八上平面几何难题整理汇编.doc

.\ 八年级平面几何难题集锦 1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM. 2.点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证： （1）AN=MB.（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。 3.已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点． （1）求证：①；②； C E N D A B M 图① C A E M B D N 图② （2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： A B C E D O P Q ① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60 ⑥CP=CQ ⑦△CPQ为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分∠AOP ⑩CO平分∠BCD 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接． （1）求证：； （2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论． A G F C B D E 6.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由． 7.在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论； A D B E C F A D B E C F A B C D E F 8.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 9.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F. ⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时： ① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想. ⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 10.已知中，为边的中点， 绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、 当绕点旋转到于时（如图1），易证 A E C F B D 图1 图3 A D F E C B A D B C E 图2 F 当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 11.已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E. 求证:AB=AC+BD. 12.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120，BD=DC．∠MDN=60射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N， ①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系． 13.如图1，BD是等腰的角平分线，. （1）求证BC=AB+AD； （2）如图2，于F，交延长线于E，求证：BD=2CE； A B C D F E 图2 14.已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180。 15.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？ D B E A C 16.如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. A B C D 17.如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:AP是∠BAC的角平分线 E B A C 图2 D 18.如图在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 19.如图，已知在△ABC中，∠B=60，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 20.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF 21.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③ （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 22.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：（1）△BDE≌△CDF （2） 点D在∠A的平分线上 23.如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 24.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=BF； (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。 25.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。 26.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3 27.△ABC中，∠BAC=60，∠C=40，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 28.问题背景，如下命题： ① 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60,则AN=NM ② 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90，则AN=NM ③ 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108,则AN=NM 任务要求： ⑴ 请你证明以上三个命题； ⑵ 请你继续完成下面的探索： ① 如图4,在正（≥3）边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）. ② 如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由. 29.如图，在△ABC中，∠A=90，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB． 30.如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 31.已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90． （i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？ 32.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系． D C B A E H 33.在△ABC中，AD⊥BC, BE⊥AC, D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD.求证：BH=AC BE⊥AD 34.如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC = BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 35.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.(不需要证明) 　　(1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”) (2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 36.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，试说明BD平分EF；若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。 37.如图，△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D． 求证：（1）AE＝CD；　 （2）若AC＝12 cm，求BD的长． 38.如图，两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90，∠DAE=∠ABC=30，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由． 39.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 40.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G. （1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①求证：DG=DC ②判断FH与FC的数量关系并加以证明． （2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明） 41.如图，AD//BC，AD=BC，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF 42.直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且． （1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明． A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 43.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CE^AB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE 44.操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． 探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． 45.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE 求证：AF=AD-CF 46.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AC=BE+BC 47.在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF． 48.已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想． 49.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90， （1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。 （2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ （3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？ 50.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明． 51.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．且≌。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点． ①当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 ． ②当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由． 52. 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 53.已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． （图1） （图2） （图3） 54.已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45时,求AB及PD的长; (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小. 55.在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 图1 图2 图3 （I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=，则Q= （用、L表示）． F E D C A B G H 56.如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。 求证：① △BCG≌△DCE ② BH⊥DE 57.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小； C B O D 图7 A E B A O D C E 图8 （2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小. 58.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90，求五边形ABCDE的面积 59.（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由． （2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由． （3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明 60.、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：． 61.如图，正方形中，．求证：． 62.如图，在等腰中，，是的中点，过作，，且．求证：． 63.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG． A B C D G E 64.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A．300 B．300或1500 C．1200或1500 D．300或1200或1500 65.如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________． A B D M F C 66.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF． E A B D C F 67.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD． B A C D 68.如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形． A C E N M B D 69.如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ） A．A5 B．A6 C．A7 D．A8 A A1 N M A2 A3 (第69题) 70.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)． A B D M C F E 71.如图，∠A=120，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDE=（　　） A．60 B．70 C．80 D．不能确定，具体由三角形的形状确定 72.已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180；③CD=CB；④S△ACE﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 73.三角形ABC内部有2017个点，以顶点A，B，C和这2017个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？ 74.如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD． 求证：∠BAD=∠C． 75.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数． 76.如图，已知△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE． 77.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51，求∠DFE度数． 78.如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC=68 （1）求证：∠ADC=124； （2）若AB+BD=AC，求∠ACB的度数． 79.问题提出：如何把一个等边三角形分割成n个（n≥9）个小等边三角形． 解决问题： （1）把一个等边三角形分割成4个小等边三角形，这个步骤我们称为基本分割法1，请在图a中画出草图． （2）把一个等边三角形分割成6个小等边三角形，这个步骤我们称为基本分割法2，请在图b中画出草图． （3）分别把图c、图d和图e的等边三角形分割成9个、10个和11个小等边三角形． 问题解决： （4）请你写出把一个等边三角形分割成n个（n≥9）个小等边三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）． 80.三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2， （1）当AB=8时，求三角形ABC的面积； （2）当AB变化时，求证：AP的值为定值，并求出这个定值． 81.设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．