2022年华南理工大学《高等数学》期末试题及答案一 .pdf

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1、高等数学（下册）测试题一一、选择题（每小题3 分，本大题共15 分） （在括号中填上所选字母）1设有直线3210:21030 xyzLxyz及平面: 4220 xyz，则直线L（A ）A平行于平面；B在平面上；C垂直于平面；D与平面斜交 .2二元函数22,( , )(0,0)( , )0, ( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在点(0,0)处（C ）A连续、偏导数存在；B连续、偏导数不存在；C不连续、偏导数存在；D不连续、偏导数不存在.3设( )f x为连续函数，1( )d( )dttyF tyf xx，则(2)F（B ）A2(2)f；B(2)f；C(2)fD0. 4设是平面13

2、2zyx由0 x，0y，0z所确定的三角形区域，则曲面积分(326 )dxyzS（D ）A7；B221；C14；D21.5微分方程e1xyy的一个特解应具有形式（B）Aexab；Bexaxb；Cexabx；Dexaxbx.二、填空题（每小题3 分，本大题共15 分）1设一平面经过原点及点(6, 3,2)，且与平面428xyz垂直，则此平面方程为2230 xyz；2设arctan1xyzxy，则(1, 3)d |z24dxdy；3设L为122yx正向一周，则2e dxLy0 ；4设圆柱面322yx，与曲面xyz在),(000zyx点相交，且它们的交角为6，则正精选学习资料 - - - - - -

3、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页数0Z32；5 设一 阶线 性非 齐次微分 方程)()(xQyxPy有 两 个线 性无关的 解21, yy， 若12yy也是该方程的解，则应有1 .三、 （本题 7 分）设由方程组e cose sinuuxvyv确定了u，v是x，y的函数， 求xu及xv与yv.解：方程两边取全微分，则e cose sine sine cosuuuudxvduvdvdyvduvdv解出2222cosesin,esinecosuuuuxdxydyduevdxvdyxydu dvxdyydxdvvdxvdyxy从而222222,uxvyvx

4、xxyxxyyxy四、 （本题 7 分） 已知点) 1 , 1 ,1 (A及点)1,2, 3(B，求函数3ln 32uxyz在点A处沿AB方向的方向导数. 解：2 122,1, 2 ,3 33ABAB2333336,323232yxzgraduxyzxyzxyz，3,3, 6Agradu从而2 12,3,3,621473 33uAB五、 （本题 8 分）计算累次积分24112211de dde dxxxxyyxxyxyyy） .解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1;:24,.2xDDDDxyx Dxyx作图可知，该区域也可以表示为2:12,2Dyyxy从而2242222112112

5、111de dde dde deedxxxxxyyyyyxyxyxyyxyyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页2222211ee2eeeeyye六、 （本题 8 分）计算d d dIz x y z，其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域 . 解：先二后一比较方便，11122000122zDzIzdzdxdyzdz七 （本题 8 分）计算32()dxyzS，其中是抛物面222yxz被平面2z所截下的有限部分. 解：由对称性322d0,ddxSySxS从而223222()d()d()d2xyxyzSzSxy

6、S22222223232000() 1dxdy121Dxyxydrr drrr dr4020 541 11315ttdt八、 （本题 8 分）计算22222(4cos)dcosdLxxxxxxyyyyy，L是点 (,)2 2A到点( ,2 )B在上半平面)0(y上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0( y上2223222322coscossinQxxxxxxxxyyyyyy223223222(4cos)0cossinPxxxxxxQxyyyyyyyyx且连续，从而在上半平面)0( y上该曲线积分与路径无关，取( ,)2C22222222424415(4cos)dcosd12LACCBxxxx

7、yyy九、 （本题8 分）计算222()d d()d d()d dxyy zyzz xzxx y，其中为半球面221yxz上侧 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页解：补1:0z取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d()d d()d dxyy zyzz xzxx y12222321 1 133132DDxydvx dxdydvx dxdydxdy2113400011922244dr drr十、（ 本题 8 分） 设二阶连续可导函数)(xfy，tsx适合042222syty， 求)(xfy解：21,ysyff

8、ttst222223222211,ysssyffffftttttss tt由已知222223222440,0,yyssffftsttt即2221420,40,4xfxxfxxfxxfxc1122,arctan422ccxfxfxcx十一、 （本题 4 分）求方程的xyy2cos4通解 .解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2rri非齐次项cos2 ,fxx，与标准式cossinxmlfxePxxPxx比较得max,0,2nm li, 对比特征根，推得1k，从而特解形式可设为*12cossincos2sin 2 ,kxnnyxQxxQxx eaxxbxx*(2)cos2(2)sin 2

9、,( 44)sin 2(44)cos2yabxxbaxx yabxxbaxx代入方程得14 sin 24 cos2cos2 ,0,4axbxxab121cos2sin 2sin 24ycxcxxx十二、 （本题 4 分） 在球面2222azyx的第一卦限上求一点M， 使以M为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页解：设点M的坐标为, ,x y z，则问题即8Vxyz在22220 xyza求最小值。令22228Lxyzxyza，则由2222820,820,820,xyz

10、LyzxLxzyLxyzxyza推出3axyz，M的坐标为,333aaa附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1判别级数11)1ln() 1(nnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于11,ln(1)nunnnn，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的nu单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2求幂级数nnnxnn02!21的收敛区间及和函数.解：21221211 2(1)!2 (1)limlimlim2!111nnnnnnnannnRannnn从而收敛区间为,，201011 112!1 !2!2nnnnnnnnnxxxnnn2101112 !21 !2!2nn

11、nnnxxxnnn21220001111!2!2!242nnxnnnxxxxxennn3将0, 0( ) 0,0axf xHxaHax，展成以2为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。0na00021cos222sinsincosaanHnaHbfxnxdxHnxdxnxnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页121 cossin,nHnafxnx xan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页