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函数零点易错题 三角函数重难点 教师版
函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．
1． 因＂望文生义＂而致误
例１．函数的零点是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．， Ｄ．１，２
错解：Ｃ
错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使成立的实数，也是函数的图象与轴交点的横坐标．
正解：由得，＝１和２，所以选Ｄ．
点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与轴交点的横坐标．
即使所求．
2． 因函数的图象不连续而致误
例２．函数的零点个数为 （ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
错解：因为，，所以，函数有一个零点，选Ｂ．
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．
正解：函数的定义域为，当时，，当时，所以函数没有零点．也可由得方程无实数解．
点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数在区间上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即,则在区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间至少有一个实数解．然而对于函数的，若满足，则在区间内不一定有零点；反之，在区间内有零点也不一定有．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根．如下图所示：
3． 因函数值同号而致误
例３．判定函数在区间内是否有零点．
错解：因为，所以，函数在区间内没有零点．
错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数在区间上的函数图像是连续曲线，且，也可能在内有零点．如函数在区间上有，但在内有零点．
正解：当时，，函数在上的图象与轴没有交点，即函数在区间内没有零点．
法二：由得，故函数在区间内没有零点．
点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数在区间上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即．
4． 因忽略区间端点而致误
例４．已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
错解：由函数的零点的性质得，即，解得．
所以实数的取值范围为．
错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在上有二重根；②终点的函数值可能为０．
正解：⑴当方程在上有两个相等实根时， 且，此时无解．
⑵当方程有两个不相等的实根时，
① 有且只有一根在上时，有，即，解得②当时，＝０，，解得，合题意．
③当时，，方程可化为，解得合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．
本文已在《学苑新报》上发表
方程的根与函数的零点
1．函数的零点为（ ）
A、 B、 C、 D、不存在
2．函数的零点个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3. 函数的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)
1.C 2.D
3.易知函数在定义域内是增函数.
∵，，.
∴ ，即函数的零点在区间(2,3). 所以选B.
4. 求证方程在内必有一个实数根.
4. 证明：设函数. 由函数的单调性定义，可以证出函数在是减函数.
而，，即，说明函数在区间内有零点，且只有一个. 所以方程在内必有一个实数根.
点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程的实根个数.
5. （1）若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 .
（2）已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是 .
5. 解：（1）设函数，由题意可知，函数在内恰有一个零点.
∴ ， 解得.
（2）∵在上存在，使， 则，
∴ ，解得.
所以， 实数m的取值范围是.
6. 已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．
6. 解：令有图像特征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是
解得。
7. 已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.
(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.
7. 因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.
解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.
(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.
(2)若函数有三个零点，则a=4.
(3)函数有四个零点,则0
2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.
三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．
题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．
例1 若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．
解析：由，令而，得．
又，得，
得，有．选择答案D．
点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．
解法二：，
当时，，选D。
例2．已知函数．，且．
（1）求实数，的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．
分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．
解析：函数可化为．
（1）由，可得，，所以，．
（2），
故当即时，函数取得最大值为．
点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．
题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．
例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．
解析：函数，故要将函数的图象向左平移个长度单位，选择答案A．
例4 （2008高考江西文10）函数在区间内的图象是
20090318
分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．
解析：函数．结合选择支和一些特殊点，选择答案D．
点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．
题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．
例5 （2008高考山东卷理5）已知，则的值是
A． B． C． D．
分析：所求的，将已知条件分拆整合后解决．
解析：
C ．，所以．
点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数 学思想和运算能力．解题的关键是对的分拆与整合．
例6（2008高考浙江理8）若则=
A． B． C． D．
分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．
方法一：，其中，即，
再由知道，所以，
所以．
方法二：将已知式两端平方得
方法三：令，和已知式平方相加得，故，
