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函数大题
1.(2017天津,23,10分)用A4纸复印文件.在甲复印店不管一次复印多少页,每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件,一次复印页数不超过20时,每页收费0.12元;一次复印页数超过20时,超过部分每页收费0.09元.
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数).
(1)根据题意,填写下表:
一次复印页数(页)
5
10
20
30
…
甲复印店收费(元)
0.5
2
…
乙复印店收费(元)
0.6
2.4
…
(2)设在甲复印店复印收费y1元,在乙复印店复印收费y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关系式;
(3)当x>70时,顾客在哪家复印店复印花费少?请说明理由.
2.(2017吉林,24,8分)如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28 s时注满水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示.
(1)正方体铁块的棱长为________cm;
(2)求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满,直接写出t的值.
3.(2014江苏苏州,24,7分)如图,已知函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2.在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=-x+b和y=x的图象于点C、D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
4.(2017陕西,21,7分)在精准扶贫中,某村的李师傅在县政府的扶持下,去年下半年,他对家里的3个温室大棚进行整修改造.然后,1个大棚种植香瓜,另外2个大棚种植甜瓜.今年上半年喜获丰收,现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完,他高兴地说:“我的日子终于好了.”
最近,李师傅在扶贫工作者的指导下,计划在农业合作社承包5个大棚,以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜.他根据种植经验及今年上半年的市场情况,打算下半年种植时,两个品种同时种,一个大棚只种一个品种的瓜,并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下:
项目
品种
产量(斤/棚)
销售价(元/斤)
成本(元/棚)
香瓜
2 000
12
8 000
甜瓜
4 500
3
5 000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个,明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后,获得的利润为y元.
根据以上提供的信息,请你解答下列问题:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)求出李师傅种植的8个大棚中,香瓜至少种植几个大棚,才能使获得的利润不低于10万元.
5.(2015江苏南京江宁,24)在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄,甲、乙两人同时分别从A、B两村出发,甲骑摩托车,乙骑电动车沿公路匀速驶向C村,最终到达C村.甲、乙两人距C村的距离y1,y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,请回答下列问题:
(1)A、C两村间的距离为________km;
(2)求a的值和点P的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)乙在行驶过程中,何时距甲10 km?
6.(2016安徽安庆,17)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.
7.(2015福建晋江,24)一队学生从学校出发去劳动基地军训,行进的路程与时间的图象如图所示,队伍走了0.9小时后,队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校拿材料,通讯员经过0.5小时后回到学校,然后随即按原来加快的速度追赶队伍,恰好在劳动基地追上学生队伍.设学生队伍与学校的距离为d1千米,通讯员与学校的距离为d2千米,试根据图象解决下列问题:
(1)学生队伍的行进速度v=________千米/时;
(2)当0.9≤t≤3.15时,求d2与t的函数关系式;
(3)已知学生队伍与通讯员的距离不超过3千米时,能用无线对讲机保持联系,试求通讯员离开队伍后他们能用无线对讲机保持联系时t的取值范围.
8.(2016重庆,23)受地震的影响,某超市鸡蛋供应紧张,需每天从外地调运鸡蛋1 200斤.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出800斤,乙养殖场每天最多可调出900斤,从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如下表:
到超市的路程(千米)
运费(元/斤千米)
甲养殖场
200
0.012
乙养殖场
140
0.015
(1)若某天调运鸡蛋的总运费为2 670元,则从甲、乙两养殖场各调运多少斤鸡蛋?
(2)设从甲养殖场调运鸡蛋m斤,总运费为W元,试写出W与m的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少?
9.(2017吉林长春,22)甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地,甲以a千米/时的速度匀速行驶,途中出现故障后停车维修,修好后以2a千米/时的速度继续行驶;乙在甲出发2小时后匀速前往B地,设甲、乙两车与A地的距离为s(千米),甲车离开A地的时间为t(小时),s与t之间的函数图象如图所示.
(1)求a和b的值;
(2)求两车在途中相遇时t的值;
(3)当两车相距60千米时,求t的值.
10.(2017湖北咸宁赤壁,23)阅读理解:如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,AC边上的高为h,点M为底边BC上任意一点,点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2,连接AM,利用S△ABC=S△ABM+S△ACM,可以得出结论:h=h1+h2.
