD≌△CFD(AAS)，∴BG＝CF. （2）BE＋CF＞EF， 证明：由△BGD≌△CFD，得GD＝FD，BG＝CF. 又∵DE⊥GF，ED＝ED，∴△EDG≌△EDF(SAS)， ∴EG＝EF. 在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF. 7．1m. 8．(4，－1)，(－1，3)或(－1，－1) ． 9．在EA上截取EF＝EB，连接FC. ∵CE⊥AB，∴∠FEC＝∠BEC＝90. 又∵EC＝EC，∴△CFE≌△CBE（SAS）. ∴∠B＝∠CFE. 又∵∠CFE＋∠AFC＝180，∠B＋∠D＝180， ∴∠CFA＝∠D. 又∵∠FAC＝∠DAC，AC＝AC， ∴△AFC≌△ADC（AAS）. ∴AF＝AD. 又∵AE＝AF＋EF，EF＝EB，∴AE＝AD＋BE. 10．答案不唯一，如AB＝DC或AF＝DE等. 11．图中∠CBA＝∠E. 证明：∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE. ∵AC∥DF，∴∠A＝∠FDE. 又∵AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠CBA＝∠E. 第7课时11.3角的平分线的性质（1） 【检测1】C. 【检测2】相等，角的平分线上. 【检测3】(1)成立，因为由“AAS”可证△OPD≌△OPE，可得PD=PE； (2)成立，因为由“HL”可证△OPD≌△OPE，得∠DOP=∠EOP． 【问题1】作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90，∴DC⊥AC. 又∵AD为∠BAC的角平分线，∴DC＝DE. ∵BC＝64，BD:DC＝9:7， ∴DC＝64＝28，∴DE＝28. 【问题2】∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 在△DEB与△DFC中， ∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD＝90，DE＝DF， ∴△DEB≌△DFC（AAS）. ∴BD＝CD. 1．B． 2．C． 3．MD⊥OA且ME⊥OB． 4．55. 5．连接AD，在△ABD和△ACD中， AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. 6．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90. ∵BE＝CF，DB＝DC， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）. ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线. 7．C. 8．PD＝PC. 证明：过点P作PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E， ∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF. ∵∠CPF＋∠FPD＝90，∠DPE＋∠FPD＝90， ∴∠DPE＝∠CPF. 在△PDE和△PCF中， ∠DPE＝∠CPF，PE＝PF，∠DEP＝∠CFP， ∴△PDE≌△PCF（ASA）， ∴PD＝PC. 9．（1）∵∠C＝90，∴DC⊥AC. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴DC＝DE. 在Rt△DCF与Rt△DEB中， DF＝DB，DC＝DE， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴CF＝EB. （2）AE＝AF＋EB，理由如下： ∵CE=DE，AD=AD, ∠C=∠DEA=90， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC＝AE. 又∵AC＝AF＋CF＝AF＋EB， ∴AE＝AF＋EB. 10．D. 11．(1)如图； (2)轮船航行时没有偏离预定航线.理由如下： ∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OPA≌△OPB(SSS)． ∴∠AOP＝∠BOP，即点P在∠AOB的平分线上． 故轮船航行时没有偏离预定航线． 第8课时11.3角的平分线的性质（2） 【检测1】C. 【检测2】在三角形内部分别作出两条角平分线，其交点O就是小亭的中心位置，如图1所示. A B C O 图1 【问题1】过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为点D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD＝PE. 同理PE＝PF. ∴PD＝PF，∴点P在∠BAC的平分线上. 【问题2】过点E作EF⊥AB，垂足为点F．则 EC＝EF． ∵ED＝EC，∴ED＝EF． ∵ED⊥AD，EF⊥AB，∴AE平分∠BAD． 1．B．2．C．3．4．4．D． 5．过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足点E，F. ∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∴＝＋＋ ＝ABOE＋ACOF＋BCOD ＝（AB＋AC＋BC）OD＝242＝24. 6．∵PC⊥AC，PB⊥AB，PB＝PC， ∴AP平分∠BAC，即∠BAP＝∠CAP. ∵∠BAP＋∠BPA＝90，∠CAP＋∠CPA＝90， ∴∠BPD＝∠CPD. 在△PBD和△PCD中， PB＝PC，∠BPD＝∠CPD，PD＝PD， ∴△PBD≌△PCD（SAS），∴∠BDP＝∠CDP. 7．120. 8．⑴作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P为符合要求的点，如图2所示，作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点F，E，G. 证明：∵AP是∠BAC的平分线，∴PE＝PG. ∵CP是∠ACB的平分线，∴PF＝PG，∴PE＝PG＝PF. A G C F B E P 图2 ⑵连接BP，设PE＝PG＝PF＝， ∵， ∴ABBC＝AB＋AC＋BC. ∴724＝（7＋24＋25）.　　　 ∴，即这个距离为3. 9．（1）作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA. 在Rt△OMB和Rt△ONC中， ∵OM＝ON，OB＝OC， ∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），∴∠B＝∠C. 又∵OM⊥AB，ON⊥A，OM＝ON，∴∠MAO＝∠NAO. 在△ABO和△ACO中， ∵∠B＝∠C，∠BAO＝∠CAO，OA＝OA， ∴△ABO≌△ACO（AAS）.∴AB＝AC. （2）作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA， 在Rt△OMB和Rt△ONC中， ∵OB＝OC，OM＝ON， ∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），∴∠MBO＝∠NCO. ∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM＝ON，∴∠BAO＝∠CAO. ∵∠MBO＝∠NCO，∠BAO＝∠CAO，OA＝OA， ∴△ABO≌△ACO（AAS），∴AB＝AC. 10．＝. 11．过点D作DF⊥BC于点F. ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴DF＝DE＝2cm.又AB＝9cm，BC＝6cm， ∴＝ABDE＝92＝9（cm2）， ＝BCDF＝62＝6（cm2）. ∴＝＋＝9＋6=15（cm2）. 11.2（2）~11.3测试题 基础巩固 一、精挑细选，一锤定音 1．B．2．C．3．B．4．A．5．A．6．B． 二、慎思妙解，画龙点睛 7．HL．8．15．9．5．10．4处． 三、过关斩将，胜利在望(共50分) 11．提示：∠AOB的平分线与MN的交点即为所求作的点C． 12．提示：先用“HL”证明Rt△AEF≌Rt△BCD，从而得到AF＝BD，进而得到AD＝BF． 13．证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N， ∵△DEB与△DFC的面积相等，BE＝CF， ∴DM＝DN． ∴AD平分∠BAC． 14．BF＝CG.理由如下：连接EB，EC， ∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠CDE＝90. 在△BDE与△CDE中， BD＝CD，∠BDE＝∠CDE，DE＝DE， ∴△BDE≌△CDE（SAS）. ∴EB＝EC. ∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAC， ∴EF＝EG. 在Rt△BEF与Rt△CEG中， ∴Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）. ∴BF＝CG. 15．⑴△CDF， 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90. 又∵BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ⑵∵AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）. ∴AE＝AF. 又∵AE＝6cm，∴AF＝6cm. ∵AC＝4cm，∴CF＝AF－AC＝2cm. 由⑴可得Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE＝CF＝2cm. 能力提高 1．A． 2．互补. 理由如下： 作CH⊥AD交其延长线于点H， ∵CE⊥AB，∴∠AHC＝∠AEC＝90. 又AC平分∠BAD，∴∠CAH＝∠CAE. 又∵AC＝AC， ∴△ACH≌△ACE（AAS）， ∴AH＝AE，CE＝CH. ∵AD＋AB＝2AE， ∴AD＋AE＋BE＝2AE， AH－DH＋AE＋BE＝2AE， AE－DH＋AE＋BE＝2AE， ∴DH＝BE. 又∵∠CHD=∠CEB,CH＝CE， ∴△CHD≌△CEB（SAS），∴∠B＝∠CDH. 又∵∠CDH＋∠ADC＝180，∴∠B＋∠ADC＝180. 即∠B与∠ADC互补. 3．⑴PB＝PQ. 理由如下： 过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于对点F， 在正方形PBCQ中，∠BPQ＝∠BCQ＝90， ∴∠PBC+∠PQC＝180. 又∵∠PQC＋∠PQD＝180，∴∠PBC＝∠PQD. 又∵AC为正方形ABCD的对角线，PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF.∴△PBE≌△PQF(AAS)，∴PB＝PQ. ⑵结论还成立，理由同上. 4．（1）FE与FD之间的数量关系是FE=FD； (2) (1)中的结论FE=FD仍然成立. 证明：在AC上截取AG=AE,连接FG. 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS). ∴∠AFE=∠AFG，FE=FG. ∵∠B=60，AD,CE分别平分∠BAC, ∠BCA， ∴∠GAF+∠FCA=60. ∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60. ∴∠CFG=60. 在△CFG和△CFD中， ∴△CFG≌△CFD (ASA). ∴FG=FD. 又∵FE=FG,∴ FE=FD. 第3期有效学案参考答案 第9课时 第十一章复习课 【检测1】B. 【检测2】D. 【检测3】答案不唯一，如AC＝DF或∠B＝∠E或∠A＝∠D. 【问题1】这个命题是假命题，添加的条件可以是： AC＝DF或∠C＝∠F或∠CBA＝∠E. 以添加条件AC＝DF证明. ∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，∴AB＝DE. 在△ACB与△DFE中， ∴△ACB≌△DFE（SAS）. 【问题2】（1）图中满足条件的全等三角形是 ：△AGF≌△DGB，理由如下： ∵△ABC≌△DFC， ∴∠A＝∠D，AC＝DC，CB＝CF， ∴AF＝DB. 又∵∠AGF＝∠DGB，∴△AGF≌△DGB. （2）AB⊥CD，理由如下：由题意可知△ABC≌△DCE， ∴∠B＝∠ECD. 又∵∠ECD＋∠GCB＝90， ∴∠GCB＋∠B＝90，即∠CGB＝90，∴AB⊥CD. 1．