初级中学数学圆的专业题材训练.doc

!- 圆的专题训练初中数学组卷 　 一．选择题（共15小题） 1．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60，CD=2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．π C．2π D．4π 4．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40，则∠CAB的度数为（　　） A．20 B．40 C．50 D．70 5．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　） A． B．2 C． D． 6．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30，CD=4，则S阴影=（　　） A．2π B．π C．π D．π 7．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45，∠AMD=75，则∠B的度数是（　　） A．15 B．25 C．30 D．75 8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36，∠C=28，则∠B=（　　） A．100 B．72 C．64 D．36 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（　　） A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5） 10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　） A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣ 11．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（　　） A． B． C． D． 12．如图所示，在△ABC中，∠A=90，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 13．如图，某工件形状如图所示，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．2﹣π 14．若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　） A．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1 15．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1 　 二．解答题（共10小题） 16．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形 （1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若DA=AF，求证：CF⊥AB． 17．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=2，求CD的长． 18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长． 19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E． （1）求证：∠1=∠BAD； （2）求证：BE是⊙O的切线． 20．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若BC=3，AB=5，求AC的值； （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 21．如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PC=3，PF=1，求AB的长． 22．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 23．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，CD=4，求⊙O的半径． 24．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB=8，求CD的长． 25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB． （1）若BE=8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长． 　  圆的专题训练初中数学组卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共15小题） 1．（2016•陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【解答】解：过点O作OD⊥BC于D， 则BC=2BD， ∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180， ∴∠BOC=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=（180﹣∠BOC）=30， ∵⊙O的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4=2， ∴BC=4． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 　 2．（2016•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度． 【解答】解：连接CB． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴圆心O到弦CD的距离为OE； ∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30， ∴∠COB=60； 在Rt△OCE中， OC=5cm，OE=OC•cos∠COB， ∴OE=cm． 故选A． 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解． 　 3．（2016•通辽）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60，CD=2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．π C．2π D．4π 【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=， 故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠ABD=60， ∴∠CDB=30， ∴∠COB=60， ∴OC=2， ∴S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选A． 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 　 4．（2016•娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40，则∠CAB的度数为（　　） A．20 B．40 C．50 D．70 【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠D=40， ∴∠B=∠D=40． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90， ∴∠CAB=90﹣40=50． 故选C． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 　 5．（2016•达州）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD， 在Rt△OCD中，CD=6，OC=2， 则OD==4， tan∠CDO==， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO， 则tan∠OBC=， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 　 6．（2016•广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30，CD=4，则S阴影=（　　） A．2π B．π C．π D．π 【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC． 【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=2， 又∵∠BCD=30， ∴∠DOE=2∠BCD=60，∠ODE=30， ∴OE=DE•cot60=2=2，OD=2OE=4， ∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OEDE+BE•CE=﹣2+2=． 故选B． 【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键． 　 7．（2016•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45，∠AMD=75，则∠B的度数是（　　） A．15 B．25 C．30 D．75 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数． 【解答】解：∵∠A=45，∠AMD=75， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75﹣45=30， ∴∠B=∠C=30， 故选C． 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 　 8．（2016•毕节市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36，∠C=28，则∠B=（　　） A．100 B．72 C．64 D．36 【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28，根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：连接OA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=28， ∴∠OAB=64， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=64， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键． 　 9．（2016•河池）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（　　） A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5） 【分析】过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，由切线的性质可求得PD的长，则可得PB的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△PBC中，由勾股定理可求得PC的长，从而可求得P点坐标． 【解答】解： 如图，过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，连接PB， ∵P为圆心， ∴AC=BC， ∵A（0，2），B（0，8）， ∴AB=8﹣2=6， ∴AC=BC=3， ∴OC=8﹣3=5， ∵⊙P与x轴相切， ∴PD=PB=OC=5， 在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC===4， ∴P点坐标为（4，5）， 故选D． 【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键． 　 10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　） A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣ 【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=． 【解答】解：如图： 正方形的面积=S1+S2+S3+S4；① 两个扇形的面积=2S3+S1+S2；② ②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=． 故选：A． 【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键． 　 11．（2014•镇江）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】过点O作OD⊥BC，垂足为D，根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出∠A的正切值． 【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D， ∵OB=5，OD=3， ∴BD=4， ∵∠A=∠BOC， ∴∠A=∠BOD， ∴tanA=tan∠BOD==， 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点． 　 12．（2013•江门模拟）如图所示，在△ABC中，∠A=90，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】阴影部分的面积是三角形ABC的面积减去圆的面积，根据勾股定理可求得BC的长，连接AD，由等腰直角三角形的性质可得出AD等于BC的一半． 【解答】解：连接AD， ∵∠A=90，AB=AC=2cm， ∴由勾股定理得BC=2cm， ∴AD=BC， ∴AD=cm， ∴S阴影=S△ABC﹣S圆=﹣=2﹣． 故选B． 【点评】本题是一道综合题，考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，是中档题． 　 13．（2011•深圳模拟）如图，某工件形状如图所示，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．