依据延迟退休年龄问答的数学建模.doc

,.关于延迟退休问题的研究摘要目前中国进入老龄化社会，延长退休年龄问题已成为关注热点。因人口寿命不断提高，按照现在的退休年龄，国家对养老金的投入将大大增加。本文通过建立国家养老金收支模型（模型I）来预测未来50年养老金会不会存在缺口。即用50年内养老金的发放支出与缴费收入作差，若二者之差大于零，则存在缺口。具体模型如式： 。数据方面，本文采用灰色预测和线性拟合的方法对从统计年鉴上获得的数据进行处理，预测得到未来50年的各项数值，代入模型求解。得到结论：未来50年养老金会存在缺口。同时反解年份，可知2015年养老金即存在缺口。为了确定延迟退休的具体年限，本文建立了个人养老金收支模型（模型II）。因为职工退休十年后，个人账户的缴费数与领取数相互抵消，所以暂不考虑个人账户养老金的收支，仅用统筹账户的缴费累计作为个人养老金的缴费数： 。用个人领取的基础养老金作为个人养老金的领取数 。令 ，求得政府每年对退休年龄超过十年的职工给予数值为 的补贴 。当男性退休年龄为63岁，女性退休年龄为58岁时，当男性退休年龄为65岁，女性退休年龄为60岁时， ，所以应延迟退休年龄至男性65岁，女性60岁。最后，本文参考其他国家的退休年龄及改革方案，并综合考虑国内年龄结构，给出了较为合理的退休方式：2020-2030年女性职工的退休年龄每年延长6个月, 10年延长5岁。使女性退休年龄延长至60岁, 男女退休年龄一致。2030-2045年将劳动人口的工作时间延长至65岁。用15年的时间完成, 每3年延长1岁。关键词：国家养老金收支模型，个人养老金收支模型，灰色预测，线性拟合摘要1一、问题重述2二、 模型假设和符号说明22.1模型假设22.2符号说明3三、 问题分析4四、模型的建立与求解54.1问题一的解答54.1.1模型I（国家养老金收支模型）的建立54.1.2模型I的求解64.2问题二的解答104.2.1模型的准备104.2.2模型II（个人养老金收支模型）的建立与求解104.3问题三的解答11五、 模型的评价与改进125.1模型的优缺点评价125.2模型的改进13六、参考文献13七、附录13一、问题重述目前中国已进入老龄化社会，延长退休年龄问题成为关注热点，我国是否也应该延迟退休年龄，从上世纪80年代中期就开始讨论，在这个问题上还存在着不同意见，不同年龄群体分歧较大。从人口寿命不断提高的因素来看，应该在一定范围提高退休年龄；从养老金方面来讲，按照现在的退休年龄，享受的养老保障时间太长，投入就会大大增加；从“十二五”期间中国的就业市场来看，主要的矛盾仍然是劳动力供大于求，延迟退休年龄无疑会使本来就非常严峻的就业形势还更加严峻。但从应对人口老龄化和长远发展来看，延迟退休年龄应该是一种选择。世界上的多数国家都在走这条道路，它在应对人口老龄化，特别是在保证社会保障体系的安全、健康、平稳运行是非常有好处的。但延长退休年龄问题涉及到方方面面，是一个比较复杂的问题。从养老金的收支问题考虑，通过自己收集整理数据，建立数学模型，考虑以下问题：1、维持我国现在男性退休年龄为60，女性为55，在未来50年养老金会不会存在缺口，请通过模型定量化说明。2、现在有多种呼声，有人说应该延迟退休3年，男性到63，女性到58，有的说应该延迟退休5年，男性到65，女性到60，请从养老金收支来考虑，你觉得哪种情况更加合理？3、请提出你觉得合理的退休方式。2、 模型假设和符号说明2.1模型假设1、 记我国男女比例为1.05:1，男女职工比例与男女比例近似相同。2、 每十年内国民平均寿命不发生变化。3、 公民开始工作的平均年龄为25岁。4、 男女职工的平均工资相同。5、我国经济在未来五十年能够平稳快速发展，不会出现金融危机等导致工资急剧发生变化的情况。6、，忽略就业未参保的人和退休没有养老金的人，即参保人数与就业人数相等、领取养老金人数与离退休人数相等。7、本文所分析的养老金收支平衡，是假定养老金缴费收入完全用于存活退休职工的养老金发放。不考虑养老保险基金用于管理方面的费用支出以及在职工死亡时付给其家属的费用支出。8、本文所列数据具有代表性，能反映普遍情况。2.2符号说明职工平均就业年龄职工平均退休年龄退休职工平均死亡年龄第年在职职工人数第年离退休职工人数第年职工平均工资第年离退休职工平均养老金养老金增值率工资增长率缴费率（即养老金缴费在工资中所占的比例）职工每年从统筹账户领取的养老金占前一年社会平均工资的比例目标期的年数工作年限第年缴费收入第年发放支出年内发放支出与缴费收入之差起始工资水平退休前一年工资水平Q国家给每个职工的补贴3、 问题分析问题一：若要定量化确定未来50年养老金收支是否存在缺口，则需要对50年内养老金的缴费收入与发放支出进行比较。