八年级数学上学期10月月考试卷(含解析)人教出版.doc

,. 2016-2017学年河南省洛阳市地矿双语学校八年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题 1．如图，图中有且只有三条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 2．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠C等于（　　） A．20 B．40 C．60 D．80 3．设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（　　） A．3＜a＜6 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a＜﹣5或a＞2 4．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30，∠DAE=55，则∠ACD的度数是（　　） A．80 B．85 C．100 D．110 5．如图AB∥CD，AD与BC交于点E，EF平分∠BED交CD延长线于点F，若∠A=110，∠B=30，则∠F的度数是（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　） A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．如图，已知△ABC，按如下步骤作图： （1）以A圆心，AB长为半径画弧； （2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D； （3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD． ①四边形ABCD是中心对称图形； ②△ABC≌△ADC； ③AC⊥BD且BE=DE； ④BD平分∠ABC． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 　 二、填空题 9．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　　． 10．如图所示，△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为　　cm． 11．如图，AB=AD，只需添加一个条件　　，就可以判定△ABC≌△ADE． 12．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为　　． 13．如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　　． 14．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为　　． 15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是　　． 　 三、解答题（共75分） 16．已知：CA=CB，AD=BD，E、F 是分别AC、BC的中点．说明：DE=DF． 17．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 18．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=AD． （1）作∠A的平分线交CD于E； （2）过B作CD的垂线，垂足为F； （3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明． 19．（9分）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知：　　． 求证：　　． 证明： 20．如图，在正方形ABCD中，BE⊥BF，BE=BF，EF交BC于点G． （1）求证：∠BAE=∠BCF； （2）若∠ABE=35，求∠EGC的大小． 21．在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）求证：AB垂直平分DF． 22．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD． （1）如图②，当∠C≠90，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想： （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 23．（11分）如图，已知∠ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 　  2016-2017学年河南省洛阳市地矿双语学校八年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．如图，图中有且只有三条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，然后找出对称轴即可． 【解答】解：A、此图有2条对称轴，故此选项不合题意； B、此图有4条对称轴，故此选项不合题意； C、此图有0条对称轴，故此选项不合题意； D、此图有3条对称轴，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴． 　 2．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠C等于（　　） A．20 B．40 C．60 D．80 【考点】三角形内角和定理． 【专题】应用题． 【分析】由三角形内角和为180度，则角C占，从而求得角C的度数． 【解答】解：由三角形内角和为180得：∠C的度数为：． 故选D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据角C所占比例从而求得． 　 3．设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（　　） A．3＜a＜6 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a＜﹣5或a＞2 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：由题意得：8﹣3＜1﹣2a＜8+3， 解得：﹣5＜a＜﹣2， 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 　 4．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30，∠DAE=55，则∠ACD的度数是（　　） A．80 B．85 C．100 D．110 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算． 【解答】解：∵∠B=30，∠DAE=55， ∴∠D=∠DAE﹣∠B=55﹣30=25， ∴∠ACD=180﹣∠D﹣∠CAD=180﹣25﹣55=100． 故选C． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180这一隐含的条件． 　 5．如图AB∥CD，AD与BC交于点E，EF平分∠BED交CD延长线于点F，若∠A=110，∠B=30，则∠F的度数是（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 【考点】平行线的性质． 【分析】首先根据三角形的外角的性质求得∠BED的度数，则∠DEF即可求得，根据平行线的性质∠CDE=∠A=110，然后在△DEF中利用三角形的外角的性质求得∠F的度数． 【解答】解：∠BED=∠B+∠A=110+30=140． ∵EF平分∠BED， ∴∠DEF=∠BED=70． ∵AB∥CD， ∴∠CDE=∠A=110， 又∵∠CDE=∠F+∠DEF， ∴∠F=∠CDE﹣∠DEF=110﹣70=40． 故选C． 【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，理解定理是关键． 　 6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　） A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可． 【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意； D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【考点】角平分线的性质． 【专题】压轴题． 【分析】要求AE+DE，现知道AC=3cm，即AE+CE=3cm，只要CE=DE则问题可以解决，而应用其它条件利用角平分线的性质正好可求出CE=DE． 