初级中学数学证明题常见辅助线作法规律.doc

*- 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 线、角、相交线、平行线 规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条. 规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点. 求证：MN =AC 证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点 ∴AM = BM = AB ,BN = CN = BC ∴MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC) ∴MN =AC 练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点. 求证：AM = (AB + BC) 2.如图，点B在线段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点. 求证：MN = BC 3.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点. 求证：MN = AB 规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个. 规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个. 规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角. 规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： 规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数. 解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ① ∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ② ①＋②得 ∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE ∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC， ∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A＋∠C ∴∠E = (∠A＋∠C) ∵∠A =45o,∠C =55o, ∴∠E =50o 三角形部分 规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N 在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ① 在△BDM中，MB＋MD＞BD ② 在△CEN中，CN＋NE＞CE ③ ①＋②＋③得 AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有 AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P为△ABC内任一点， 求证：(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于D. 求证：∠A = 2∠D 证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 ∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2 又∵∠D =∠1－∠2 ∴∠A =2∠D 规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90o＋∠A 证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o ∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A① ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC② 把②式代入①式得 2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A ∴∠BDC = 90o＋∠A 规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90o－∠A 证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB ∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2 ∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ② ①＋②得 2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A 2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A ∴（∠1＋∠2）= 90o＋∠A ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴∠BDC = 180o－(90o＋∠A) ∴∠BDC = 90o－∠A 规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半. 例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC. 求证：∠EAD = (∠C－∠B) 证明：∵AE平分∠BAC ∴∠BAE =∠CAE =∠BAC ∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C) ∴∠EAC = 〔180o－(∠B＋∠C)〕 ∵AD⊥BC ∴∠DAC = 90o －∠C ∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC ∴∠EAD = 〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C) = 90o－(∠B＋∠C)－90o＋∠C = (∠C－∠B) 如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD = (∠C－∠B). 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力. 规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证法（一）：延长BD交AC于E， ∵∠BDC是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结AD，并延长交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求证：BE＋CF＞EF 证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN = DC 在△BDE和△NDE中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF 规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM △BDE和△CDM中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o ∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF和△MDF中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF ∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF （此题也可加倍FD，证法同上） 规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD 证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE ∵AD为△ABC的中线 ∴BD = CD 在△ACD和△EBD中 BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED ∴△ACD≌△EBD ∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD 规律24.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b ②ab = c ③ab = cd 例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC 证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN 在△APN和△APC中， AN = AC ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△APN≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC ⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM 在△ABP和△AMP中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△ABP≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC 练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O 求证：AC = AE＋CD 2.已知，如图，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB＋CD 规律25.证明两条线段相等的步骤： ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF 证明：∵∠ADF =∠B＋∠3 ∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4 ∠B = ∠C ∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF和△AEF中 ∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2 AF = AF ∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF 规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE 证明：∵∠BAC = 90o, BD⊥AN ∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90o ∴∠2 = ∠3 ∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90o 在△ABD和△CAE中， ∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE 规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E 求证：BE = CF 证明：（略） 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B 求证：AD = BC 证明：分别延长DA、CB交于点E ∵AD⊥AC BC⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90o 在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E ∴△DBE≌△CAE ∴ED = EC，EB = EA ∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC 规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD 证明：连结AC（或BD） ∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠1 = ∠2 在△ABC和△CDA中， ∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA ∴AB = CD 练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”. 例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E 求证：BD = 2CE 证明：分别延长BA、CE交于F ∵BE⊥CF ∴∠BEF =∠BEC = 90o 在△BEF和△BEC中 ∠1 = ∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF≌△BEC ∴CE = FE =CF ∵∠BAC = 90o , BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o ∠1＋∠BFC = 90o ∠BDA = ∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC ∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE 练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D， 求证：AB－AC = 2CD 规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD， 求证：∠A = ∠D 证明：（连结BC，过程略） 规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB 证明：分别取AD、BC中点N、M， 连结NB、NM、NC（过程略） 规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD， 求证：∠BAP＋∠BCP = 180o 证明：过P作PE⊥BA于E ∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD 在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP PE = PD ∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD ∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD ∵PE⊥BE，PD⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90o 在△PEA和△PDC中 PE = PD ∠PEB =∠PDC AE =CD ∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP ∵∠BAP＋∠EAP = 180o ∴∠BAP＋∠BCP = 180o 练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P， PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线 2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20o，求∠CED的度数。 