2022年华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答 .pdf

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1、多练出技巧巧思出硕果华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答2006.11系别_ 班级_ 学号_ 姓名_题号一二三四五六七八九总分得分得分评卷人一、填空题（每小题3 分，共 24 分）1的值为，主值为 .2；且所表示的平面点集是区域吗？是 ，单连域还是多连域？ 单连域 。3 0 。4在映射下，集合的像集为： . 5为的 1 阶极点。6在处展开成 Taylor 级数的收敛半径为.7的频谱密度函数。8已知，其中，则。得分评卷人二、（ 6 分）设 a、b 是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b 之值，并求.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

2、 1 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足 CR 方程，即：故对成立，得分评卷人三、（ 8 分）验证是 z 平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使.解：（ 1）故是调和函数。（2）利用 CR 条件，先求出的两个偏导数。则由故得分评卷人四、（ 64=24分）计算下列各题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果1，设 C 为正向圆周。解：令，则由高阶求导公式得：原式2，C 为正向圆周。解: 在 C 内，有本性奇点，由留数定理：原式在内将展为 Laurent 级数

3、：故：3解：由于是偶函数，故原式令则定积分可化为复积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果令则在内有 2 个简单极点与由留数定理知：故原式4解：令容易验证满足若尔当引理在上半平面有两个简单极点原式得分评卷人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果级数。解：在复平面有孤立奇异点与，（1）时，（2）时（3）时（4）时得分评卷人六、（ 6 分）试求 z 平面的下半平面在分式线性映射下的象区域 .解：在实轴上依次取，

4、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果由分式线性映射的保圆性知：决定了故 实轴在下的象区线为单位圆周， 再由边界对应原理知：在下的象区域为。得分评卷人七、（ 8 分）求一保形映射，把区域映成单位圆内部。解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果得分评卷人八、（ 8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：解：令，对方程两边求拉氏变换得：得分评卷人九、（ 6 分）证明题：设在内解析，在上连续，试证：当时，证：令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页多练出技巧巧思出硕果因为在内解析，在上连续，所以也在内解析，在上连续。根据 Cauchy 积分公式有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页