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1.5函数的图象
一、教学分析
本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数的图象与正弦曲线的关系,以及φ、ω、A的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.
如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.
二、教学目标：
1、知识与技能
用多媒体演示画出函数的图象，观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响；引导学生认识的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数的简图.
2、过程与方法
通过引导学生对函数y＝sinx到的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.
3、情感态度与价值观
经历对函数y＝sinx到的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.
三、教学重点、难点：
重点：将考察参数φ、ω、A对函数图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x到的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数的简图.
难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
四：教法与核心素养
教法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论。
核心素养：本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于兴奋的状态之中。观察、归纳是发现知识、获得知识的基本思维形式，函数的图像是三角函数中的一个重要问题，在教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施，创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比，归纳出具有普遍性的、一般的、整体性质。培养学生数学抽象，逻辑推理，直观想象的能力。
五：教学设想
函数的图象（一）
（一）、导入新课
情境导入：在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如的函数(其中φ、ω、A是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数的图象.
观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对的图象的影响？
从解析式来看,函数y=sinx与函数存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数存在着怎样的关系?
接下来,我们就分别探索φ、ω、A对的图象的影响.
（二）、推进新课、新知探究、提出问题
（1）探索φ对函数的图象的影响
①让学生利用“五点法”画出y=sin(x+)和y=sin(x-),并让学生自己总结y=sin(x+)和y=sin(x-)与y=sinx之间的关系。直观感受φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,教师利用多媒体动态演示，让学生你从中发现φ对图象有怎样的影响？
③让学生自己总结如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.
教师用多媒体进行展示，并利用动态形象描述y=sin(x+φ)与y=sinx 之间的关系，最后师生一起总结：
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.
（平移变换：左加右减）
如图1.
（2）探索ω对函数的图象的影响
①让学生观察y=sin2x和y=sinx的图象与y=sinx之间的关系。直观感受ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
②你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+)
教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:
图2
如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.
教师用多媒体进行展示，并利用动态形象描述y=sin(ωx+φ)与y=sin(x+φ) 之间的关系，最后师生一起总结：
函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
（伸缩变化：横坐标伸缩，纵坐标不变 ）
（3）探索A对函数的图象的影响
①让学生观察y=2sinx和y=sinx的图象与y=sinx之间的关系。直观感受A对的图象的影响
②你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2, φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用多媒体演示作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.
教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3
分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:
函数 (其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
0, ω>0)的图象变化的影响情况.
一般地,函数 (其中A>0, ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:
先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数的图象.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.
（4）规律总结:
这一过程的步骤如下:
(5)应用示例:
例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.
活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝-,ω＝,A＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.
图4
(2)学生完成变换后,就得到了函数y=2sin(x-)简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.
解:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为
y=sinx的图象y=sin(x-)的图象
y=sin(x-)的图象
y=2sin(x-)的图象.
利用“五点法”作图——作一个周期内的图象
令X=x-,则x=3(X+).列表:
X
0
π
2π
X
2π
5π
Y
0
2
0
-2
0
描点画图,如图5所示.
图5
点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X取0,,π,,2π来确定对应的x值.
六、课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.
2.教师强调本节课借助于多媒体讨论并画出的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.
七、作业 必修4习题1.5A组第2、3两题
八、板书设计
函数y=Asin(wx+j) 的图象（一）
1. 的图像变换
练习
2 的图像变换
练习
3.的图像变换
练习
例1
总结提炼
多
媒
体
演
示
九、教学反思：
