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\\ 圆 目 录 一． 圆的定义及相关概念 二． 垂经定理及其推论 三． 圆周角与圆心角 四． 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 五． 圆内接四边形 六． 会用切线 , 能证切线 七． 切线长定理 八． 三角形的内切圆 九． 了解弦切角与圆幂定理（选学） 十． 圆与圆的位置关系 十一． 圆的有关计算 十二． 圆的基础综合测试 十三． 圆的终极综合测试 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内 d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 M A B C 例2．已知，如图，CD是直径，，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 D O E B A C 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。 例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？ 例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,， A B D C O E 求CD的长． 例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数． 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A．1个 B．2 C．3个 D．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（ ） A．1个 B．2 C．3个 D．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹） 11.如图，已知在中，，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长． B D A C 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。 13、 △ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。 14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。 15.思考题 A B D C E P F O 如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值. 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1、在半径为2的圆中，弦长等于2的弦的弦心距为 ____ 2. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120,则⊙O的半径= __, BC= ___. 3． P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_________；最长弦长为_______． 4. 如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30,OF=3, 则OA=______ , AC=______ , BC= _________ . 5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= ____ 6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD是 形; ⑵若OD=3,半径,则AB= _cm, AC= ___ _ cm 7.如图7，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30，则CD的长为_________． (5) (6) (7) 二．垂径定理及其推论 【考点速览】 考点1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤． ③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为： ① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点 【典型例题】 例1 如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且． A B D C O N M 求证：AB=CD． 例2已知，不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。求证：CE=DF． 例3 如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。 （1）求证：AE＝BF O A B C D E F m （2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。 例4 A B C D P O 。. 如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【考点速练】 1.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A．1cm B.2cm C. D.cm 3．如图1，⊙O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ） A．10cm B.8cm C. D. 4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A．0个 B.1个 C.2个 D.3个 5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A．3:2 B.:2 C.: D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为,则外接圆直径为（ ） A D E C B O 图1 A．2cm B.4cm C.6cm D.8cm A O C D B 图2 7.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 . 8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m. A B D C O 800 9.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD． A B C D 10.如图，已知△ABC中，∠ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作圆交斜边AB于D，则AD的长为 。 11.已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由. 12.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF. O A B D C E F M N A B M N C P 13.（思考题）如图，与交于点A，B，过A的直线分别交，于M,N，C为MN的中点，P为的中点，求证：PA=PC. 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为M。且OM=3cm，则CD= . 2．D是半径为5cm的⊙O内的一点，且D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB= cm. 3.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为cm，则此弦所对应弓形的弓高是 . 4.已知⊙O的弦AB=2cm,圆心到AB的距离为n,则⊙O的半径R= ，⊙O的周长为 . ⊙O的面积为 . 5．在⊙O中，弦AB=10cm，C为劣孤的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则⊙O的半径是 . 6．⊙O中，AB、CD是弦，且AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径为5cm，连接AD、BC，则梯形ABCD的面积等于 . 7．如图，⊙O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OF⊥CD于F，OF=2cm，则 ∠BED= . A E F B C D O 8．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 . 三．圆周角与圆心角 【考点速览】 考点1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可． Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 考点2 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． Eg: 如下三图，请证明。 考点3 4. 推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 经典例题 例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35,则∠OBC=_____. B O C A O A B C 例3：如图，圆心角∠AOB=100，则∠ACB=　　　　． E F C D G O 例２ 例４：如图１，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，则 ． （例１） 例5：如图2，⊙O的直径过弦的中点，，则 ． 例6：已知：如图，AD是⊙O的直径，∠ABC=30，则∠CAD=_______． _ . . . _ D _ C _ B _ A _ O 例7：已知⊙O中，，，则⊙O的半径为 ． A O B D C G F 1 E 例8 已知：如图所示，是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证： 考点练习 1.如图，已知是⊙O的圆周角，，则圆心角是（　　　） A． B. C. D. 2.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ） A．45 B．60 C．75 D．90 3.△ABC中，∠A＝30，∠B＝60，AC＝6，则△ABC外接圆的半径为（　　） 　 A． B． C． D．3 4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A．30 B．150 C．30或150 D．60 5.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5 个 B E D A C O 6.