2022年泛函分析课程总结 .pdf

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1、泛函分析课程总结数学与计算科学学院09 数本 5 班符翠艳2009224524 序号：26 一知识总结第七章度量空间和赋范线性空间1. 度量空间的定义： 设 X 是一个集合， 若对于 X 中任意两个元素, x y ，都有唯一确定的实数,d x y 与之相对应，而且满足1,0,0= ;2,;3,d x yd x yx yd x yd y xd x yd x zd z yz、的充要条件是、对任意 都成立。则称 d 为 X 上的一个度量函数，（dX ,）为度量空间，),(yxd为yx,两点间的度量。2. 度量空间的例子离散的度量空间,X d设 X 是任意的非空集合，对X 中任意两点, x yX,令1

2、,0,xyd x yxy当当序列空间 S 令S表 示 实 数 列 （ 或 复 数 列 ） 的 全 体 ， 对S 中 任 意 两 点12n12,.,.,.,.nxy及，令11,2 1iiiiiid x y有界函数空间 B（A）设 A 是一给定的集合，令B（A）表示 A 上有界实值（或复值）函数全体，对 B（A）中任意两点, x y，定义,( )( )suptAd x yx ty t可测函数空间 m(X) 设 m(X)为 X 上实值 （或复值） 的 L 可测函数全体，m 为 L 测度， 若 m X，对任意两个可测函数( )( )f tg t及，令( )( ),1( )( )Xf tg tdf gd

3、tf tg t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页,C a b 空间令,C a b 表示闭区间,a b 上实值（或复值）连续函数的全体，对,C a b 中任意两点, x y，定义,max( )( )a t bd x yx ty t2l空间记12kkkxxxl，设2kxxl，2ykyl，定义1221,()kkkd x yyx注：度量空间中距离的定义是关键。3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间3.1 收敛点列和极限定义： 设nx是,X d 中的点列，如果存在xX ,使,0limnd xxn，则称点列nx是,X d 中的

4、收敛点列，x是点列nx的极限。注：1.度量空间,X d 中的收敛点列的极限是唯一的。2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。依测度收敛等）3.2 度量空间中稠密子集和可分度量空间定义：设 X 是度量空间， E 和 M 是 X 中两个自己，令 M 表示 M 的闭包，如果 EM ,那么称 M 在集 E 中稠密，当 E= X 时称 M 是 X 的一个稠密子集。如果 X 由一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。注：1.若 A 在 B 中稠密， B 在 C 中稠密，则 A 在 C 中稠密。2. 欧氏空间 Rn、空间 Ca,b、空间pplbaL,是可分的。3. l不可分。4.完备

5、度量空间4.1 柯西点列定义：设,XX d 是度量空间，nx是 X 中的点列，如果对任意给定的正数0，存在正整数( )NN,使当 n,mN 时，必有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页,nmd xx则称nx是 X 中的柯西点列。那么称,X d 是完备的度量空间。4.2 完备度量空间的例子l是完备度量空间 C 是完备度量空间,a bC是完备度量空间4.3 定理的证明定理：完备度量空间X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为M 是 X 中的闭子空间。证 明 ： 设 M 是 完备 子 空 间 ， 对 每 个 xM ， 存在

6、 M 中 点 列nx， 使()xx nn，由前述，nx是 M 中的柯西点列，所以在 M 中收敛，有极限的唯一性可知x M，即 MM ,，所以 MM ，因此 M 是 X 中的闭子空间。5.度量空间的完备化5.1 等距同构映射定义： 设,X d ，,X d是两个度量空间，如果存在 X 到X 上的保距映射 T，即,d Tx Tyd x y，则称,X d 和,X d等距同构， T 称为 X 到X 上的等距同构映射。5.2 度量空间的完备化定理定理：设(,)XX d是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间,X d，使 X 与X 的某个稠密子空间 W 等距同构。并且X 在等距同构的意义下时唯一的，即(,