缴费收入与每年在职职工人数、养老金缴纳比率、职工平均工资有关；发放支出与每年离退休人数、平均养老金有关。若维持男性的退休年龄为60，女性退休年龄为55，即可用近十年的数据进行灰色预测或拟合，预测未来50年影响缴费收入和发放支出的各项因素的数值。得到数据后对50年内国家养老金的缴费收入和发放支出进行对比，若发放支出大于缴费收入，则存在养老金缺口。最后，对年份进行反解，即可得到出现缺口的起始年。问题二：题目要求站在养老金收支的角度上，确定延迟退休3年和延迟退休5年两种情况哪一种更合理。因为更改了退休年龄，在职职工人数和离退休职工人数发生了改变，所以不能沿用之前的数据，同时也就无法对国家的养老金缴费收入和发放支出进行对比。但可以通过对个人养老金领取和缴费的研究，来确定国家收支是否存在缺口。个人养老金缴费一部分去向统筹账户，一部分去向个人账户。个人养老金领取一部分来自基础养老金，一部分来自个人账户养老金。个人账户养老金十年内领取完毕后，国家还会发放相应补贴。我们可以对国家发放的补贴进行求解，并将结果进行对比，选取能使补贴较小的方案。问题三：合理的退休方式需要同时考虑我国人口的年龄结构和经济发展水平，此外，还可参考国外延长退休年龄的具体方案。综合所有因素，提出具体要求，使得方案实施后国家尽可能不存在养老金缺口，又能减弱人口老龄化对我国的影响，同时，不会引起劳动者的强烈反对。四、模型的建立与求解4.1问题一的解答4.1.1模型I（国家养老金收支模型）的建立国家养老金收支模型是研究一定时期内某个国家的养老金缴费收入与养老金发放支出是否存在缺口的模型。养老金发放支出大于养老金缴费收入代表有缺口，养老金发放支出小于或等于养老金缴费收入代表无缺口。假设目标年份为年，第年缴费收入为R，第年发放支出为P。则： 其中，又因为每年缴费收入和发放支出的养老金都会按一定的增值率增值，综合考虑所有因素，我们建立如下数学模型1：其中，若 ，则养老金存在缺口；若 ，则养老金不存在缺口。同时，由于男、女退休年龄和平均寿命都有显著差别，我们需要改进模型：其中， ， 为男性退休年龄和平均寿命， ， 为女性退休年龄和平均寿命。 为男性职工比例， 为女性职工比例。4.1.2模型I的求解将题目具体数值代入模型I：得到改进后的模型： 基于模型假设和可获得的数据，需要对 ， 在未来50年内的数值进行预测。在这里根据未知量的性质我们分别使用灰色预测法和线性拟合的方法预测未来50年的数据。（1） 用灰色预测法预测平均寿命参照中国统计年鉴，我们已知1980、1990、2000、2010年男、女各自的平均寿命，具体数据如下：表格 1 平均寿命1980199020002010女67.1670.4773.3377.37男63.7366.8469.6372.38表格 1 对 作紧邻均值生成，令： 得：于是： 对参数列 进行最小二乘估计。得：确定模型： 及时间相应式： 则 的模拟值还原求出 的模拟值得： 对得到的结果进行残差检验表格 2 误差检验表序号实际数据模拟数据残差相对误差167.166900270.4770.27760.19240.00273024373.3373.6522-0.3222-0.00439383477.3777.18870.18130.002343286平均相对误差： 当给定的 为0.01时， 明显小于 ，所以模型为残差合格模型，通过残差检验。所以该模型可以较为准确的对未来女性人均寿命进行预测，预测结果为：表格 3平均寿命20202030204020502060女80.895284.779588.850393.116797.5879同理，我们可以对男性的平均寿命进行预测，在这里不赘述步骤，只给出预测结果：表格 4平均寿命20202030204020502060男75.338278.39781.580284.892588.3394（2） 用线性拟合的方法预测第年的职工人数、离退休人数、职工平均工资。这里以第 年的平均工资为例。