初级中学圆学习知识重点情况总结与练习进步.doc

!- 圆 1．圆的定义 （1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周， 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。 （2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。 说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念 （1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中 的CD）。 B O A （2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。 直径等于半径的2倍。 D C （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如 右图中的、） 其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小 于半圆的弧叫做劣弧。 （4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。 3．与圆相关的角 （1）与圆相关的角的定义 ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 ③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 （2）与圆相关的角的性质 ①圆心角的度数等于它所对的弦的度数； ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； ⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； ⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　 B．过弦的中点的直线必过圆心 　 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　 D．弦的垂线平分弦所对的弧 【答案】C 1．点与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内 2．直线和圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 （1）直线和圆相离，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交，直线与圆有两个交点。 3．两圆的位置关系 设R、r为两圆的半径，d为圆心距 （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含。（注意：如果为，则两圆为同心圆。） 4. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 5. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 【例2】 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )． A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部 【答案】D 【例3】 已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB． 【答案】略 【例4】 已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由． 【答案】直线PB与⊙O相切．提示：连结OA，证ΔPAO≌ΔPBO 【例5】已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长． 【答案】．提示：分别连结O1B，O1O2，O2C． 【例6】如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)． (1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式； (2)问点A出发多少秒时两圆相切? 【答案】(1)当0≤t≤5.5时，d＝11－2t； 当t>5.5时，d＝2t－11． (2) ①第一次外切，t＝3；②第一次内切， ③第二次内切，t＝11；④第二次外切，t＝13． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 【例7】在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm. 【答案】 【例8】如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF. 【答案】提示：连接OF，证明 是全等三角形。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 【例9】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30，AE=2cm．求DB 【答案】 【例10】已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长． 【答案】提示：连结CE．不难得出 1． 圆周长： 2． 弧长：； 3． 圆面积：； 4． 扇形面积：； 【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为( )． A． B． C． D． 【答案】D 【例12】已知：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点．试比较与的长． 【答案】的长等于的长．提示：连结O2D． 1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙中，∵弦、相交于点， ∴ 推论：如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。 即：在⊙中，∵直径， ∴ 2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙中，∵是切线，是割线 ∴ 3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙中，∵、是割线 ∴ 【例13】如图，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________ 【答案】9 1.正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； 2.正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： 3.正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【例13】已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有 因为，，所以 则，是正五边形，应选C。 【例1】若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为( )． A．12cm B． C． D． 【答案】D 【例2】若⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引⊙O的切线长为( )． A．16cm B． C． D． 【答案】B 【例3】⊙O中，∠AOB＝100，若C是上一点，则∠ACB等于( )． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】A 【例4】三角形的外心是( )． A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【例5】如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，则的长为( )． 7题图 A． B． C．π D． 【答案】A 【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是( )． 8题图 A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B点 D．无法确定 【答案】C 【例7】如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB＝120，则阴影部分的面积为( )． 9题图 A．π B． C．2π D．4π 【答案】C 【例8】如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC＝60，则∠B＝______． 【答案】30 【例9】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________． 【答案】 【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB＝12cm． 求两个圆之间的圆环面积． 【答案】36pcm2．提示：连接OC,OA. 【例11】如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 【答案】设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为+2= 【例12】如图，在△ABC中，∠C=90，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N． （1）求证：BABM=BCBN； （2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值． 【答案】（1）证明：连接MN则∠BMN=90=∠ACB， ∴△ACB∽△NMB，∴，∴ABBM=BCBN （2）解：连接OM，则∠OMC=90， ∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60， ∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30． ∵∠ACB=90，∴AB=2AC=23=6