2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案：第二章 §1 从位移、速度、力到向量 .doc

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1、核心必知1位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的2向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量(2)向量的表示法有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段向量的表示法()几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B，则该有向线段记作：()字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，表示，书写用表示(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作|(或|a|)(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a

2、同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作ab平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线a与b平行或共线，记作ab零向量与任一向量平行问题思考1有向线段就是向量，对吗？提示：不对有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量2相等向量的起点相同，对吗？提示：不对相等向量是指长度相等且方向相同的向量所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的

3、向量，与起点的位置无关讲一讲1判断给出下列命题是否正确，并说明理由(1)若|a|b|，则ab；(2)若|a|b|，则ab； 尝试解答(1)不正确向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系(2)不正确两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量； 1对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量3零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性练一练1给出下列命题

4、(1)若|a|0，则a0；(2)若ab，则|a|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选B(1)不正确零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反讲一讲2小李离家从A点出发向东走

5、2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60走4 km，到达C点，又改变方向向西走2 km到达D点(2)求小李到达D点时与A点的距离即小李到达D点时离A点4 km.1用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点2确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(48个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况解：如图，以点C为起点作向量(共8

6、个)，以点B为起点作向量(共3个)讲一讲3如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量1在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质2寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()解析：选C由题意知，ABEF，A成立；又ABFH，DC与EC共线都成立，B

7、，D成立而BD不一定等于EH，故C不一定成立巧思 1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决妙解如图，由1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1下列物理量：质量；速度；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有()A1个B2个C3个 D4个解析：选D本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而只有大小而没有方向的量，所以不是

8、向量2给出下列命题：起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；两个平行的非零向量的方向相同；两个共线的非零向量的起点与终点一定共线其中正确的是()A BC D解析：选B起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故不正确3. 设O为ABC的外心，则是()A相等向量B平行向量C模相等的向量D起点相同的向量解析：选C显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以| .4如图所

9、示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形(1)与向量相等的向量有_；(2)若3，则向量的模等于_解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_个互不相等的非零向量 答案： 66我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走

10、到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小解：如图，用向量表示某人的位移位移的大小为2个单位长度从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度一、选择题1给出下列命题：若ab，则|a|b|；若|a|b|，则ab；若ab，则ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选C对于，若ab，则a，b互为反向量，所以|a|b|，正确；对于，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以不正确；对于，ab，意味着a与b的方向相同，所以ab；对于，若b0，则ab，bc，但a与c方向不一定相同或相反，所以不正确2某人向正东方向行进100

11、m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是()A南偏东60 B南偏东45C南偏东30 D南偏东1560.3下列说法中正确的是()A平行向量一定方向相同B共线向量一定相等C起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确4已知集合A与a共线的向量，B与a长度相等的向量，C与a长度相等，方向相反的向量，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是()ACA BABCCCB DABC解析：选BAB中还含有向量a，故B错二、填空题5. 如

12、图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为_答案：菱形6在ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设a，b，则与a相等的向量是_；与b共线的向量是_ 7如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH的长度从小到大排列依次为_8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集MA，B，C，D，集合T|P、QM，且0则集合T中有_个元素解析：集合T|P、QM，且0中的元素为非零向量，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T，共含有8个元素答案：8三、解答题9一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再

13、从C点向东南45飞行了100 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DEAB，CFDE，垂足分别为E、F.在RtCDF中，|100，CFD90，CDF45，CFDF100，ED200，在RtAED中，BEEA100，|100(km)故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 km.10在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使ba；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|2，并说出c的终点的轨迹是什么解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图