类比探究:如图2,当点M在BC的延长线上时,猜想h、h1、h2之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展应用:如图3,在平面直角坐标系中,有两条直线l1:y=x+3,l2:y=-3x+3,若l2上一点M到l1的距离是1,试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论,求出点M的坐标.
图1
图2
图3
11.(2017江西萍乡,18)如图1,某商场有一双向运行的自动扶梯,扶梯上行和下行的速度保持不变且相同,甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端,甲站上行扶梯的同时又以0.8 m/s的速度往上跑,乙站下行扶梯后则站立不动随扶梯下行,两人在途中相遇,甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯,同时以0.8 m/s的速度往下跑,而乙到达底端后则在原地等候甲.图2中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中,离扶梯底端的距离y(m)与所用时间x(s)之间的部分函数关系的图象,结合图象解答下列问题:
(1)点B的坐标是________;
(2)求AB所在直线的函数关系式;
(3)乙到达扶梯底端后,还需等待多长时间,甲才到达扶梯底端?
12.(2015辽宁盘锦,22)小明和小刚进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚.两人上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线段OBA表示小明在整个训练中y与x的函数关系,其中点A在x轴上,点B坐标为(2,480).
(1)点B所表示的实际意义是 ;
(2)求出线段AB所在直线的函数关系式;
(3)如果小刚上坡平均速度是小明上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?
13.(2016吉林长春,21)某县在实施“村村通”工程中,决定在A、B两村之间修一条公路,甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路,施工期间,甲队改变了一次修路速度,乙队因另有任务提前离开,余下的任务由甲队单独完成,直到公路修通,甲、乙两个工程队各自所修公路的长度y(米)与修路时间x(天)之间的函数图象如图所示.
(1)求甲队前8天所修公路的长度;
(2)求甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式;
(3)求这条公路的总长度.
14.(2017湖北天门,23)某游泳馆普通票价为20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
15.(2015天津,23,10分)1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50 min.设气球上升时间为x min(0≤x≤50).
(1)根据题意,填写下表:
上升时间/min
10
30
…
x
1号探测气球所在位置的海拔/m
15
…
2号探测气球所在位置的海拔/m
30
…
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由;
(3)当30≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?
16.(2016新疆乌鲁木齐,21,10分)小强的爸爸从家骑自行车去图书馆借书,途中遇到了从图书馆步行回家的小强.爸爸借完书后迅速回家,途中追上了小强,便用自行车载上小强一起回家.结果爸爸比自己单独骑车回家晚到1分钟.两人与家的距离s(千米)和爸爸从家出发后的时间t(分钟)之间的关系如图所示.
(1)图书馆离家有多少千米?
(2)爸爸和小强第一次相遇时,离家多少千米?
(3)爸爸载上小强后一起回家的速度是多少?
17.(2015河南郑州,20)如图,一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F,与双曲线y=-(x<0)交于点P(-1,n),且F是PE的中点.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=a与l交于点A,与双曲线交于点B(不同于点A),问a为何值时,PA=PB?
19.(2016天津河西,20)已知反比例函数y=(k为常数,k≠1).
(1)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值;
(2)若在其图象的每一个分支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围;
(3)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.
20.(2017甘肃白银,26)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(2,-1),B两点,直线y=2与y轴交于点C,连接AC,BC.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.
21.(2014江苏镇江,25,6分)六一儿童节,小文到公园游玩,看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度),如图,它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ),他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,比如:A、B、C是弯道MN上三点,矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图),图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3,并测得S2=6(单位:平方米),OG=GH=HI.
(1)求S1和S3的值;
(2)设T(x,y)是弯道MN上的任一点,写出y关于x的函数关系式;
(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造,在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外),已知MP=2米,NQ=3米.问一共能种植多少棵花木?
22.(2016重庆,22,10分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、第四象限内的A、B两点,与y轴交于C点.过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH=,点B的坐标为(m,-2).
(1)求△AHO的周长;
(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.
23.(2017江西,20,8分)如图,射线y=k1x(x≥0)与双曲线y=(x>0)相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3),连接AB,将Rt△AOB沿OP方向平移,使点O移动到点P,得到△APB.过点A作AC∥y轴交双曲线于点C.
(1)求k1与k2的值;
(2)求直线PC的表达式;
(3)直接写出线段AB扫过的面积.
24.(2017重庆A卷,22,10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C.过点B作BM⊥x轴,垂足为M,BM=OM,OB=2,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接MC,求四边形MBOC的面积.
