三角函数典型例题剖析与规律总结.docx

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1、精品名师归纳总结三角函数典型例题剖析与规律总结一: 函数的定义域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.求函数 y2 sin x1 的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 : 要求 y12 sin1 的定义域 ,只需求满意2sin x10 的 x 集合 ,即只需求出满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x的 x 值集合 ,由于正弦函数具有周期性, 只需先依据问题要求,求出在一个周期上2的适合条件的区间 ,然后两边加上2kkZ 即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:

2、由题意知需2sin x10 , 也即需sin x1在一周期2, 3上符合的角为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, 7,由此可得到函数的定义域为662k,2k67kZ 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 :确定三角函数的定义域的依据:1 正、 余弦函数、正切函数的定义域。2 如函数就是分式函数 ,就分母不能为零。 3 如函数就是偶函数 ,就被开方式不能为负。4 如函数就是形如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yloga f x a0, a1 的函数 ,就其定义域由f x 确定。 5当函数就是有实

3、际问题确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定时 ,其定义域不仅要使解析式有意义同时仍要使实际问题有意义。二.函数值域及最大值,最小值1 求函数的值域例。求以下函数的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) y32 sin 2 x(2) y2cosx2 sin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 :利用cosx1与 sin x1进行求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:11sin 2x11y5y1,5可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y2cos x2sin x2sin 2 x2 sin x1sin x1 21sin x1,y4,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注 :一般函数的值域求法有: 观看法 ,配方法判别式法 ,反比例函数法等 ,而三角函数就是函数的特别形式 ,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。2 函数的最大值与最小值。例。求以下函数的最大值与最小值1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) y1 x 2(2) y2 sin 2 x x666可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

5、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) y2 cos2 x5 sin x4 4 y3cos 2 x4 cos x1x, 233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 :12 可利用 sinx,cosx 的值域求解求解过程要留意自变量的去值范畴34 可利用二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 fxax2bxc 在闭区间m, n上求最值得方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 sin x0 21sin x11sin x1当sin x1时, ymax6 ;当sin x 221时ym

6、in2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21cos2 x1,3当cos 2x31时, ymax5。当cos2 x 31时, y min1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2cos2 x5sin x42sin 2 x5sin x22 sin x259 ,Q sin x481,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 sin x1,即 x2kkZ）时, y 有最小值9 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 sin x(4) 41,即 x2kkZ）, y 有最大值 1。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y3cos2 x4 cosx13cosx2 21 ,x, 2, cosx1 , 1, 从而cosx1 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2时,、 y3max15当cosx 4331 ,即x2332221时, ymin34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 :求值域或最大值 ,最小值的问题 ,一般的依据就是:1sinx,cosx的有界性

8、 ;2tanx的值可取一切实数 ;3 连续函数在闭区间上存在最大值与最小值。依据上面的原就 ,经常把给出的函数变成以下几种形式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 sinx一次形式 2 sin xf y 或 cos xf y 的形式 ,通过f y1 来确定或其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结她变形来确定。三: 函数的周期性例求以下函数的周期1 f xcos 2 x2 f x2 sin x26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 :该例的两个函数都就是复合函数,我们可以通过变量的替换,将它们归结为基

9、本三角函数去处理。（ 1） 把 2 x 瞧成就是一个新的变量u ,那么 cosu 的最小正周期就是 2,就就是说 ,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u增加到 u2且必需增加到 u2时,函数cosu 的值重复显现 ,而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u22 x22x, 所以当自变量x 增加到 x且必需增加到x时,函数值重可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复显现 ,因此 , ysin2 x 的周期就是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）2 sin x222 sinx即626可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 sin 1 x422 sin x626f x2 sin x2 的周期就是 4。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 :由上面的例题我们瞧到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。一般的 ,函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yA sinx 或 yAcosx 其中 A,为常数 , A0,0, xR 的周期 T2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

11、 - 欢迎下载精品名师归纳总结四.函数的奇偶性例 判定以下函数的奇偶性1sin xcos2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 f xx sinx 2f x1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 :可利用函数奇偶性定义予以判定。解:1 函数的定义域R 关于原点对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx sinxx sin x, f xx sinxx sin xf xf x是偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 函数应满意 1sin x0函数的定义于为 x xR,