2﹣π 【分析】本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形CDOE是正方形，然后分别求出直角三角形ABC、扇形FOD，正方形CDOE，扇形EOG的面积，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：设AC=BC=x， 则x2+x2=4 x=2 ∴ 设OD=R，则OE=R ∵AC，BC与⊙O相切， ∴OD⊥AD，OE⊥BC ∵∠A=45 ∴∠AOD=45 ∴∠A=∠AOD ∴AD=OD=R ∵AC=2 ∵AC=2 ∴AD=OD ∵∠C=90 ∴四边形ODCE是正方形 ∴ ∴S正方形CDOE==2 S扇形FOD=S扇形EOG= = ∴阴影部分的面积是2﹣ 故选A 【点评】本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用． 　 14．（2006•兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　） A．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1 【分析】利用轴的截面是一个正三角形，易得圆锥的底面半径和母线长的关系，把相应数值代入圆锥的侧面积=底面周长母线长2，圆锥底面积=π半径2比较即可． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∴S底=πr2，S侧=•2r•2πr=2πr2， ∴S侧：S底=2πr2：πr2=2：1． 故选D． 【点评】此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法． 　 15．（2003•海南）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1 【分析】首先根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2＜S1．再根据题意，知S1占半圆面积的．所以S3大于半圆面积的． 【解答】解：根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2＜S1， 再根据题意，知S1占半圆面积的， 所以S3大于半圆面积的． 故选B． 【点评】此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积． 　 二．解答题（共10小题） 16．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形 （1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若DA=AF，求证：CF⊥AB． 【分析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90， ∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB=∠EFA=60， ∴∠B=30， ∵∠EFA=∠B+∠FDB， ∴∠B=∠FDB=30， ∴△DFB是等腰三角形； （2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a， ∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a， 在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=， ∴DM=5a，∴DF=BF=6a， ∴AB=AF+BF=8a， 在Rt△ABC中，∠B=30，∠ACB=90，∴AC=4a， ∵AE=EF=AF=2a， ∴CE=AC﹣AE=2a， ∴∠ECF=∠EFC， ∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60，∴∠CFE=30， ∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60+30=90， ∴CF⊥AB． 【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 　 17．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=2，求CD的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长． 【解答】（1）证明：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC； （2）方法一： 解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC， ∴BE=CE=BC=， ∵△CDE∽△CBA， ∴， ∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4， ∴•2=4CD， ∴CD=． 方法二： 解：连接BD， ∵AB为直径， ∴BD⊥AC， 设CD=a， 由（1）知AC=AB=4， 则AD=4﹣a， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得： BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2 在Rt△CBD中，由勾股定理可得： BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2 ∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2 整理得：a=， 即：CD=． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 　 18．（2016•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长． 【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可； （2）根据弧长公式计算． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD， ∴=， ∵M为中点， ∴=， ∴+=+，即=， ∴BM=CM； （2）解：∵⊙O的半径为2， ∴⊙O的周长为4π， ∵===， ∴=+=， ∴的长=4π=4π=π． 【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键． 　 19．（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E． （1）求证：∠1=∠BAD； （2）求证：BE是⊙O的切线． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可； （2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可； 【解答】证明：（1）∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠1=∠BDA， ∴∠1=∠BAD； （2）连接BO， ∵∠ABC=90， 又∵∠BAD+∠BCD=180， ∴∠BCO+∠BCD=180， ∵OB=OC， ∴∠BCO=∠CBO， ∴∠CBO+∠BCD=180， ∴OB∥DE， ∵BE⊥DE， ∴EB⊥OB， ∵OB是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 　 20．（2016•黄石）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若BC=3，AB=5，求AC的值； （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可； （2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上， ∴∠ACB=90， 又∵BC=3，AB=5， ∴由勾股定理得AC=4； （2）证明：连接OC ∵AC是∠DAB的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADC=∠ACB=90， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠DCA=∠CBA， 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠OAC+∠OBC=90， ∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90， ∴DC是⊙O的切线． 【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 　 21．（2016•菏泽）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PC=3，PF=1，求AB的长． 【分析】（1）连接OC，欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可． （2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，连接OC， ∵PD⊥AB， ∴∠ADE=90， ∵∠ECP=∠AED， 又∵∠EAD=∠ACO， ∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90， ∴PC⊥OC， ∴PC是⊙O切线． （2）解法一： 延长PO交圆于G点， ∵PFPG=PC2，PC=3，PF=1， ∴PG=9， ∴FG=9﹣1=8， ∴AB=FG=8． 解法二： 设⊙O的半径为x，则OC=x，OP=1+x ∵PC=3，且OC⊥PC ∴32+x2=（1+x）2 解得x=4 ∴AB=2x=8 【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 　 22．（2016•新疆）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90． （2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90， ∴∠1+∠2=90． ∵AB=AC， ∴∠1=∠CAB． ∵∠CBF=∠CAB， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90 即∠ABF=90 ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于G． ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， ∵在Rt△AEB中，∠AEB=90，AB=5， ∴BE=AB•sin∠1=， ∵AB=AC，∠AEB=90， ∴BC=2BE=2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2， ∴sin∠2===，cos∠2===， 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴ ∴BF== 【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 　 23．（2016•南昌校级自主招生）如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，CD=4，求⊙O的半径． 【分析】（1）连结OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60，则∠BAC=30，所以∠DAC=30，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连结OC，如图， ∵， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90， ∵=， ∴∠BOC=180=60， ∴∠BAC=30， ∴∠DAC=30， 在Rt△ADC中，CD=4， ∴AC=2CD=8， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2， 即82+（AB）2=AB2， ∴AB=， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系． 　 24．（2016•西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB=8，求CD的长． 【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30即可． （2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长． 【解答】（1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ∴， ∴AC=AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD， ∴AF=DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC=CD， ∴AC=AD=CD． 即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD=30， 在Rt△COE中，， ∴， ∴点E为OB的中点； （2）解：在Rt△OCE中，AB=8， ∴， 又∵BE=OE， ∴OE=2， ∴， ∴． 【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 　 25．（2016•金乡县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB． （1）若BE=8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长． 【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径； （2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长． 【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8， ∵CD=24，由垂径定理得，DE=12， 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2， x2=（x﹣8）2+122， 解得：x=13． （2）∵OM=OB， ∴∠M=∠B， ∴∠DOE=2∠M， 又∠M=∠D， ∴∠D=30， 在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30， ∴OE=4． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．