7、)X d也是一完备度量空间，且X 与X 的某个稠密子空间等距同构，则,X d与(, )X d等距同构。注：任一度量空间,X d 都存在唯一的完备度量空间,X d，使 X 为X 的稠密子空间。6.压缩映射精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页6.1 压缩映射定义：设 X 是度量空间，T 是 X 到 X 中的映射，如果存在一个数， 01，使得对所有的,x yX，,d Tx Tyd x y（1）则称 T 是压缩映射6.2 压缩映射定理定理：设 X 是完备的度量空间， T 是 X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是

8、说，方程 Txx ，有且只有一个解）。证明： 设0 x是 X 中任意一点，令10 xTx，221010,.,.nnnxTxT xxTxT x。我们证明点列nx是 X 中柯西点列，事实上，111,(,)mmmmmmd xxd Tx Txd xx21212(,)(,)mmmmd TxTxd xx（2）10.(,)md x x由三点不等式，当nm 时，1121(,)(,)(,).(,)mnmmmmnnd xxd xxd xxd xx1101(.)(,)mmnd xx011(,).1n mmd xx?因 01，所以11n m，于是得到01(,)(,)1mmnd xxd xx（nm）(3) 所以当,mn

9、时，(,)0mnd xx，即nx是 X 中柯西点列，由X 完备，存在 xX ，使()mxx m，又由三点不等式和条件（1） ，我们有1( ,)( ,)(,)( ,)(, ).mmmmd x Txd x xd xTxd x xd xx上面不等式右端当m时趋于 0，所以( ,)0,d x Tx即Txx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页下证唯一性。如果又有,xX使T xx,则由条件（ 1） ，( , )(,)( , ).d x xd Tx T xd x x因1，所以必有( , )0d x x，即xx。注：1. X 是完备

10、的度量空间2.T 是压缩映射3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理7.赋范线性空间和巴拿赫空间7.1 赋范线性空间定义：设 X 是实（或复）的线性空间，如果对每个向量xX ，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并满足1.0,00;2.,3., ,.xxxxxxyxyx yX且等价于其中为任意实（复）数；则称 x 为向量x的范数，称 X 按范数 x 成为赋范线性空间。设nx是 X 中点列，如果存在 xX ，使0()nxxn，则称nx依范数收敛于x，记为()limnnnxx nxx或。如果令( , )d x yxy( ,)x yX即nx依范数收

11、敛于x等价于nx按距离( , )d x y收敛于x，称( ,)d x y为由范数x 导出的距离。注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间7.2 几种常见的巴拿赫空间欧式空间nR对每一个12,.,nnxR ，定义范数222.12nx（1）又因nR 完备， x 是nR 中范数。故nR 按（1）式中范数成为巴拿赫空间。空间,C a b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页对每一个,C a bx，定义max( )a t bxx t（2）,C a b 按（2）式中的范数成为巴拿赫空间。空间l对每一个12,.,xl，定义supjjx（

12、3）l按（3）式中的范数成为巴拿赫空间。空间,pLa b(1)p对于每个,pfLa b ，定义1( )bpppaff tdt（4）,pLa b(1)p按（4）式中的范数成为巴拿赫空间。空间pl对每一个12,.,plx，定义111pppix（5）pl按（5）式中的范数成为巴拿赫空间。7.3 两个重要的不等式和两条定理(1)霍尔德不等式设111,1,ppgpqpfLa bLa b，那么( ) ( )f t g t在,a b上L 可积，并且( ) ( )bpqaf t g t dtfg（2）闵可夫斯基不等式设1p，,pf gLa b，那么,pfgLa b，并且成立不等式精选学习资料 - - - -

13、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页( )( )pppf tg tfg定理 1：当1p时，,pLa b按（4）式中范数pf成为赋范线性空间。定理 2：,pLa b(1)p是巴拿赫空间7.4 有限维赋范线性空间的性质定理 3：设X是 n 维赋范线性空间，12,.,ne ee是X的一组基，则存在常数M 和M ，使得对一切1kkkxe，有1221()nkkMxMx推论 1： 设在有限维线性空间上定义了两个范数x 和1x ， 那么必存在常数M和M ，使得1M xxxM拓扑同构的定义 ：设11,Rx和22,Rx是两个赋范线性空间。如果存在从1R到2R上的线