12、且x2k3, k2Z .函数的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不关于原点对称。函数既不就是奇函数又不就是偶函数。评注 :判定函数奇偶性时 ,必需先检查定义域就是否关于原点对称的区间,假如就是 ,再验证f x 就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结否等于f x 或f x ,进而判定函数的奇偶性,假如不就是 ,就该函数必为非奇非偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五:函数的单调性例:以下函数 ,在,

13、2上就是增函数的就是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.ysin xB ycos xC ysin 2 xD ycos2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 :x, 22 x2.可依据 sin x与cosx在各象限的单调性作出判定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:Q ysin x 与 ycosx在,上都就是减函数 ,排除2A, B ,Qx 2,2 x2 , 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

14、师归纳总结ysin 2 x 在 2x,2内不具有单调性 ,又可排除 C ,应选 D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 :求形如 yAsinx或yAcosx 其中 A0,0) 的函数的单调区间,可以通过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解不等式的方法去解答,列不等式的原就就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 把“ x0 视为一个整体。（2）A0 A0时,所列不等式的方向 与y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是: sin xxR, ycosxxR的单调区间对应的不等式的方向相同（

15、反）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 :1、 函数 y1的定义域为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.RB.sin xxR xk, kZC.1,00,1D.x x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、函数 ycos x ,x60,的值域就是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.3 , 1B1 ,3C3 ,1D1 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结223、函数 y

16、sin x220 的周期为4222,就=、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、以下函数中就是偶函数的就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.ysin 2xBysin xCysin xDysin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、以下函数中 ,奇函数的个数为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 yx2 sinx 2 ysinx, x0,2(3) ysinx, x,4 yxcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1.B2C3D4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、在区间0,上,以下函数为增函

17、数的就是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.y1By sin x1Cy cosxsin xDycosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、函数 ysin 2 x 的单调减区间就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2k, 32 k22B k, k3 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 2 k,32kD k, kkZ44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、假如 x,就函数4ycos 2 xsinx 的最小值就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、函

18、数 ytan x4x 3且x 4 的值域为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1,1B, 11,C,1D1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12答案 :B B 3 C C D BB2例1已知,且,就 可以表示 .(A) BCD分析由题意求,不仅要瞧挑选支给出的四个角中哪一个角在区间内,仍要瞧哪一个角的正弦值为依据诱导公式 ,有,由此排除了 B 与 D.又,故,因此此题应选C.点评 反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角,就可以此为基础表示其她指定范畴内的角 .例21 如,就等于 .ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 已知,那么的值就

19、是 .ABCD分析 1 方法 1由于留意、留意由有、于就是原式,应选、方法 2 利用,又,应选 A 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 此题就是的条件下 ,求两角与的值 ,只要求出这两个角与的正切值,并确定其取值范畴即可 .设,由,有,故,并且,、由此可知,应选、点评 此题就是利用反三角函数的概念,通过设帮助角 ,把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决 ,这就是常用的处理方法,同时,揭示了反三角函数与三角函数的内在联系.例3的值 =.分析 此题实质上就是求角的大小,可以先求它的某种三角函数值,再估量其取值范畴而确定 .设,就,且又设,就,且,故.可编辑资料 - -

20、- 欢迎下载精品名师归纳总结又由,可得,即.例4函数的定义域为,值域为.分析所求函数定义域应当由以下条件确定:解得为,故所求定义域为.又由,就,即所求值域为点评求值域时既要熟悉给定函数就是复合函数,又要留意定义域的制约作用.例5函数的单调递增区间就是.分析由,得函数的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于函数由函数与复合而成 ,而函数在其定义域内就是减函数, 故只要求出函数的单调递减区间, 为因此 ,已知函数的递增敬意就是点评 这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律,而且要留意函数的单调区间定就是其定义域的子区间 .例6满意的 的取值范畴就是;满意的 的取值范畴就是.分析 此类题既要用到函数的单调性,仍要留意相应式有意义对的限制条件 .例7如,就在上满意的 的取值范畴就是 .(A) B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD分析 这就是一道既要运用三角函数的性质,又要运用以反三角函数表示肯定范畴内的角的题目 .如下图 ,满意已知条件的的取值范畴就是,其中满意 :,故,同样,因此此题应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载