厦门大学2012量子力学期末考试试卷及标准答案集.doc

-/ 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. 一定也是该方程的一个解； B. 一定不是该方程的解； C. Ψ 与 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以表示角动量算符，则对易运算为：B A. ih B. ih C.i D.h 7．如果算符 、 对易，且 =A，则：B A. 一定不是 的本征态； B. 一定是 的本征态； C.一定是 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是 的本征态。 8．如果一个力学量 与 对易，则意味着：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且 l=N-2n，则在一确定的能量 (N+)h下，简并度为：B A. ； B. ； C.N(N+1)； D.(N+1)(n+2) 12．判断自旋波函数 是什么性质：C A. 自旋单态； B.自旋反对称态； C.自旋三态； D. 本征值为1. 二 填空题（每题4分共24分） 1．如果已知氢原子的电子能量为 ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。 2．如果已知初始三维波函数 ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 =——————————————，任意时刻的波函数为————————————。 3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 点波函数————————（连续或不连续），它的导数————————————（连续或不连续）。 4．如果选用的函数空间基矢为 ，则某波函数 处于 态的几率用 Dirac符号表示为——————————，某算符 在 态中的平均值的表示为——————————。 5．在量子力学中，波函数 在算符操作下具有对称性，含义是——————————————————————————，与 对应的守恒量 一定是——————————算符。 6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是— ———————————————————。 三计算题（40分） 1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x≤a，V(x)=∞,当x<0或x>0,求粒子的能量和波函数。(10分) 2．设一维粒子的初态为，求。（10分） 3．计算表象变换到表象的变换矩阵。（10分） 4 。4个玻色子占据3个单态 ，，，把所有满足对称性要求的态写出来。（10分） B卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求 1、在A表象中算符、的矩阵表示； 2、在A表象中算符的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）线性谐振子在时处于状态 ，其中，求 1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值 四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： 4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。 5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，， 则有 ，这个关系式称为测不准关系。 时间和能量之间的测不准关系为： 二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是： 设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为： 2、在A表象中算符的本征方程为： 即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有： 所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为： ， 当时有：， 于是时的波函数可写成：，容易验证它是归一化的波函数，于是时的能量取值几率为： ，，能量取其他值的几率皆为零。 能量的平均值为： 2、 时体系波函数 显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。 四、解：将矩阵改写成： 能量的零级近似为：，， 能量的一级修正为：，， 能量的二级修正为：， ， 所以体系近似到二级的能量为：，， 先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为：，，， 利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：，， 近似到一级的波函数为：，， 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个： （1）；（2） （3）； （4） 一、（20分）已知氢原子在时处于状态 其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为 ， （1） 将时的波函数写成矩阵形式 （2） 利用归一化条件 （3） 于是，归一化后的波函数为 （4） 能量的可能取值为，相应的取值几率为 （5） 能量平均值为 （6） 自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为 （7） 自旋分量的平均值为 （8） 时的波函数 （9） 二. （20分） 质量为的粒子在如下一维势阱中运动 若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。 解 对于的情况，三个区域中的波函数分别为 （1） 其中， （2） 利用波函数再处的连接条件知，，。 在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 （3） 得到 （4） 于是有 （5） 此即能量满足的超越方程。 当时，由于 （6） 故 （7） 最后得到势阱的宽度 （8） 三、（20分） 证明如下关系式 （1）任意角动量算符满足 。 证明 对分量有 同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。 投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。 证明 在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为 而投影算符的共軛算符的矩阵元为 显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。 利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。 证明 四、（20分） 在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。 解 在与表象下，当轨道角动量量子数时，，显然，算符、与皆为三维矩阵。 