规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = ∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE = DF 证明：连结AD. ∵D为BC中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC 证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC ∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o ∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略） ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE 求证：DE⊥BC 证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则 ∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC （证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略） （证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略） ⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数. 解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE 则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC ∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20o ∴∠ACE = (180o－∠EAC)= 80o ∵∠ACB= (180o－∠BAC)= 50o ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80o－50o = 30o ∵∠PCB = 30o ∴∠PCB = ∠BCE ∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o ∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC ∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = (180o－∠ABP)= 70o 解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则 EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC ∴E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上 ∴EA所在的直线是BC的中垂线 ∴EA⊥BC ∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB 由解法一知：∠ABC = 50o ∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o 规律35.有二倍角时常用的辅助线 ⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C， 求证：AB＋BD = AC 证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE 则∠BED = ∠BDE ∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C ∴∠E = ∠C 在△AED和△ACD中 ∠E = ∠C ∠1 = ∠2 AD = AD ∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即AB＋BD = AC ⑵平分二倍角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB 证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC ∵BD⊥AC ∴∠CBD ＋∠C = 90o ∴∠CAE＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o ∴AE⊥BC ∴∠ABC＋∠BAE = 90o ∵∠CAE＋∠C= 90o ∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB ⑶加倍小角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB 证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略） 规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E 求证：BF =FC 证明：连结AF，则AF = BF ∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o ∴∠B =∠C∠BAC =(180o－∠BAC) = 30o ∴∠FAB = 30o ∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120o－30o =90o 又∵∠C = 30o ∴AF = FC ∴BF =FC 练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N 求证：BM = CN 规律37. 有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D 求证：CD = AB＋BD 证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE ∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C 又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC ∴∠C =∠EAC ∴AE = CE 又∵CD = DE＋CE ∴CD = BD＋AB （二）延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC（过程略） 规律38.有中点时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD 求证：△ABC为直角三角形 证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE， ∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC ∵BC = 2AB，BD = CD ∴BD = AB 在△ABE和△DBE中 AB = BD ∠ABE =∠EBC BE = BE ∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE ∵∠BDE = 90o ∴∠BAE = 90o 即△ABC为直角三角形 规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90o，DE为BC的垂直平分线 求证：BE2－AE2 = AC2 证明：连结CE，则BE = CE ∵∠A = 90o ∴AE2＋AC2 = EC2 ∴AE2＋AC2= BE2 ∴BE2－AE2 = AC2 练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点 求证：PB2＋PC2= 2PA2 规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. 例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB =，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D ∴∠B＋∠BAD = 90o， ∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45o， ∴AD = BD ∵AB2 = AD2＋BD2，AB = ∴AD = 1 ∵∠C = 30o，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2 四边形部分 规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB = CD，AD = CB，AO = CO ∵AB＋CD＋DA＋CB = 60 AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8 ∴AB＋BC = 30，AB－BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm. 规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. （例题如上） 规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H 求证：CE = BH 证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为平行四边形 ∴∠B =∠FPA，BH = FP ∵∠ACB = 90o，CD⊥AB ∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA 又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF≌△PAF ∴CF = FP ∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE ∴CE = BH 练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC 求证：AB = EF＋GH 规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点 求证：CM⊥DM 证明：延长DM、CB交于N ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD = BC，AD∥BC ∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N 又∵AM = BM ∴△AMD≌△BMN ∴AD = BN ∴BN = BC ∵AB = 2BC，AM = BM ∴BM = BC = BN ∴∠1 =∠2，∠3 =∠N ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o， ∴∠1＋∠3 = 90o ∴CM⊥DM 规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF 规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. 如图：S△BEC = S□ABCD 规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD = S□ABCD 规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 如图：AO2＋OC2 = BO2 ＋DO2 规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形GHMN是矩形 （规律45～规律49请同学们自己证明） 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. 例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G 求证：PF＋PG = AB 证明：证法一：过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形 ∴AH = GP PH∥AD ∴∠ADB =∠HPB ∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o ∴△PFB≌△BHP ∴HB = FP ∴AH＋HB = PG＋PF 即AB = PG＋PF 证法二：延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形，（证明略） 规律51.直角三角形常用辅助线方法： ⑴作斜边上的高 例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE 证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG ∴∠FAE = ∠AEG ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠BAD = 90o OA = OD ∴∠BDA =∠CAD ∵AF⊥BD ∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90o ∴∠BAF =∠ADB =∠CAD ∵AE为∠BAD的平分线 ∴∠BAE =∠DAE ∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC 即∠FAE =∠CAE ∴∠CAE =∠AEG ∴AC = EC ⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： ①有斜边中点时 例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高， F是DE的中点，G是AB的中点 求证：GF⊥DE 证明：连结GE、GD ∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点 ∴GE = AB，GD = AB ∴GE = GD ∵F是DE的中点 ∴GF⊥DE ②有和斜边倍分关系的线段时 例：已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC = BD 求证：∠ACB = 2∠B 证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = BD ∴∠1 =∠B ∵AC = BD ∴AC = AE ∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B