南京市2014届数学二模.doc

_* 南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式： 柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．函数f(x)＝lnx＋的定义域为 ▲ ． 2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ． 150 200 250 300 350 400 450 0.005 a 0.001 0.004 0.003 O 成绩/分 (第3题图) 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ． k←1 开始 输出k 结束 S＞6 S←1 Y N S←S＋(k－1)2 k←k＋1 (第6题图) 4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ． 5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ． 6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ． x x y O 2 －2 (第7题图) 7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ． 10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为 ▲ ． 12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且． 若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ▲ ． 13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1 8． 9． 10．60 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1] 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB， P B C D E A (第15题图) BP＝BC，E为PC的中点． （1）求证：AP∥平面BDE； （2）求证：BE⊥平面PAC． 15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE． 因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点． 因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………………4分 因为AP平面BDE，OE平面BDE， 所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以BC⊥平面PAB． ………………………………………8分 因为AP平面PAB，所以BC⊥PA． 因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC， 所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分 因为BE平面PBC，所以PA⊥BE． 因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC． 因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC， 所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分 16．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交 于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)． A B D O C x y (第16题图) （1）若x1＝，求x2； （2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及 △BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值． 16．解：（1）因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分 所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－． …………………………………6分 （2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分 因为α(，)，所以α＋(，)． 所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分 因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分 所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α(，)，所以tanα＝2．………14分 17．(本小题满分14分) A P M N B C (第17题图) 如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． 解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝． 因为MN＝2，所以AM＝sin(120－θ) ． ………………………………………2分 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60＋θ)． …………………………………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AMMPcos∠AMP ＝sin2(120－θ)＋4－22 sin(120－θ) cos(60＋θ) ………………………………8分 ＝sin2(θ＋60)－ sin(θ＋60) cos(θ＋60)＋4 ＝[1－cos (2θ＋120)]－ sin(2θ＋120)＋4 ＝－[sin(2θ＋120)＋cos (2θ＋120)]＋ ＝－sin(2θ＋150)，θ∈(0，120)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150＝270，即θ＝60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2． A P M N B C 第17题图 D 答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD＝θ，在△PMD中， ∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分 在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝， AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分 AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2 ＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分 ＝＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋ ＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)． …………………………12分 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2． 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30 …………………………14分 解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α． 在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AMANcos∠MAN， 即x2＋y2－2xycos60＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分 因为＝，即＝， 所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6分 cos∠AMP＝cos(α＋60)＝cosα－sinα＝－y＝．……………………………8分 在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AMPMcos∠AMP， 即AP2＝x2＋4－22x＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分 因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4． 所以AP2≤12，即AP≤2． 当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2． 答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 18． (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程； （3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值． （1）解：由题意得 解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1． 所以椭圆的方程为＋y2＝1． …………………………………………2分 （2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0． 由 解得或所以点Q的坐标为(－，－)． ……………………4分 因为kPFkPF＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 因为QF2的中点为(－，－)，QF2＝， 所以圆的方程为(x＋)2＋(y＋)2＝． ……………………8分 （3）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)． 因为＝λ，所以即 所以解得x2＝． …………………………………………12分 所以＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy＝－x22－(1＋λ)x2－λ ＝－()2－(1＋λ)－λ＝－(λ＋) ． …………………………………………14分 因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号． 所以≤，即最大值为． …………………………………………16分 19．(本小题满分16分) 已知函数f(x)＝ex，a，bR，且a＞0． （1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)． ① 当a＝1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值； ② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围． 解：（1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 所以f ′(x)＝ex． …………………………………………2分 令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表 x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0，) (，＋∞) f ′(x) － － f (x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f ()＝4．