-*
圆
目 录
圆的定义及相关概念
垂经定理及其推论
圆周角与圆心角
圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
圆内接四边形
会用切线 , 能证切线
切线长定理
三角形的内切圆
了解弦切角与圆幂定理（选学）
圆与圆的位置关系
圆的有关计算
一．圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。
考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5
点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内 d＜r；
【典型例题】
例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
M
A
B
C
例2．已知，如图，CD是直径，，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
D
O
E
B
A
C
例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。
例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？
例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,，
A
B
D
C
O
E
求CD的长．
例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数．
二．垂径定理及其推论
【考点速览】
考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．
推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
【典型例题】
例1 如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且．
A
B
D
C
O
N
M
求证：AB=CD．
例2已知，不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。求证：CE=DF．
【考点速练】
1.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.
A．1cm B.2cm C. D.cm
3．如图1，⊙O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ）
A．10cm B.8cm C. D.
4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3:2 B.:2 C.: D.5:4
6.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 .
7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.
A
B
D
C
O
800
8.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD．
三．圆周角与圆心角
【考点速览】
考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．
Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
考点2
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg: 如下三图，请证明。
考点3
4. 推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
经典例题
例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35,则∠OBC=_____.
B
O
C
A
O
A
B
C
例3：如图，圆心角∠AOB=100，则∠ACB= ．
E
F
C
D
G
O
例２
例４：如图１，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，则 ．
（例１）
例如图2，⊙O的直径过弦的中点，，则 ．
例6：已知：如图，AD是⊙O的直径，∠ABC=30，则∠CAD=_______．
_
.
.
.
_
D
_
C
_
B
_
A
_
O
例7：已知⊙O中，，，则⊙O的半径为
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：在同圆或等圆中）
A
B
E
F
OO
PO
CO
1O
2O
DO
例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．
例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。
求证：PA=PC。
O
A
B
C
例3．如图所示，在中，∠A=，⊙O截的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.
例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：AC=AE． O
C
A
E
B
D
例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．
求证：是等边三角形．
O
A
D
E
B
C
五．圆内接四边形
【考点速览】
圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。
【典型例题】
例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数．
A
B
C
D
O
（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．
例2 四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且AP∥BD．求证：
A
D
C
B
O
P
例3 如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点．求证：DB+DC=DA．
A
B
C
D
O
六．会用切线，能证切线
考点速览：
考点1
直线与圆的位置关系
图形
公共点个数
d与r的关系
直线与圆的位置关系
0
d>r
相离
1
d=r
相切
2
d
展开阅读全文
淘文阁 - 分享文档赚钱的网站所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