下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A B C O A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 7.如图，⊙O是等边三角形的外接圆，⊙O的半径为2， 则等边三角形的边长为（ ） A． B． C． D． （第9题） A 8.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。 9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视 器 　　　　　　　　　台。 A B O C x P O 10.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则∠1的度数为 。 11.如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是 . 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56，则α的度数是 . 13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD． （1）求证：DB平分∠ADC； （2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长． 14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC． E D B A O C （1）求证：ACO=BCD． （2）若EB=，CD=，求⊙O的直径． 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。 （1）求证：AC＝AE； A C B D E （2）求△ACD外接圆的半径。 16.已知：如图等边内接于⊙O，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结． （1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由． （2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形？为什么？ A O C D P B 图① A O C D P B 图② 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中） A B E F OO PO CO 1O 2O DO 例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD． 例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。 求证：PA=PC。 O A B C 例3．如图所示，在中，∠A=，⊙O截的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC. 例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：AC=AE． O C A E B D 例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E． 求证：是等边三角形． O A D E B C 综合练习 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等 2．如图，在⊙O中，AB的度数是，∠OBC=，那么∠OAC等于（ ） O 图 A B C A、 B、 C、 D、 3．P为⊙O内一点，已知OP=1cm，⊙O的半径r=2cm，则过P点弦中，最短的弦长为（ ） A、1cm B、cm C、cm D、4cm 4．在⊙O中，AB与CD为两平行弦，ABCD，AB、CD所对圆心角分别为，若⊙O的半径为6，则AB、CD两弦相距（ ） A、3 B、6 C、 D、 5.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。 （1）试说明△ODE的形状； （2）如图2，若∠A=60，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。 6 如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G. （1）求证：△BEF是等边三角形； A O B E D C G F （2）BA=4，CG=2，求BF的长. 7 已知：如图，∠AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.如图1，内接于⊙，则⊙的半径为（ ）. A． B．4 C． D．5 2.如图2，在⊙中，点C是AB的中点，，则等于（ ）. A． B． C． D． 如图1 如图2 3.如图3，A、B、C、D是⊙上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，，= 度. 4.如图4，已知AB是⊙的直径，C、D是⊙上的两点，，则的度数是 . 如图3 如图4 如图5 5.如图5，AB是半圆的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm. 6．如图所示，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D 是CO的中点，DE∥AB．求证: EC=2EA A B O D E C 五．圆内接四边形 【考点速览】 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。 【典型例题】 例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数． A B C D O （2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D的度数． 例2 四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且AP∥BD．求证： A D C B O P 例3 如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点．求证：DB+DC=DA． A B C D O 例4 AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF， 求证： A B C D E O 例5 如图所示，在中，AB=AC，过A点的直线与的外接圆交于E，与BC的延长线交于D．求证： 【考点速练】 1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． 2．已知四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． A B C E D O 3．如右图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CD于E，若∠ABC=，则∠DAE= ． 4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度数比为2:3:4， 则∠A= ，∠B= ． 5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ． 6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的延长线上一点，BD=CD，∠EAD=，则∠BDC= ． 7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D大，则∠A= 。∠D= ． 8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（ ） A、 B、 C、 D、 9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A、 B、 C、 D、 11．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A、有一个角为的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、直角梯形 12．如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD的度数为，那么∠C等于（ ） A、 B、 C、 D、 13．若四边形ABCD内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则（ ） A D B C O 图2 A、5m=4n B、4m=5n C、m+n=9 D、m=n= A D C B P Q 图1 14．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上任一点（点C、D均不与A、B重合）. (1)求； A B C O D (2)求三角形ABD的最大面积． 15．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D为劣弧BC上一动点（不与B、A、C重合），直线AD与BC交于E点，连结BD、DC. （1）求证:BDDC=DEDA； （2）若将D改为优弧BAC上一动点（不与B、A、C重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论. A B C O A E D C B 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1．过四边形ABCD顶点A、B、C作一个圆，若∠B+∠D，则D点在（ ） A、圆上 B、圆内 C、圆外 D、不能确定 2．如图1，若AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A、5对 B、6对 C、7对 D、8对 3．如图2，已知的外角∠BCD的平分线CE交的外接圆于E，则是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 4．如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE是⊙O的弦，且AE⊥CD，若∠B=，则∠DAE为（ ） A B C D E O 图3 A B C D 图1 A、 B、 C、 D、 A B C D E 图2 A B D C O 5．已知：如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O直径，若∠DAC=，BC=，AD=5．求AC的长． 六．会用切线，能证切线 考点速览： 考点1 直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 d与r的关系 直线与圆的位置关系 0 d>r 相离 1 d=r 相切 2 d

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