由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有 （1） 相应的本征解为 （2） 对于算符、而言，需要用到升降算符，即 （3） 而 （4） 当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且， （5） 只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即 （6） 于是得到算符、的矩阵形式如下 （7） 满足的本征方程为 （8） 相应的久期方程为 （9） 将其化为 （10） 得到三个本征值分别为 （11） 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 （12） 满足的本征方程为 （13） 相应的久期方程为 （14） 将其化为 （15） 得到三个本征值分别为 （16） 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 （17） 五、（20分） 由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项（分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为 式中， 。 解 体系的哈密顿算符为 （1） 其中 （2） 已知的解为 （3） 其中 （4） 将前三个能量与波函数具体写出来 （5） 对于基态而言，，，体系无简并。 利用公式 （6） 可知 （7） 显然，求和号中不为零的矩阵元只有 （8） 于是得到基态能量的二级修正为 （9） 第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为 （10） 其中 （11） 将上式代入（10）式得到 （12） 整理之，满足 （13） 于是得到第二激发态能量的一级修正为 （14） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率n、波长l之间的关系，其表达式为： E=, p= 。 3．根据波函数的统计解释，的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为： 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数y(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： 。 8．一个力学量为守恒量的条件是：不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 。 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： 2、（10分）由Schrdinger 方程 证明几率守恒： 其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schrdinger 方程及其共轭式： 在空间闭区域τ中将上式积分，则有： 1、（10分）设氢原子处于状态 求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。 解：在此状态中，氢原子能量有确定值 ，几率为1 角动量平方有确定值为 ，几率为1 角动量Z分量的可能值为 其相应的几率分别为 ， 2、（10分）求角动量z分量 的本征值和本征函数。 解： 波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即： 求归一化系数 最后，得 Lz的本征函数 3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为： 设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。 解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为： H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为： E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = -2 由非简并微扰公式 得能量一级修正： 能量二级修正为： 二级近似下能量本征值为： 量子力学期末试题及答案（B） 一、填空题： 1、 波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、 |Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并。 4、 两个力学量对应的算符 对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知 其中是不考虑这种效应的势能分布，即 为考虑这种效应后的势能分布，在区域， 在区域，可由下式得出， 由于很小，所以，可视为一种微扰，由它引起 一级修正为（基态） ∵，故。 ∴ 第三题 其相应的久期方程： 即： 由归一化条件得： 量子力学期末试题及答案(C) 一、填空题 1、 黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 2、 索末非提出的广义量子化条件是 3、 一粒子有波函数由描写，则= 4、 粒子在势场U(r)中运动，则粒子的哈密顿算符为 5、 量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。 6、 氢原子的一级斯塔克效应中，对于n=2的能级由原来的一个能级分裂为３个子能级。 7、 1925年，乌论贝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脱（Goudsmit）提出每个电子具有自旋角动量S，它在任何方向的投影只能取两个数值，即 8、 Pauli算符的反对易关系式是 9、 如果全同粒子体系的波函数是反对称的，则组成该体系的全同粒子一定是费米子 10、 在两个电子的对称自旋态中，的本征值是 2、 选择题 6、 么正矩阵S的定义是为（Ａ） A B C D 7、 在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即，其中和应满足的条件是（ Ｂ ） A与时间无关，与时间无关 B与时间无关，与时间有关C与时间有关，与时间有关 D与时间有关，与时间无关 8、 自旋量子数S的值为（ ） A 1/4 B 3/4 C /2 D 1/2 9、 Pauli算符的x分量的平方的本征值为（ Ｂ ） A 0 B 1 C i D 2i 10、 电子自旋角动量的幺分量，算符表象中的矩阵表示为（ Ｃ ） A B C D 三、证明题 １、若体系的归一化波函数形式为: 求系统的几率分布，并证明它并不处于定态。 证明： ２、 证明厄米算符的本征值为实数。 ３、 定义，证明 四、计算题 1、 求在一维势场中运动的粒子的能级。 解：对于宽度为２ａ的对称一维无限深方势肼 在阱内体系满足的定态薛定谔方程是为方便起见， 引入符号则上式可简写为 它的解是：，将 代入上式有：同时综合式得 2、 设一体系未微扰作用时只有两个能级，其中，现在受到微扰的作用，微扰矩阵为，且ａ，ｂ都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：将代入能量修正公式，得到一级修正 和二级修正 因此能量的二级修正值为 3、 设处于无限深的势肼中的粒子的态为试求：（１）测量粒子的能量的可能值和相应的几率； （２）能量的平均值。