初三数学有关圆的经典编辑例题.doc

-! 初三数学 有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∴∠OAD=30，∠OAE=45，故∠BAC=75， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30，∠OAE=45， ∴∠BAC=15 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D， （1）求证：△ABC是直角三角形； 分析： 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线； （2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90，DE⊥AB，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA 例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E， ∵ 在△AFB中，有AF+FB>AB ∴选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD，∴AB>CE ∴选A。 例4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD ∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90，又∵BD=BD ∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD 例5. 于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。 （1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？ 分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。 解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，则∠OCA=∠FAH， ∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH， ∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90 即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。 即AD2=DEDF 点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DEDF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。 例6. D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。 分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。 解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC ∴AB、DC切⊙O于点B和点C， ∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x， 在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x， 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上， （1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD； （2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。 分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90，即需证∠D+∠C=90，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90，问题就可以得证。 （2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。 解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90 ∴∠D+∠BAD=90 又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90 ∴∠CO2D=90，∴CO2⊥AD （2）CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在△AO2C与△DO2C中 ∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB ∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD， ∴△CAD为等腰三角形， ∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。 例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心， 积S。（图中阴影部分） 分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解： 分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180， 原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解： 一、填空题（104=40分） 1. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。 2. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。 3. 若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。 4. 如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。 5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是___________。 6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。 7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。 8. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为___________。 9．如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 ． （第9题图） 10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则∠1的度数为 . O 11．已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是 ． 12．如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为 ． 13．如图，中，，．将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 ．（取3.14，结果保留两个有效数字） 图8 第14题图 f A B C 14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，，则阴影部分的面积为 A O B N M 15．如图，是的直径，为弦，，过点的的切线交延长线于点．若，则的半径为 cm． 16．如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，，，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为 ．C B A （15题图） O A D P E B C （第17题图） 17．如图，从圆O外一点引圆O的两条切线，切点分别是，若，是上的一个动点（点与两点不重合），过点作圆O的切线，分别交于点，则的周长是 ． 18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 . 19．如图8，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ． 20．如图9，点是上两点，，点是上的动点（与不重合）连结，过点分别作于点，于点，则 ． A C B 图8 A E O F B P 图9 三、解答题： 1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。 （1）求证：EFBC=DEAC； （2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。 3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。 （1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PAPB=PEPF； （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）若AB，求⊙O的半径。 4．如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，．（1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明． A D B O C E 5、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E． 求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）． D C O A B E 6、已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点， （Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若cm，cm，求OE的长． 8、已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N． （Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：； C A B E F M N 图① C A B E F M N 图② （Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 9．如图，内接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，．（1）求证：；（2）如果，的半径为1，且为的中点，求的长． 10．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=. (1) 求证：；(2) 求EM的长； （3）求sin∠EOB的值. 11．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分） O C A D E H 图8 “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点． 图7 （1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整； 第12题图 C O B A D M E N （2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值． 12．已知，如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若cm，cm，求的半径．