由统计年鉴可知2000-2011年的平均工资，如下表所示： 表格 5年份平均工资20009371200110870200212422200314040200416024200518364200621001200724932200829229200932736201037147201142452将数据代入SPSS进行拟合，结果如下：模型汇总和参数估计值因变量:平均工资方程模型汇总参数估计值判定系数R2F检验统计量自由度1自由度2概率P-值常数b1b2b3线性.959234.332110.0003112.1522964.643自变量为 年份。表格 6对输出结果进行拟合优度检验和方程显著性检验，判定系数 R2 为0.959，与1相差较小，认为方程拟合优度较高，同时设 为0.05，概率P值接近于0， ,所以拒绝原假设，方程通过显著性检验。因此，我们用拟合后的方程式 来表示平均工资和年份的关系,其中为平均工资，为年份。同理，通过对近十年内在职职工人数和离退休人数的数据（见附录2），可拟合出职职工人数、离退休人数和年份的关系分别为： 为在职职工人数，为离退休人数，为年份。至此，我们可以通过灰色预测模型和拟合方程式预测得到建立模型I 所需的所有数据，利用VC 6.0编写程序（见附录1）。最终得到结论：未来50年会出现缺口，2015年时缺口即存在。4.2问题二的解答4.2.1模型的准备在职职工缴纳养老金分为两部分，其一为工资的20%，缴纳到统筹账户中；其二为工资的8%，缴纳到个人账户中。在职职工退休后，职工每年从统筹账户领取基础养老金（这里取上年度全国职工平均工资的20%，设为）2，从个人账户中领取个人账户养老金（个人账户养老金的1/10）。因为个人账户养老金只能领取10年，十年之后，国家还会对个人给予一定补贴。职工退休后，个人账户的养老金会在十年发放完，若职工在十年内去世，个人账户的养老金仍可继承，则其中的养老金肯定发放完，所以暂不考虑个人账户养老金的收支，只考虑统筹账户养老金的缴纳与基础养老金的领取，此时，政府补贴即为养老金领取数与养老金缴纳数之差。4.2.2模型II（个人养老金收支模型）的建立与求解某职工工作年限为年，他在年内缴纳的统筹账户养老金累计为：假设养老金增值率与工资增长率相同，即 ，则上式简化为：同时假设他活到了人均寿命，由问题一的灰色预测可知，退休后十年并没有达到人均寿命年限，则他在退休后领得的统筹账户养老金为：令，我们可以求出Q的大小及正负。根据男女比例1.05:1，其中，代表男职工退休年限，代表男职工工作年限，代表女职工退休年限,代表女职工工作年限。当男性退休年龄为63岁，女性退休年龄为58岁时， 男性退休年龄为65岁，女性退休年龄为60岁时，所以，从养老金收支角度来考虑，将男性退休年龄改为65岁，女性退休年龄改为60岁的情况更加合理。4.3问题三的解答要提出合理的退休方式，我们首先参考了世界上一部分国家的法定退休年龄和调整策略，见表格 73表格 7国家现退休年龄第一步调整第二部调整美国6667（2027）70（提案）英国男65，女6065（2011）68（2024-2046）意大利男65，女6065（2018）68（2050）荷兰6566（2020）67（2025）匈牙利男62，女61-62男65，女64（2020）男69，女68（2050）捷克男62，女59男63，女59-63（2013）65（2030）西班牙6567（2013-2025）丹麦6567（2024-2027）德国6567（2012-2029）法国6062（2018）韩国6061（2013）以色列男65，女60男67，女64新加坡6267日本6065（2006-2013）澳大利亚男65，女6065（2014）同时参照我国未来人口年龄结构预测，预测显示: 2017年0- 17岁的青少年人口和18- 55岁的适龄劳动力人口都达到了最大值; 到2030年我国的总人口达到峰值14.7亿; 到2049年56岁以上的人口达到最大值。以其他国家法定退休年龄调整策略为参考，基于对我国近期人口年龄结构的研究，遵循当养老遇到就业时, 将法定退休年龄的调整与就业高峰错开的原则，我们提出了延长退休年龄三步走计划4。第一步: 2009- 2017年这个阶段劳动力丰富, 处于中国人口红利期, 正常就业对社会更有益, 若延长退休年龄将会使这一优势转化为社会负担。所以这一阶段的主要任务是抑制提前退休。可采取以下措施:首先, 约束和激励机制, 严格执行领取养老金的政策, 就缴费累计不满15年的人员, 不发给基础养老金, 同时一次性支付个人账户储蓄额, 并终止基本养老保险关系。而满足规定并延长工作时间和延长缴费时间的人员, 应增加领取养老金的数额。