2022年法向量求法及应用方法 .pdf

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1、0 平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义 ：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类从方向上分 ，无数条。2、平面法向量的求法方 法 一 ( 内 积 法 ): 在 给 定 的 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 平 面的 法 向 量( , ,1)nx y 或( ,1, )nxz，或(1, , )ny z ，在平面内任找两个不共线的向量,a b。由n，得0n a且0n b，由此得到关于,x y的方程组，解此方程组即可得到n。方法二：任何一个zyx,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,的一次方程。0DCzByAx)0,(不同时为CBA，称

2、为平面的一般方程。其法向量),(CBAn;假设平面与3 个坐标轴的交点为),0 ,0(),0 ,0(),0, 0,(321cPbPaP,如下图 ,则平面方程为 :1czbyax,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三 ( 外积法 ):设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin|ba， 为,两者交角，且0，而与,皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由的方向转为的方向 时 ， 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为ba的 方 向 ,abba。:),(),(222111则设zyxbzyxa21yyba,21zz21xx,21zz21

3、xx21yy注： 1、二阶行列式 :caMcbaddb；2、适合右手定则。 例1、已知，)1 , 2,1(),0, 1 ,2(ba，试求 1 ：;ba2 ：.abKey: (1) )5 ,2, 1 (ba;)5, 2, 1()2(ab例 2、如图 1-1,在棱长为2 的正方体1111ABCDA BC D中，图 1-1 C1C B y F A D x A1D1z B1E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页1 求平面 AEF 的一个法向量n。二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角： 如图 2-1，设n是平面

4、的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则 AB与平面所成的角为：图 2-1-1:.|arccos2,2ABnABnABn图 2-1-2:2|arccos2,ABnABnABn(2)、求面面角 :设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：|arccos,nmnmnm图 2-2; |arccos,nmnmnm(图 2-3) 两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3 中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积简称“外积” ，满足“右手定则” 使得两

5、个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、 求空间距离1 、异面直线之间距离: m图 2-2 nm图 2-3 n|,cos|sinABn)2,2, 1(:AEAFnkey 法向量A B 图 2-1-2 C n图 2-1-1 B nA C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页2 方法指导 ：如图 2-4, 作直线a、b 的方向向量a、b，求 a、b 的法向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量；在直线a、b 上各取一点A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，则异面

6、直线a、b 间的距离为|?nnABd, 其中bBaAbnan,2 、点到平面的距离: 方法指导 ：如图 2-5,假设点 B 为平面外一点，点A 为平面内任一点，平面的法向量为n，则点 P 到平面的距离公式为|?nnABd3 、直线与平面间的距离: 方法指导 ：如图 2-6,直线a与平面之间的距离：|AB ndn，其中aBA,。n是平面的法向量4 、平面与平面间的距离: 方法指导 ：如图 2-7,两平行平面,之间的距离：|?nnABd，其中,AB。n是平面、的法向量。3、 证明1 、证明线面垂直：在图2-8 中,m向是平面的法向量，a是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线am

7、 。2 、证明线面平行：在图2-9 中,m向是平面的法向量，a是直线 a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直0? am 。3 、证明面面垂直：在图2-10 中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直0? nm图 2-4 n a b A B 图 2-11 mn图 2-10 mn图 2-9 ma a图 2-8 a ma图 2-7 A B nA a B n图 2-6 图 2-5 nA M B N O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页3 4 、证明面面平行：在图2-11 中, m向是平面的法向

8、量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线nm 。三、高考真题新解1、 2005 全国 I，18 本大题总分值12 分已知如图3-1,四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形， AB DC，PADAB,90底面 ABCD ， 且 PA=AD=DC=21AB=1 ，M 是 PB 的中点证明：面PAD面 PCD；求AC 与 PB 所成的角；求面AMC 与面 BMC 所成二面角的大小解:以 A 点为原点 ,以分别以AD ，AB， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz如下图 .)1 ,0 ,0().(API，)0,0 , 1(AD，设平面PAD 的法向量为)0 , 1,0

9、(ADAPm)0, 1 ,0(DC又，)1 ,0 , 1(DP，设平面 PCD 的法向量为)1 ,0, 1(DPDCn0?nm，nm，即平面 PAD平面 PCD。).(II)0 ,1 , 1(AC，)1,2,0(PB，510arccos|arccos,?PBACPBACPBAC).(III)21,0 , 1(CM，)0, 1, 1(CA，设平在AMC 的法向量为)1 ,21,21(CACMm. 又)0, 1 , 1(CB,设平面 PCD 的法向量为)1,21,21(CBCMn. )32arccos(|arccos,?nmnmnm. 面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为)32arccos

10、(.32arccos或2、(2006 年云南省第一次统测19 题) ( 此题总分值12 分 ) 如图 3-2 ，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BC2a，M是AD的中点。( )求证：AD 平面A1BC；图图 3-1 C D M A P B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页4 ( )求证：平面A1MC平面A1BD1；( )求点 A到平面A1MC的距离。解: 以 D点为原点 , 分别以 DA,DC,DD1为 x 轴 ,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系D-xyz 如下图 . ).(I)0 ,0,

11、2(aBC,),0(1aaBA,设平面A1BC的法向量为)2,2,0(221aaBABCn又)0,0,2(aAD,0? ADn,nAD,即 AD/ 平面 A1BC. ).(II),0,22(aaMC,)0,22(1aaMA, 设 平 面A1MC 的 法 向 量 为 :)22,22,(2221aaaMAMCm, 又),2(1aaaBD,), 0(1aaBA, 设平面A1BD1的法向量为:)2,2,0(2211aaBABDn, 0?nm,nm,即平面 A1MC平面 A1BD1. ).(III设点 A到平面 A1MC的距离为 d, )22,22,(2221aaaMAMCm是平面 A1MC 的法向量

12、, 又)0 ,0,22(aMA,A点到平面 A1MC的距离为 :amMAmd21|?. 四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；化为向量问题2 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；进行向量运算3 、把向量的运算结果“ 翻译 ” 成相应的几何意义。 回到图形问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页