北京第四中学2017年度高三上学期期中考试数学(理)试题含规范标准答案.doc

,. 北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试 高三数学 期中试卷（理） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集,集合,则 A． B． C． D． 2．设命题，则为 A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．若，满足则的最大值为 A．0 B．1 C． D．2 5．等比数列满足则 A．21 B．42 C．63 D．84 6．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递增，设， ，，则大小关系是 A． B． C． D． 8.已知函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设是虚数单位，则 . 10．执行如图所示的框图，输出值 . 11．若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大． 12．已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______. 13．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元． 14．已知函数，任取，定义集合: ，点，满足. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则 (1) 若函数，则=______； （2）若函数，则的最小正周期为______. 三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分） 集合，，， 其中. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求实数的取值范围. 16．（本题满分13分） 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 17．（本题满分13分） 已知函数,. （Ⅰ）求函数的单调减区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值. 18．（本题满分13分） 已知函数，其中. （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）若的最小值为1，求的取值范围. 19．（本题满分14分） 设函数，曲线在点处的切线方程为 . （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求的最大值； （Ⅲ）证明函数的图象与直线没有公共点. 20．（本题满分14分） 对于集合，定义函数对于两个集合，定义集合. 已知，. （Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合； （Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对，满足，且？ 参考答案 一．选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D B A D D 二．选择题（每小题5分，共30分） 9 10 2 11 8 12 13 1600 14 2 2 15. 解：（Ⅰ）；； 所以； （Ⅱ）， 若，则，若，则； 若，则，不满足，舍； 若，则，不满足，舍； 综上. 16. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得 . 所以． 设等比数列的公比为，由题意得 ，解得. 所以. 从而． （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 所以，数列的前项和为. 17. 解： . （Ⅰ）令，解得， 所以函数的单调减区间为. （Ⅱ）因为，所以，所以 ， 于是 ，所以. 当且仅当时 取最小值; 当且仅当，即时最大值. 18. 解:定义域为.. （Ⅰ）若，则，令，得（舍）. 1 0 极小值 所以时，的单调增区间为，减区间为. （Ⅱ），∵ ∴ ①当时，在区间∴在单调递增，所以 ②当时，由 ∴所以在处取得最小值，注意到，所以不满足 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 19. 解： （Ⅱ）. （Ⅲ）又于是函数的图象与直线没有公共点等价于。 由（Ⅱ）知 20.解：（Ⅰ），，. （Ⅱ）根据题意可知：对于集合， ①且，则； ②若且，则. 所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素. 所以 当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，取到最小值4. （Ⅲ）因为 ， 所以 . 由定义可知：. 所以 对任意元素，， . 所以 . 所以 . 由 知：. 所以 . 所以 . 所以 ，即. 因为 ， 所以 满足题意的集合对的个数为.