……………………………………4分 （2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex， 当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex． 因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立， 所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分 记h(x)＝x2－2x－（x＞0），则h′(x)＝． 当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数； 当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1． 所以b的最大值为－1－e－1． …………………………………………10分 ②：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex． 由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0， 整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0． 存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立， 等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． …………………………………………12分 因为a＞0，所以＝． 设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝． 因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1， 所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分 20．(本小题满分16分) 已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列， a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值； （2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有＜． 解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d． 因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝＝． ………………3分 因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．因为an＞0，所以d＝． 因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝．……………5分 （2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列， 所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，① a＝a2na2n＋2．②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2．③ 所以＋＝2a2n． 因为an＞0，所以＋＝2． …………7分 即数列{}是等差数列． 所以＝＋(n－1)(－)． 由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列， 可得a4＝．………………8分 所以＝＋(n－1)(－)＝． 所以a2n＝．……………………10分 所以a2n＋2＝． 从而a2n＋1＝＝． 所以a2n－1＝．………………12分 ①当n＝2m，mN*时， －＝－＝－ ＝－＜0． ……………14分 ②当n＝2m－1，mN*，m≥2时， －＝－＝－ ＝－＜0． 综上，对一切n∈N*，n≥2，有＜． ………………16分 证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列． 因为－＝＝＝－≤0， 所以≤．………………9分 ②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝．………11分 由①②可知，对任意n≥2，n∈N*， ≤≤…≤．………13分 又因为－＝－＝＝－， 因为a1＜a2，所以－＜0，即＜．………15分 综上，＜．…………16分． 南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 2014.03 注意事项： 1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与 A E B C F D 第21题A图 DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F． （1）求证：四边形ACBE为平行四边形； （2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长. A．选修4—1：几何证明选讲 解：（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB． 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB． 所以∠ABC＝∠BAE． 所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分 （2）因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB(EB＋BD)，即62＝EB(EB＋5)，解得BE＝4． 根据（1）有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6． 设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝．………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝． （1）求矩阵A； （2）若A＝，求x，y的值． 解：（1）由题意，得 ＝2，即 解得a＝2，b＝4． 所以A＝． ………………………………………5分 （2）解法一：A＝，即 ＝， 所以 ………………………………………8分 解得 ………………………………………10分 解法二：因为A＝，所以A－1＝． ………………………………………7分 因为A＝，所以＝A－1＝ ＝． 所以 ………………………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，求曲线r＝2cosθ关于直线θ＝(rR)对称的曲线的极坐标方程． 解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系， 则曲线r＝2cosθ的直角坐标方程为 (x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1，0)．………………………4分 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x， 因为圆心C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)， 所以圆心C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1． ………………………………………8分 所以曲线r＝2cosθ关于直线θ＝(rR)对称的曲线的极坐标方程为r＝2sinθ．…………………10分 解法二：设曲线r＝2cosθ上任意一点为(r′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(r，θ)， 则 ………………………………………6分 将(r′，θ′)代入r＝2cosθ，得r＝2cos(－θ)，即r＝2sinθ． 所以曲线r＝2cosθ关于直线θ＝(r∈R)对称的曲线的极坐标方程为r＝2sinθ．…………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1． 证： 因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3＋2＝1． 即|x＋5y|≤1． ………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有2人申请A大学的概率； （2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)． 22．（本小题满分10分） 解（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A， P(A)＝＝＝． 答：恰有2人申请A大学的概率为． ………………………………………4分 （2）X的所有可能值为1，2，3． P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝． X的概率分布列为： X 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝1＋2＋3＝． ………………………………………10分 23．（本小题满分10分） 设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足： ①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)． （1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式． 23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分 因为f(n)是单调增函数， 所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5． 因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ………………………………………3分 （2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1． 证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z， 所以f (n+1)≥f (n)+1． 首先证明：f (n)≥n+1． 因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1． 则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立． 综上，f (n)≥n+1． ………………………………………5分 由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1， 所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1． 下面证明：f (n)＝n+1． 因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1， 则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2， 又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2． 即n＝k+1时，命题也成立． 所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分