几何辅助线之手拉手模型(初三).doc

.\ 手拉手模型 教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用 知识梳理： 1、等边三角形 条件：△OAB，△OCD均为等边三角形 结论：；； 导角核心： 2、等腰直角三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形 结论：；； 导角核心： 3、任意等腰三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；； 核心图形： 核心条件：；； 典型例题： 例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60；（4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC 例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ 例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问 （1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ 例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分∠AHC？ 例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。 例8：如图1，已知∠DAC=90，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E. （1）如图1，猜想∠QEP=_______； （2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若∠DAC=135，∠ACP=15，且AC=4，求BQ的长． 例9：在△ABC中，，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使，，连接CE． 1）如图1，当点D在线段CB上，且时，那么_______度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段CB上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系． （3）结论：与之间的数量关系是____________． 例10：在中，，，BD为斜边AC上的中线，将绕点D顺时针旋转()得到，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H. （1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________; （2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：__________; （3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： . 当堂练习： 1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．若点D在线段BC上，①依题意补全图1； ②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明； 2：已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：． 3：如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由． 4：已知，如图，是正方形内一点，且，求的度数． 5：如图所示，是等边中的一点，，，，试求的边长. 6：在Rt△ABC中，，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD． （1）如图1，如果，那么DE与CE之间的数量关系是___________． （2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，如果（），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）． 课后练习： 1：在中，，，将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD． （1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，，，判断的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若，求的值 2：如图，△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D． （1）如图1，若α=60，求∠DPC的度数； （2）如图2，若α=30，直接写出∠DPC的度数； （3）如图3，若α=150，依题意补全图，并求∠DPC的度数． 3：在△ABC中，，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD． （1）如图1，当，时，的大小为_________； （2）如图2，当，时，求的大小； （3）已知∠BAC的大小为，若的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小 4：如图1，正方形与正方形的边在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接． （1）当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：； （2）当点在直线上时，连接，直接写出的度数； （3）如图3，如果，求点到的距离 5：将等腰和等腰按图1方式放置，，AD边与AB边重合，，．将绕点A逆时针方向旋转一个角度，BD的延长线交直线CE于点P． （1）如图2，BD与CE的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）在旋转的过程中，当时，求出CP的长； （3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长． 6：△ABC中，，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH． （1）如图1，当∠BAC为锐角时， ①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数； （2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系． 7：如图1，在和中，，，，点在上，是线段的中点，连接、． （1）请你探究线段与之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）； （2）将图1中的绕点顺时针旋转，使的一边恰好与的边在同一条直线上（如图2），连接，取的中点，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）将图1中的绕点顺时针旋转任意的角度（如图3），连接，取的中点，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．