反函数学习知识重点情况总结讲义教案.doc

.\ 班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生： 上课时间： 教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点 反函数的求法，反函数与原函数的关系． 反函数知识点总结教案 【知识整理】 一．函数的定义 如果在某个变化过程中有两个变量和,并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,那么就是的函数， 就叫做自变量， 的取值范围D称为函数的定义域，和的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合A叫做函数的值域，记为： ∈D. 二．反函数定义 一般地，函数 (∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中, 的关系，用把表示出，得到 ,如果对于 在 A中的任何一个值，通过 , 在D中都有唯一的值和它对应，那么， 就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数 （∈A)叫做函数 ( ∈D)的反函数.记作： 反函数中，为因变量，为自变量，为和习惯一致，将, 互换得： ( x∈A). 注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法： 1．求反函数的方法步骤： ①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由反解出 (把用 表示出来)； ③将, 互换得： ，并写出反函数的 定义域 2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系 反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，； 函数 反函数 定义域 D A 值 域 A D 4. 互为反函数的函数图象间的关系 一般地，函数的图像和它的反函数的图像关于直线=对称，其增减性相同. 释意：如果点(a,b)在函数的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数的图像上。换言之，如果函数的图像上有点(a,b)，那么它的反函数的图像上必然有点(b,a). 1．求下列函数的反函数： （1）； （2）. 解：（1）由得， ∴，∴所求函数的反函数为． （2）当时，得，当时， 得，∴所求函数的反函数为． 2．函数的图象关于对称，求的值． 解：由得，∴， 由题知：，，∴． 3．若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值． 解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上， ∴，∴，∴． 4．设函数，又函数与的图象关于对称，求的值． 解法一：由得，∴，， ∴与互为反函数，由，得． 解法二：由得，∴，∴． 5．已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足． 6．已知，是上的奇函数．（1）求的值；（2）求的反函数； （3）对任意的解不等式． 解：（1）由题知，得，此时 ，即为奇函数． （2）∵，得，∴． （3）∵，∴，∴， ①当时，原不等式的解集， ②当时，原不等式的解集． 7.已知函数的反函数， （１）若，求的取值范围； （２）设函数，当时，求的值域. 解：∵　，∴　． （１）∵ 即 ∴， ∴ 解之得 ∴． （２）∵ ． 令 ，显然在[0，1]递增，则有． ∴，即的值域为． 8. 已知函数在其定义域内是减函数，且存在反函数，求证：的反函数在它的定义域内也是减函数（是的值域）． 证明：∵在其定义域内是减函数， ∴设，且，有． 令，有，且． ∵函数在上存在反函数，∴． 由题意，，且， ∴在定义域内是减函数． 9.已知函数 （1）求的反函数；（2）判定在其定义域内的单调性； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）由y=（）2，得x=. 又y=（1－）2，且x＞1， ∴0＜y＜1 ∴f－1（x）=（0＜x＜1）. （2）设0＜x1＜x2＜1，则－＜0，1－＞0，1－＞0. ∴f－1（x1）－f－1（x2）=＜0，即f－1（x1）＜f－1（x2）. ∴f－1（x）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－）＞a（a－）. ∴1+＞a2－a，即（1+a）+1－a2＞0对x∈［，］恒成立. 显然a≠－1.令t=，∵x∈［，］，∴t∈［，］. 则g（t）=（1+a）t+1－a2＞0对t∈［，］恒成立. 由于g（t）=（1+a）t+1－a2是关于t的一次函数， ∴g（）＞0且g（）＞0，即解得－1＜a＜． 【反馈练习】 1函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（　D　） A、　　B、　　C、　　D、 2函数的反函数是（ A ） A． B． C． D． 3若函数是函数的反函数，则的图象为 （ B ） A B C D 4若函数的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数的图象经过(B) （A） 第一、二象限　（B） 第二、三象限 （C）第三、四象限　（Ｄ） 第一、四象限 5设，函数的反函数和的反函数的图象关于 （ B ） 轴对称 轴对称 轴对称 原点对称 6已知函数，则的反函数为 ( B) （A）（B）（C）（D） u 7设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（A） A、 B、 C、 D、 解:时，单调增函数，所以。 u 8设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为（ C ） A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］． 解：f（4－x2）=－log2（4－x2）, x∈（－2，0］时，4－x2单调递增； x∈［0，2）时，4－x2单调递减. 9已知函数的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则的表达式为_____________. = 10关于反函数有下列命题：①二次函数一定有反函数；②反比例函数一定有反函数；③若函数与其反函数有公共点，则该点一定在直线上；④单调函数在其单调区间上一定有反函数．以上命题，正确的命题的序号是____②④______. 11已知函数的反函数就是它本身，那么___ . -3 12若函数存在反函数，且方程、方程分别有唯一实根、，则=_________。（a为常数） u 13已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3x－1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（－8）=______________ 解：当x＞0时，－x＜0，f（－x）=.又∵f（x）是奇函数， ∴f（－x）=－f（x），即－f（x）=.∴f（x）= ∴f（x）= ∴f－1（x）= ∴f－1（－8）=g（－8）=－log3（1+8）=－log332=－2. 14求函数的反函数：. 解：由得，∴， ∴所求反函数为． 15设函数，又函数与的图象关于对称，求的值. 解法一：由得，∴，， ∴与互为反函数，由，得 解法二：由得，∴，∴ u 16求函数的值域．(掌握利用反函数法求函数值域) 解：∵ ∴ ∴ ∴函数的值域为{} 17 解：由 故所求的反函数是 1设，函数的反函数和的反函数的图象关于( ) 轴对称 轴对称 轴对称 原点对称 2已知函数，则的图象只可能是 （ ） 3若函数的图象上经过点，则函数的反函数的图象上必经过点（　C　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4已知函数有反函数，则方程（为常数）（　B　　） Ａ．有且只有一个实根 Ｂ．至多有一个实根 Ｃ．至少有一个实根 Ｄ．实根的个数无法确定 5函数（）的反函数是（ C ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6设函数，，则的定义域是（ D ） A． B． C． D． 7若与的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则 ． 8若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________．且. 9设，则 ． 10求函数的反函数． 解：当时，则反函数为（）； 当时，则反函数为（）， 原函数的反函数为: 11求下列函数的值域；（1）；（2）． 解：（1）先由可得，，故原函数的值域 （2）先由可得，，故原函数的值域为 说明：通过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，往往适用于函数的解析式为一次 分式的情况． 12已知函数，且函数具有反函数，求常数的取值范围．设是满足上述条件的的最大值，当时，求的反函数． 解：二次函数对称轴为，∵函数具有反函数， ∴，解得常数的取值范围为．∴． 令，∴， ∵，∴，，∴的反函数为． 13若，且的图象与的图象关于直线对称为g(x)，求的值． 解：令，得，∴，∴． ∵的图象与的图象关于直线对称， 14已知，求及的解析式，并判定它们是否为同一函数． 解：由求出反函数（），则 （） （） 虽然与两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不 是同一函数． 说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式相同；二是定义域相同． 15设是上的增函数，并且对任意，有成立，证明． 解：若存在，有， 不妨设，则，即矛盾，同理可证也不可能有，对一切有． 教案审核：