14、性映射和正数1c，2c，使得对一切1xR，有21212xxxcc则称11,Rx和22,Rx是两个赋范线性空间是拓扑同构推论 2：任何有限维赋范空间都和同维数欧式空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构。8.度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系赋范线性空间一定是度量空间， 反之不一定成立。 度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间， 而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。巴拿赫空间满足度

15、量空间的所有性质。 巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离),(yxd的定义是重点。赋范线性空间中范数要满足：非负性、线性性、三角不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页等式，距离定义为( , )d x yxy 且范数的定义是关键。第八章有界线性算子和连续线性泛函1. 线性算子和线性泛函1.1 线性算子和线性泛函定义设 X 和 Y 是两个同为实（或复）的线性空间，D 是 X 的线性子空间，

16、T 为 D到Y 中的映射，如果对任意的,x yD及数，有()T xyTxTy（1）()TxTx（2）则称 T 为 D 到Y 中的线性算子，其中 D 称为 T 的定义域，记为( )D T，TD 称为T 的值域，记为( )R T。当值域()R T取实数（或复数）域时， T 为实（或复）线性泛函。注：1. 映射算子：函数函数，映射泛函：函数数2.泛函是一种特殊的算子3.当（2）中=0，即0Tx，即0( )N T，其中( )N T表示算子 T 的零空间。( )0,( )N Tx TxxD T1.2 线性算子和线性泛函的例子相似算子设 X 是线性空间，是一给定的数，对任意xX ，令Txx，显然 T 是

17、X 到 X 中的线性算子。恒等算子设 X 是线性空间，对任意xX ，令1，则 Txx 。恒等算子记为XI或 I零算子设 X 是线性空间，对任意xX ，令0，则0Tx。零算子记为 O微分算子设0,1P为 0,1 区间上多项式全体，对每个0,1xP，定义()( )( )dTx tx tdt由求导运算的线性性质，可知T 是0,1P到0,1P中的线性算子注：如果任取00,1t，对任意的0,1xP，定义0( )( )f xx t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页则f是0,1P上的线性泛函积分算子对每一个,xC a b ，定义

18、()( )( )taTxtxd由积分运算的线性性质，可知T 是,C a b 到,C a b 中的线性算子注：若令( )( )baf xxd，则f是,C a b 上的线性泛函。乘法算子对每一个,xC a b ，定义()( )( )Tx ttx t易知 T 是线性算子。注：1.线性算子与有限维空间中的方阵相对应。2.线性泛函与有限维空间中的向量（数组）相对应1.3 有界线性算子定义：设 X 和Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 的线性子空间( )D T到Y 中的线性算子，如果存在常数c，是对所有的( )xD T，有Txc x（3）则称 T 是( )D T到Y 中的有界线性算子。1.4 算子的范数

19、定义： T 为赋范线性空间 X 的子空间( )D T到赋范线性空间 Y 中的线性算子，称0()supxx D TTxTx为算子 T 在()D T上的范数。注： 1. TT有界2. TTxTx3. TTxTx有界2.连续映射精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页定义 2.1设 X=（X，d） ，( ,)YY d是两个度量空间， T 是 X 到 Y 的一个映射。Xx0如果对任何0， 存在0 当( , )d x y时， 有(,)d Tx Ty,则称 T 在0 x连续。 又若 T 在 X 中每一点都有连续，则称 T 是 X 上

20、的连续映射。若对任何0 ，存在0)(，只要Xxx21,，且),(21xxd，就有12(,)d x x成立，则称 T 在 X 上一致连续。定理 2.1 设),(dX，( ,)YY d是度量空间，:TXY ,Xx0,则下列各命题等价。(1)T 在0 x连续；（2）对于 X 中的任意点列 xn，若)(0nxxn，则0()nTxTxn。定理 2.2 设),(dX，( ,)YY d是度量空间，:T XY 。则 T 是连续映射的充分必要条件是，对Y 中的任一开集 M ，其原象1(),( )TMx xXT xM是开集。3.线性算子和线性泛函的定理定理 1：设 T 为赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的