【解答】解：∵∠ACB=90， ∴EC⊥CB， 又BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴CE=DE， ∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm 故选B． 【点评】此题主要考查角平分线性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；做题时要认真观察各已知条件在图形上的位置，根据位置结合相应的知识进行思考是一种很好的方法． 　 8．如图，已知△ABC，按如下步骤作图： （1）以A圆心，AB长为半径画弧； （2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D； （3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD． ①四边形ABCD是中心对称图形； ②△ABC≌△ADC； ③AC⊥BD且BE=DE； ④BD平分∠ABC． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；中心对称图形． 【专题】作图题． 【分析】利用作法可判断ACAC垂直平分BD，则可对①③进行判断；利用“SSS”可对③进行判断；通过说明∠ABD≠∠CBD可对④进行判断． 【解答】解：由作法得AB=AD，CB=CD，则AC垂直平分BD，点B与点D关于点E对称，而点A与点C不关于E对称，所以①错误，③正确； 利用AB=AC，CD=CB，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以②正确； 由于AD与BC不平行，则∠ADB≠∠CBD，而∠ADB=∠ABD，则∠ABD≠∠CBD，所以④错误． 故选B． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 　 二、填空题 9．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　9　． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】任何多边形的外角和一定是360度，外角和是内角和的，则这个多边形的内角和是1260度．n边形的内角和是（n﹣2）•180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据题意，得 （n﹣2）•180=1260， 解得n=9． 则这个多边形的边数为9． 【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 　 10．如图所示，△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为　4　cm． 【考点】角平分线的性质． 【分析】由已知进行思考，结合角的平分线的性质可得DE=AD，而AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，即可求解． 【解答】解：∵∠A=90，BD是角平分线，DE⊥BC， ∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm， ∴DE=4cm． 故填4． 【点评】本题主要考查平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题目比较简单，属于基础题． 　 11．如图，AB=AD，只需添加一个条件　∠B=∠D　，就可以判定△ABC≌△ADE． 【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】添加条件∠B=∠D，再由条件∠A=∠A，AB=AD，可利用ASA定理证明△ABC≌△ADE，答案不惟一． 【解答】解：添加条件∠B=∠D， ∵在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， 故答案为：∠B=∠D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 　 12．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为　13　． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】利用翻折变换的性质得出AD=CD，进而利用AD+CD=AB得出即可． 【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合， ∴AD=CD， ∵AB=7，BC=6， ∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13． 故答案为：13 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD=CD是解题关键． 　 13．如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　120　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60即可解决问题． 【解答】解：如图：AC与BD交于点H． ∵△ACD，△BCE都是等边三角形， ∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60， ∴∠DCB=∠ACE， 在△DCB和△ACE中， ， ∴△DCB≌△ACE， ∴∠CAE=∠CDB， ∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180，∠DHC=∠OHA， ∴∠AOH=∠DCH=60， ∴∠AOB=180﹣∠AOH=120． 故答案为120 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型． 　 14．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为　1　． 【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 【分析】首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【解答】解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE， ∴△ACF是等腰三角形， ∴AF=AC， ∵AC=3， ∴AF=AC=3，HF=CH， ∵AD为△ABC的中线， ∴DH是△BCF的中位线， ∴DH=BF， ∵AB=5， ∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2． ∴DH=1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键． 　 15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是　①②④　． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出对应边相等DE=DF，得出AD平分∠BAC，①②正确；由AE＞AD，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE=CF，AE=AF，得出④正确，即可得出结果． 【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFC=90， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE=DF，①正确， ∴AD平分∠BAC，②正确， ∵在Rt△ADE中，AE是斜边， ∴AE＞AD，③不正确， ∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF，AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确； 正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键 　 三、解答题（共75分） 16．已知：CA=CB，AD=BD，E、F 是分别AC、BC的中点．说明：DE=DF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】连接CD，首先证明△ADC≌△BDC可得∠A=∠B，再证明△AED≌△BFD可得DE=DF． 【解答】证明：连接CD， 在△CAD和△ABD中， ， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠A=∠B， ∵E、F 是分别AC、BC的中点， ∴AE=AC，FB=CB， ∵AC=BC， ∴AE=BF， 在△AED和△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD（SAS）． ∴DE=DF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理． 　 