其次, 对下岗职工和长期失业人员, 国家应采取一些措施, 如经济补偿、关怀政策、技术培训等促进其再就业, 以免过早领取养老金。2010年赡养负担不是很重, 赡养率接近30%, 而到2017年以后青少年和适龄的劳动力人口逐年下降, 就业压力得到缓解时, 赡养率逐渐上升, 养老金平衡的压力大于了就业压力, 此时应适当的延长退休年龄。2010 2020年逐步延长女工人的退休年龄, 每年延长6个月, 10年延长5岁, 使女性的退休年龄统一为55岁。第二步: 按照测算到2030年时, 我国人口到达峰值, 故2020 2030年女性职工的退休年龄延长至60岁, 每年延长6个月, 10年延长5岁, 男女退休年龄一致。男女的退休待遇拉平, 提高了女性的劳动参与率, 有利于女性的利益。第三步:到2050年, 中国人口的平均预期寿命可以达到85岁, 延长退休年龄的空间较大, 故2030 2045年将劳动人口的工作时间延长至65岁。用15年的时间完成, 每3年时间延长1岁。5、 模型的评价与改进5.1模型的优缺点评价（1） 优点：同时建立了国家养老金收支模型和个人养老金收支模型，前者能在数据可预测的情况下确定养老金收支是否存在缺口，后者能在数据不可知的情况下对延迟退休的具体年限进行考量。提出的合理退休方式不仅考虑了我国的年龄结构，还借鉴了许多国外的延迟退休政策，最后的方案也较为清楚，易于让职工接受。（2） 缺点模型I 中对未来50年各项数据（职工平均工资、职工人数、离退休人数等）的预测不是很精准，没有考虑到我国当前的年龄结构对未来职工人数、离退休人数等因素的影响。5.2模型的改进对我国现今的年龄结构进行量化，并重新对未来50年内的职工人数和离退休人数进行预测，再次对比国家的养老金缴费收入和发放支出，使得到的结果能更加准确。 六、参考文献1王鉴岗，养老保险收支平衡及其影响因素分析，人口学刊，第2期，9-14,20002新养老保险计算办法，http:/www.unionlife.com.cn/tools/insurance-knowledge/info2953.htm 2013.8.173吕志勇 韩鑫 姜英霞，延迟退休年龄对我国就业影响的计量模型研究，山东财经学院学报，第2期，44-50,20124朱楠，中国延长退休年龄的财务平衡预算及其方案设计，中央财经大学学报，第8期，10-14,20095退休年龄延迟多久可行，http:/www.docin.com/p-475099219.html?qq-pf-to=pcqq.group，2013.8.176延迟退休应从何时 以什么方式开始，http:/finance.ce.cn/rolling/201209/12/t20120912_16946204.shtml，2013.8.1772011年数学建模C题养老金问题，http:/www.docin.com/p-459302964.html，2013.8.188企业退休职工养老金制度的改革，http:/wenku.baidu.com/view/df9b0856ad02de80d4d840dd.html，2013.8.18七、附录1、相关程序#include#includemain()double renshu,tuixiu,gongzi1,gongzi2,sum;int i,t=0;sum=0;renshu=77040.53;tuixiu=6163.254;for(i=14;i100;i+)renshu+=332.86;tuixiu+=253.358;gongzi1=9133.18+384.2*i+198.495*i*i;gongzi2=9133.18+384.2*(i-1)+198.495*(i-1)*(i-1);sum+=(renshu*gongzi1-tuixiu*gongzi2)*0.2;sum*=1.03;if(sum0)t=t+1;break;printf(%d %d年,i,t);2、2000-2011在职职工人数和离退休职工人数年份就业人数（万人）离退休人数（万人）2000720853169.92001730253380.62002737403607.82003744323860.22004752004102.62005758254367.52006749784635.42007753214953.72008755645149.82009758285403.12010761055656.52011764205910