A. 2．10. 3．∵DC是∠ACE的平分线，DE⊥CE，DF⊥AC， ∴∠DEC＝∠DFC＝90，∴DE＝DF. 在Rt△DFC和Rt△DEC中， ∴Rt△DFC≌Rt△DEC（HL），∴CE＝CF. 4．A. 5．DC＝PC且DC⊥PC；理由如下： ∵∠DAC＝∠PBC，∠D＝∠BPC ，AC＝BC， ∴△ACD≌△BCP（AAS），∴DC＝PC，∠DCA＝∠PCB. ∵∠PCB＋∠ACP＝90， ∴∠DCA＋∠PCA＝90，∴DC⊥PC. 6．（1）证明：连接AD，可证得Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得BD＝CD. 由E，F，G，H为中点及AB＝AC，BD＝CD，得 BE＝CF，BH＝CG. 又∠B＝∠C＝90，∴△BEH≌△CFG，∴EH＝FG. （2）AD垂直平分BC，证明如下： 由（1）知Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD. ∵AB＝AC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO（SAS）. ∴BO＝CO，∠AOB＝∠AOC. 又∠AOB＋∠AOC＝180， ∴∠AOB＝∠AOC＝90，∴AD⊥BC. 7．B. 8．BE是∠ABC的平分线，理由如下： 延长BC，AE交于点F，AC⊥BC，AE⊥BE， ∴∠AED＝∠BCD＝90. ∵∠ADE＝∠BDC，∴∠CBD＝∠CAF. 在△BCD与△ACF中， ∠CBD＝∠CAF，BC＝AC，∠BCD＝∠ACF， ∴△BCD≌△ACF（ASA），∴BD＝AF. 又∵BD＝2AE，∴EF＝EA. 在△BEA与△BEF中， ∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEF，EA＝EF， ∴△BEA≌△BEF（SAS）， ∴∠ABE＝∠FBE，即BE平分∠ABC. 9．（1）∵BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E， ∴∠ADB＝90，∠CEA＝90. 又∵AD＝CE，AB＝CA， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），∴∠BAD＝∠ACE. 又∵∠CAE＋∠ACE＝90，∴∠CAE＋∠BAD＝90， ∴∠BAC＝90，∴BA⊥AC. （2）垂直，理由如下：易证Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）， ∴∠BAD＝∠ACE. 又∵∠ACE＋∠CAE＝90， ∴∠BAD＋∠CAE＝90， ∴∠BAC＝90，即BA⊥AC. 10．D. 11．（1）作图略； （2）△BDE≌△CDE ；理由如下： ∵ DC平分∠ACB，∴ ∠DCE∠ACB. ∵∠ACB2∠B， ∴ ∠B∠ACB，∴ ∠DCE∠B. ∵ DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90. 又∵DE＝DE，∴ △BDE≌△CDE（AAS）. 第十一章综合测试题（一） 一、精挑细选，一锤定音 1．D. 2．B. 3．C. 4．C. 5．A. 6．C. 7．C. 8．B. 9．C. 10．D. 二、慎思妙解，画龙点睛 11．27. 12．60. 13．150. 14．答案不唯一，如EH＝BE或AE＝CE或AH＝BC. 15．垂直. 16．100．17．10. 18．（8,6），（8,8），（8,-6）或（8,-8）. 三、过关斩将，胜利在望 19．证明：在△AEB与△ADC中， AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD， ∴△AEB≌△ADC，∴∠B＝∠C． 20．△A1B1C1与△ABC不一定全等，图略. 21．△ADF≌△ABE，理由： ∵AC平分∠BCD，AE⊥BE，AF⊥DF， ∴AE＝AF，∠AEB＝∠AFD＝90. 又AB＝AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）. 22．连接ME，MF，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C. 在△BEM与△CFM中， BE＝CF，∠B＝∠C，BM＝CM， ∴△BEM≌△CFM（SAS）.∴∠BME＝∠CMF. ∴∠EMF＝∠BME＋∠BMF＝∠CMF＋∠BMF ＝∠BMC＝180， ∴E，M，F在一直线上. 23．⑴证明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC. 又∵AE为角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，且AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC. ⑵结论还成立，∵AE为高线，∴∠AEB＝∠AEC＝90. 又∠BDE＝∠CDE，且DE＝DE， ∴△BDE≌△CDE. ∴BE＝CE. 又∠AEB＝∠AEC＝90，且AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE（SAS），∴AB＝AC. 24．（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90. ∴∠ABP＝90－∠BAD，∠ACE＝90－∠DAB， ∴∠ABP＝∠ACE. 在△ABP和△QCA中， ∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP＝AQ. （2）∵△ABP≌△QCA，∴∠P＝∠CAQ. 又∵∠P＋∠PAD＝90， ∴∠CAQ＋∠PAD＝90，∴∠PAQ＝90，∴AP⊥AQ. 四、附加题 25．（1）∵ s，∴BP＝CQ＝31＝3cm. ∵AB＝10cm，点D为AB的中点，∴BD＝5cm. 又∵PC＝BC－BP，BC＝8cm， ∴PC＝8－3＝5cm，∴PC＝BD. 又∵∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP. （2）∵， ∴BP≠CQ. 又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，则 BP＝PC＝4，CQ＝BD＝5， ∴点P