17．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于MN对称的对称点位置，再连接即可； （2）利用三角形AB为底边，再确定高，即可求出面积． 【解答】解：（1）如图所示： ； （2）△ABC的面积：32=3． 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊点的对称点． 　 18．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=AD． （1）作∠A的平分线交CD于E； （2）过B作CD的垂线，垂足为F； （3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定． 【专题】作图题． 【分析】（1）利用角平分线的作法得出∠A的平分线即可； （2）利用钝角三角形高线的作法得出BF即可； （3）利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：AE即为所求； （2）如图所示：BF即为所求； （3）如图所示：△ACE≌△ADE，△ACE≌△CFB， 证明：∵AC=AD，AE平分∠CAD， ∴AE⊥CD，EC=DE， 在△ACE和△ADE中 ∵， ∴△ACE≌△ADE（SAS）． 【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 　 19．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知：　在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE　． 求证：　∠1=∠2　． 证明： 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；开放型． 【分析】此题无论选择什么作为题设，什么作为结论，它有一个相同点﹣﹣都是通过证明△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质解决问题． 【解答】解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2． 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE， 求证：∠1=∠2． 证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∠1=∠2． 解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE． 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2， 求证：BD=CE． 证明：∵∠1=∠2 ∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 20．如图，在正方形ABCD中，BE⊥BF，BE=BF，EF交BC于点G． （1）求证：∠BAE=∠BCF； （2）若∠ABE=35，求∠EGC的大小． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证明∠BAE=∠BCF，只要证明△BAE≌△BCF即可． （2）根据∠EGC=∠EBC+∠BEF，只要求出∠EBC，∠BEF即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90， ∵∠ABC=∠EBF=90， ∴∠ABE=∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF， ∴∠BAE=∠BCF． （2）解：∵∠ABE=35， ∴∠EBC=90﹣∠ABE=55， ∵∠EBC=90，BE=BF， ∴∠BEF=∠BFE=45， ∴∠EGC=∠EBC+∠BEF=55+45=100． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 　 21．在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）求证：AB垂直平分DF． 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据∠ACB=90，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB=∠CBF=90，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF． （2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45， ∵CE⊥AD， ∴∠CAD=∠BCF， ∵BF∥AC， ∴∠FBA=∠CAB=45 ∴∠ACB=∠CBF=90， 在△ACD与△CBF中， ∵， ∴△ACD≌△CBF； （2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90，∠ACE+∠CAE=90， ∴∠BCE=∠CAE． ∵AC⊥BC，BF∥AC． ∴BF⊥BC． ∴∠ACD=∠CBF=90， 在△ACD与△CBF中， ∵， ∴△ACD≌△CBF， ∴CD=BF． ∵CD=BD=BC， ∴BF=BD． ∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB=90，CA=CB， ∴∠ABC=45． ∵∠FBD=90， ∴∠ABF=45． ∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线， 即AB垂直平分DF． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 　 22．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD． （1）如图②，当∠C≠90，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想： （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD； （2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD． 【解答】解：（1）猜想：AB=AC+CD． 证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠BAC的角平分线时， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠AED=∠C，ED=CD， ∵∠ACB=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED=∠B+∠EDB， ∴∠B=∠EDB， ∴EB=ED， ∴EB=CD， ∴AB=AE+DE=AC+CD． （2）猜想：AB+AC=CD． 证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED． ∵AD平分∠FAC， ∴∠EAD=∠CAD． 在△EAD与△CAD中， AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△EAD≌△CAD（SAS）． ∴ED=CD，∠AED=∠ACD． ∴∠FED=∠ACB， 又∵∠ACB=2∠B ∴∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB， ∴∠EDB=∠B， ∴EB=ED． ∴EA+AB=EB=ED=CD． ∴AC+AB=CD． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 　 23．如图，已知∠ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90，即可得出∠FCD=∠APD=45． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90， ∴∠BDC+∠FDA=90， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90， ∴∠BDC+∠FDA=90， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45， ∵AF∥CE，且AF=CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．