全国2013年4月高等教学教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题课程代码04183.doc

*-2013年4月概率论与数理统计（经管类）答案解析课程代码：041831.【答案】D【解析】“命中目标”=“甲命中目标”或“乙命中目标”或“甲、乙同时命中目标”，所以可表示为“AB”，故选择D.【提示】注意事件运算的实际意义及性质：（1）事件的和：称事件“A，B至少有一个发生”为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并AB或A+B.性质：,；若，则AB=B.（2）事件的积：称事件“A，B同时发生”为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=AB或F=AB.性质：，； 若，则AB=A.（3）事件的差：称事件“A发生而事件B不发生”为事件A与B的差事件，记做AB.性质：；若，则；.（4）事件运算的性质（i）交换律：AB=BA, AB=BA；（ii）结合律：（AB）C=A（BC）, （AB）C=A（BC）；（iii）分配律： （AB）C=（AC）（BC）（AB）C=（AC）（BC）.（iv）摩根律（对偶律）,2.【答案】A【解析】，故选择A.【提示】见1题【提示】（3）.3.【答案】D【解析】根据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见【提示】.【提示】1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：0F（x）1；对任意x1，x2（x1 x2），都有；F（x）是单调非减函数；，；F（x）右连续；设x为f（x）的连续点，则f（x）存在，且F（x）=f（x）.3.已知X的分布函数F（x），可以求出下列三个常用事件的概率：；，其中a0，如果二维随机变量 （X，Y）的概率密度为，则称 （X，Y）服从区域D上的均匀分布，记为（X，Y）.（2）正态分布：若二维随机变量（X，Y）的概率密度为（，），其中，都是常数，且，则称 （X，Y）服从二维正态分布，记为 （X，Y）.17.【答案】0【解析】根据方差的性质，常数的方差为0.【提示】1.方差的性质D （c）=0，c为常数；D （aX）=a2D （X），a为常数；D （X+b）=D （X），b为常数；D （aX+b）= a2D （X），a，b为常数.2.方差的计算公式：D （X）=E （X2）E2 （X）.18.【答案】【解析】因为随机变量X服从参数1的指数分布，则，则故填写.【提示】连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当收敛时，有19.【答案】【解析】由已知得，所以.【提示】切比雪夫不等式：随机变量具有有限期望和，则对任意给定的，总有或.故填写.20.【答案】1【解析】根据x2定义得C=1，故填写1.【提示】1.应用于“小样本”的三种分布：x2分布：设随机变量X1，X2，Xn相互独立，且均服从标准正态分布，则服从自由度为n的x2分布，记为x2x2 （n）.F分布：设X，Y相互独立，分别服从自由度为m和n的x2分布，则服从自由度为m与n的F分布，记为FF （m，n），其中称m为分子自由度，n为分母自由度.t分布：设XN （0，1），Yx2 （n），且X，Y相互独立，则服从自由度为n的t分布，记为tt （n）.2.对于“大样本”，课本p134,定理6-1：设x1，x2，xn为来自总体X的样本，为样本均值，（1）若总体分布为，则的精确分布为；（2）若总体X的分布未知或非正态分布，但，则的渐近分布为.21.【答案】【解析】课本P153，例7-14给出结论：，而，所以，故填写.【说明】本题是根据例7-14改编.因为的证明过程比较复杂，在2006年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本（也是学员朋友们使用的课本）中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本高等数学 （二）第二分册概率统计P164,例5.8.22.【答案】【解析】由矩估计方法，根据：在参数为的泊松分布中，且的无偏估计为样本均值，所以填写.【提示】点估计的两种方法（1）矩法 （数字特征法）估计：A.基本思想：用样本矩作为总体矩的估计值；用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值.B.估计方法：同A.（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值.B.定义：设总体的概率函数为，其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1，x2，xn是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；若某统计量满足，则称为的极大似然估计.C.估计方法利用偏导数求极大值i）对似然函数求对数ii）对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii）解方程或方程组得即为的极大似然估计.对于似然方程 （组）无解时，利用定义：见教材p150例710；（3）间接估计：理论根据：若是的极大似然估计，则即为的极大似然估计；方法：用矩法或极大似然估计方法得到的估计，从而求出的估计值.23.【答案】【解析】已知总体服从参数为的指数分布，所以，从而，=，故填写.24.【答案】【解析】课本p176，8.3.1.25.【答案】【解析】由一元线性回归模型中，其中，1，2，且，相互独立，得一元线性回归方程，所以，则由20题【提示】（3）得，故填写.【说明】课本p186，三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.（1）设甲取到黑球的概率为p，则.（2）设乙取到的都是黑球的概率为p，则.27.（附：）【分析】本题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验”类型.【解析】设欲检验假设H0：，H1：，选择检验统计量，根据显著水平=0.05及n=16，查t分布表，得临界值t0.025（15）=2.1315，从而得到拒绝域，根据已知数据得统计量的观察值因为，拒绝，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异.【提示】1.假设检验的基本步骤：（1）提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真.如对总体均值检验，原假设为H0：，备择假设为下列三种情况之一：，其中i）为双侧检验，ii），iii）为单侧检验.（2）选择适当的检验统计量，满足： 必须与假设检验中待检验的“量”有关； 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.（3）求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.（4）求统计量的样本值观察值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0.2.关于课本p181，表8-4的记忆的建议：与区间估计对照分类记忆.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.【分析】本题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度.【解析】（1）由已知条件及边缘密度的定义得=，（）所以；同理可得.（2）使用“直接变换法”求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx（x）、Fz（Z），则，由分布函数Fz（Z）与概率密度的关系有由（1）知，所以=.【提示】求随机变量函数的概率密度的“直接变换法”基本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为，求Y=g（X）的概率密度解题步骤：1.；2.29.设随机变量X与Y相互独立，XN（0,3），YN（1,4）.记Z=2X+Y，求（1）E（Z），D（Z）；（2）E（XZ）；（3）PXZ.【分析】本题考察随机变量的数字特征.【解析】（1）因为XN（0,3），YN（1，4），Z=2X+Y，所以E（Z）=E（2X+Y）=2E（X）+E（Y）=1D（Z）=D（2X+Y）=4D（X）+D（Y）=16（2）而随机变量与相互独立，所以 E（XZ）=6.（3）因为，所以.五、应用题（10分）30.【分析】本题考察正态分布的概率问题.【解析】已知XN（75，152），设ZN（0，1），为其分布函数，（1）=即本次考试的及格率为84.13%，优秀率为15.87%.（2）设考试分数至少为x分可排名前50%，即，则=，所以，即，x=75，因此，考试分数至少75分可排名前50%.