全国初级中学数学联赛试题及其规范标准答案.doc

-* 　 　 　 　 　　 　　 　　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２００１年全国初中数学联合竞赛试题 ２００６年全国初中数学联赛决赛试卷 ２００６年全国初中数学联赛决赛试卷答案 ２００７年全国初中数学联赛决赛试卷 2008年全国初中数学联合竞赛第一试答案 2008年全国初中数学联合竞赛第二试 2008年全国初中数学联合竞赛第二试答案 2009年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1． 设，则（ ） A．24 B． 25 C． D． 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（ ） A． B． C． D． 3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4 4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆， 自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（ ） A． B． C． D． 6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（ ） A．3 B． 4 C． 5 D． 6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________． 2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为__ ____． 3．如果实数a、b满足条件，，则a + b = ____． 4．已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有___ _ _对． 第二试 （A） 一、（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P． （1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点． （2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值． 二、（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求． 三、（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： ① ② 证明：以为三边长可构成一个直角三角形． 第二试 （B） 一、（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同． 二、（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点．PM、QN的中点分别为E、F．求证：EF∥AB． 三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同． 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试： ACCBDB； -3，，-1，-7 第二试 （A） 一、解：（1）易求得点的坐标为，设，，则，． 设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOB＝OCOD，则． 因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为（0，1）． （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即． 又， 所以，解得． 二、解：作E⊥AB于E，F⊥AB于F． 在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，． 又CD⊥AB，由射影定理可得，故， ． 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝． 连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45，故∠D＝90， 所以D⊥D，． 同理，可求得，． 所以＝． 三、证法1 将①②两式相乘，得， 即， 即， 即， 即， 即， 即，即， 即， 所以或或，即或或． 因此，以为三边长可构成一个直角三角形． 证法2 结合①式，由②式可得， 变形，得 ③ 又由①式得，即， 代入③式，得，即． ， 所以或或． 结合①式可得或或． 因此，以为三边长可构成一个直角三角形． 第二试 （B） 一、解答与（A）卷第一题相同． 二、解：因为BN是∠ABC的平分线，所以． 又因为CH⊥AB， 所以， 因此． 又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以， 因此C、F、H、B四点共圆． 又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上． 同理可证，点E在CH的中垂线上． 因此EF⊥CH．又AB⊥CH，所以EF∥AB． 三、解答与（A）卷第三题相同．