21、线性算子，则T 为有界算子T 是 X 上的连续算子。证明：若 T 有界，由（ 3）式，当()nxx n时，因为nnTxTxc xx所以0nTxTx，即()nTxTx n，因此 T 连续。反之，若 T 在 X 上连续，但 T 无界，这是在 X 中必有一列向量123,.x xx，使0nx，但nnTxn x。令nnnxyn x，n=1,2, 则10()nynn，所以0()nyn，由 T 的连续性，得到00()nTyTn，但由于 T 是线性算子，又可以得到对一切正整数 n，有()1nnnnnnnxTyTxTxn xn xn xn这与0()nTyn矛盾。所以 T 是有界算子。定理 2.设 X 是赋范线性

22、空间，f是 X 上线性泛函，那么f是 X 上连续泛函f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页的零空间()N f是 X 中的闭子空间。证明：设f是连续线性泛函， 当()nxN f，年，2，并且()nxx n时，由f的连续性，由( )lim()0nnf xf x，因此()xNf，所以()Nf是闭集。反之，若()Nf是闭集，而f无界，则在 X 中存在一列向量nx，0nx，n=1,2,使得对每个n，有()nnf xn x，令nnnxyx，则1ny，且()nf yn ， 作11()()nnnyyzf yfy， 那么()0nf

23、z， 因此，()nzNf，然而由于1()1()0()nnnyfyfynn，所以11()nyzfy，但11()1()yffy，即11()()yN ffy，这与()Nf是闭集的条件矛盾。因此f是线性有界的。注：1.设 T 是( )D T上的有界线性算子， 那么()()11supsupxD Tx D TxxTTxTx。2.有界算子和有界算子的复合还是有界的。4.有界线性算子的范数相似算子的范数T恒等算子范数1XI零算子范数0O5.无界算子例子：微分算子( )( )dTx tx tdt，若视0,1p为0,1C的子空间，令( )nnxtt，则1nx，但101maxnntTxntn，所以nTTxn ，即

24、T 是无界算子。6.有界算子全体所成空间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页定理 1.当Y 是巴拿赫空间时，()XY也是巴拿赫空间。注：定义向量的乘积xyxy ，,x yX则称 X 是赋范代数，当 X 完备时，称 X 为巴拿赫代数。共轭空间定义 1：设 X 是赋范线性空间，令X 表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间，称为 X 的共轭空间。注：1. 1l的共轭空间为l，即1( )ll。1. 但l个共轭空间不是1l。2.(1)plp的共轭空间为ql，其中111pq。定理 2.任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。7

25、.赋范线性空间同构定义：设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到Y 中的线性算子，并且对所有 xX ，有 Txx ， 则称 T 是 X 到 Y 中的保距算子。 如果 T 又是映射到 Y上的，则称 T 是同构映射，此时X 与Y 同构。8.有界线性算子、连续线性泛函、连续映射的区别与联系有界线性算子 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 即 T 是 X 上的连续算子。如果赋范线性空间 Y 是实（或复）数域，则即T 是 X 上的连续泛函。算子是映射的一种， 则连续算子要满足是连续的映射。泛函是一种特殊的算子，即算子的值域为实（或复）数域。所以连续线性泛函也要满足是连续映射。二、知识

26、的应用压缩映射原理的可以：1.证明隐函数存在定理2.判断微分方程和积分方程解存在性和唯一性3.求一些数列的极限4.求方程的近似解5.验证方程有实根6.代数方程组由唯一解7.讨论解的连续性巴拿赫空间的应用： 数学分析中关于巴拿赫空间函数的凹凸性、光滑性、可微性。有界线性算子的应用：微分方程中动力系统理论中对于回复性与极限跟踪性理论。连续线性泛函的应用： 解决实际拓扑空间网络中遇到的个动态节点的最大位移等参考文献： 1.攀枝花学院学报第29 卷第 1 期压缩映射原理的几个应用2.安顺学院学报第14 卷第 1 期压缩映射原理及其应用3.Banach空间中若干几何性质4.延边大学学报第33 卷第 2 期连续线性泛函的存在性及其在实际拓扑空间网络的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页