全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案.doc

,. 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算16/15，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令，则，， （*） 令，则 ，，， 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 解: 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知， 即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面 平行平面 的切平面方程是。 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________. 解: 方程的两边对求导，得 因，故，即，因此 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 解 :因 故 因此 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 解 : 由和函数连续知， 因，故， 因此，当时，，故 当时， ， 这表明在处连续. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）； （2）. 证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知 （1） 而关于和是对称的，即知 因此 （2）因 故 由 知 即 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解 设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程 的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是 因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和 ， 知， 二阶常系数线性非齐次微分方程为 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 解 因抛物线过原点，故，于是 即 而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 ， 得 即 因此 ,,. 七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和. 解 ， 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，， 于是 下面求级数的和： 令 则 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 令，得，因此级数的和 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量. 解 令，则因当，时，，故 在上严格单调减。因此 即 ， 又 ， ， 所以，当时, 与等价的无穷大量是。 2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求 （2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 解：（1）= === (2) 令x=1/t,则 原式= （3） 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得。 证明：方程在恰有两个实根。 解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0，所以 ， 证明完成。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得 ， =。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设证明： （1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 解： （1）>0, 单调递增 当收敛时，，而收敛，所以收敛； 当发散时， 所以， 而，收敛于k。 所以，收敛。 （2） 所以发散，所以存在，使得 于是， 依此类推，可得存在 使得成立，所以 当时，，所以发散 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球 ，其中（密度为1）绕旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 由轮换对称性， （2） 当时， 当时， 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。 （1）设为正向闭曲线证明 （2）求函数； （3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。 解： （1） L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段，，再从A，B作一曲线，使之包围原点。 则有 （2） 令 由（1）知，代入可得 上式将两边看做y的多项式，整理得 由此可得 解得： （3） 取为，方向为顺时针 2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）.求； 解：（用两个重要极限）： （2）.求； 解：(用欧拉公式）令 其中，表示时的无穷小量， （3）已知，求。 解： 二．（本题10分）求方程的通解。 解：设，则 是一个全微分方程，设 该曲线积分与路径无关 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。 证明：由极限的存在性： 即，又，① 由洛比达法则得 由极限的存在性得 即，又，② 再次使用洛比达法则得 ③ 由①②③得是齐次线性方程组的解 设，则， 增广矩阵，则 所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意， 且。 四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。 解：设上任一点，令， 则椭球面在上点M处的法向量为： 在点M处的切平面为： 原点到平面的距离为，令 则， 现在求在条件，下的条件极值， 令 则由拉格朗日乘数法得： ， 解得或， 对应此时的或 此时的或 又因为，则 所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： ， 五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算： （1）；（2） 解：（1）由题意得：椭球面S的方程为 令则， 切平面的法向量为， 的方程为， 原点到切平面的距离 将一型曲面积分转化为二重积分得：记 (2)方法一： 六．（本题12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。 证明： 由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得 ，又得 级数收敛，级数收敛，即绝对收敛。 七．（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足， ？请说明理由。 解：假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得： 介于0，x之间，使得， 同理，当时，由拉格朗日中值定理得： 介于x，2之间，使得 即 ， 显然， ，又由题意得 即， 不存在，又因为f(x)是在区间上的连续可微函数，即存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。