即，故．
方法四：我们可以认为点在直线上，
而点又在单位圆上，解方程组可得，
从而．这个解法和用方程组求解实质上是一致的．
方法五：只能是第三象限角，排除C．D．，这时直接从选择支入手验证，
由于计算麻烦，我们假定，不难由同角三角函数关系求出，检验符合已知条件，故选B．
点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知，求的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．
题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．
例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东 (其中，)且与点相距海里的位置．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求的长，在中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点到直线的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．
解析：（1）如图， ， ，
由于，所以
由余弦定理得
所以船的行驶速度为（海里/小时）．
（2）方法一 ： 如上面的图所示，以为原点建立平面直角坐标系，
设点的坐标分别是，与轴的交点为．
由题设有， ，
，
所以过点的直线的斜率，直线的方程为．
又点到直线的距离，所以船会进入警戒水域．
解法二： 如图所示，设直线与的延长线相交于点．在中，由余弦定理得，
==．
从而
在中，由正弦定理得，．
由于，所以点位于点和点之间，且．
过点作于点，则为点到直线的距离．
在中，
所以船会进入警戒水域．
点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．
题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．
例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量，（），令，且的周期为．
(1) 求的值；(2)写出在上的单调递增区间．
分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数的解析式求出来，再根据的周期为就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．
解析：(1) ，
∵的周期为． ∴， ， ．
(2) 由于，
当（）时，单增，
即（），∵
∴在上的单调递增区间为．
点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．
例9 （2009江苏泰州期末15题）
已知向量，，，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问．
解析：（1）∵，∴．而，，
故，由于，∴，
解得，或．∵，，
故（舍去）．∴．
（2）∵，∴．
由，求得，（舍去）．
∴，
．
点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．
题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．
例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，若，
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题．
解析：（1），
． 由余弦定理，得．
（2），
点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．
题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．
例11. 如图，已知点 是的重心，点在上，点在上，且过 的重心，，，试证明为常数，并求出这个常数．
分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点共线，利用这个关系寻找所满足的方程．
解析：令，，则，，设的中点为， 显然，因为是的重心，所以．由、、三点共线，有、共线，所以，有且只有一个实数，使 ，而，
，
所以．
又因为、不共线，由平面向量基本定理得，消去，
整理得，故．结论得证．这个常数是．
【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．
题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．
例12. 已知函数，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
分析：函数的导数在大于等于零恒成立．
解析：函数在区间上是增函数，则等价于不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 从而在区间上恒成立， 而函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最大值为，所以为所求．
点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将化为的形式，则与有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．
题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．
例13. 设二次函数，已知不论，为何实数，恒有和．
（1）求证： ；
（2）求证：；
（3）若函数的最大值为，求，的值．
分析：由三角函数的有界性可以得出，再结合有界性探求．
解析：（1）因为且恒成立，所以，又因为 且恒成立，所以， 从而知，，即．
（2）由且恒成立得， 即 ，将代如得，即．
（3），
因为，所以当时， 由 ， 解得 ，．
点评：本题的关键是，由 利用正余弦函数的有界性得出，从而，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设是锐角，且，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若，与的夹角为，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若为的内心，且满足，则的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．在中，若，则是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知向量、、，则直线与直线 的夹角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．的化简结果是__________．
8．若向量与的夹角为，则称为它们的向量积，其长度为，已知，，且，则_______________．
9． 一货轮航行到某处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时 海里．
三、解答题
10． 已知：，．
（1）求的值；
（2）求的值．
11． 已知函数 ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求使函数取得最大值的的集合．
12．已知向量， ， ．
（1）求的值;
（2）若， ， 且， 求．
【参考答案】
1．解析：B由已知可得，且，故得正确选项B．
2．解析：C 与相加得，∴，故选C．
3．解析：B ，选B．
4．解析：A已知即，即边BC与顶角的平分线互相垂直，这表明是一个以AB、AC为两腰的等腰三角形．
5．解析：B依题意，由正弦定理得，且，，故得．
6．解析：A由为定值，∴点的轨迹方程为，由图形易知所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与轴的夹角，故得．
7． 解析： 原式．
8．解析： 由夹角公式得，∴，∴．
9． 解析：设轮速度为海里/小时，作出示意图，由正弦定理得，解得．
10．解析：（1）∵ ∴，
∵
∴ ．
（2）∵ ，∴．
11．解析：（1）因为
所以的最小正周期．
（2）当取最大值时，，此时 ，即
，所以所求的集合为 ．
12．解析：（1）， ，
．
， ，
即 ， ．
（2），
，
， ，
．