25.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y=(x<0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D.
(1)求反比例函数的关系式;
(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.
27.(2016吉林,22,7分)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象上有一点A(m,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将点B向右平移2个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D,CD=.
(1)点D的横坐标为________(用含m的式子表示);
(2)求反比例函数的解析式.
28.(2017新疆乌鲁木齐,24,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(-1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A,点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E.
①当PE=2ED时,求P点坐标;
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
29.(2017云南,21,8分)已知二次函数y=-2x2+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点,O是原点.
(1)不等式b+2c+8≥0是否成立?请说明理由;
(2)设S是△AMO的面积,求满足S=9的所有点M的坐标.
30.(2017重庆A卷,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-x-与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
(1)求直线AE的解析式;
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y,y经过点D,y的顶点为点F.在新抛物线y的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
31.(2015宁夏,24,8分)已知点A(,3)在抛物线y=-x2+x上,设点A关于抛物线对称轴对称的点为B.
(1)求点B的坐标;
(2)求∠AOB的度数.
32.(2016吉林,26,10分)如图①,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过O,A,B三点.
(1)当m=2时,a=________,当m=3时,a=________;
(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;
(3)如图②,在图①的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P,Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为________;
(4)利用(2),(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.
33.(2017陕西,24,10分)在同一直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.
(1)求抛物线C1,C2的函数表达式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.
35.(2015湖北丹江口,23)如图,已知A(0,4),B(-3,0),C(2,0),D为B点关于AC的对称点,反比例函数y=的图象经过D点.
(1)证明:四边形ABCD为菱形;
(2)求此反比例函数的解析式;
(3)已知在y=(x>0)的图象上有一点N,y轴正半轴上有一点M,使得四边形ABMN是平行四边形,求M点的坐标.
36.(2015福建莆田,23)如图,直线AB与x轴交于点C,与双曲线y=交于A、B(-5,a)两点,AD⊥x轴于点D,BE∥x轴且与y轴交于点E,判断四边形CBED的形状,并说明理由.
37.(2017兰州七里河,24)近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量的取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时,井下3 km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少 km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井.
38.(2017天津红桥,24)如图,等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过边OB的中点C和AE的中点D,已知等边△OAB的边长为8.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求等边△AFE的周长.
39.(2015河南郑州,23)如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使得以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
40.(2016天津南开,25)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x-m)2-m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连接AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连接BD,作AE∥x轴,DE∥y轴.
(1)当m=2时,求点B的坐标;
(2)求DE的长;
(3)设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式.
41.(2017湖北咸宁赤壁,24)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点A(-3,4)、B(-3,0)、C(-1,0).以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B,动点P从点D出发,沿DC边向点C运动,同时动点Q从点B出发,沿BA边向点A运动,点P、Q运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t秒.过点P作PE⊥CD交BD于点E,过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G,连接QG.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,四边形BDGQ的面积最大?最大值为多少?
(3)动点P、Q运动过程中,在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H,使以B,Q,E,H为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出此时菱形的周长;若不存在,请说明理由.
42.(2015辽宁营口,26)如图,已知抛物线y=-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为(8,0).
(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;
(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似,并说明理由;
(3)M为抛物线上B、C两点之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
43.(2016福建福州,27)如图,抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;
(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值;
(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点P的坐标.
44.(2017天津武清,25)如图,已知抛物线y=-x2+2x经过原点O,且与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;
(2)求证:∠ABC=90;
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
45.(2017上海奉贤,24)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的顶点为D,连接AC、BC、DB、DC.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)求证:△ACO∽△DBC;
(3)如果点E在x轴上,且在点B的右侧,∠BCE=∠ACO,求点E的坐标.
46.(2015宁夏,25,10分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:
单价(元/件)
30
34
38
40
42
销量(件)
40
32
24
20
16
(1)计算这5天销售额的平均数;(销售额=单价销量)
(2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式;(不需要写出函数自变量的取值范围)
(3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(2)中的关系,且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少?
47.(2016山东青岛,20,8分)如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边OA的距离分别为m,m.
(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案?
48.(2015内蒙古包头,26,12分)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.
(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)连接AC,CD,BD,BC,设△AOC,△BOC,△BCD的面积分别为S1,S2和S3,用等式表示S1,S2,S3之间的数量关系,并说明理由;
(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN∥BC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
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