2022年数学分析期末试题 .pdf

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1、数学分析（ 2）期末试题课程名称数学分析（）适用时间试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题 （每小题 3 分，3618 分）1、 下列级数中条件收敛的是（） A1( 1)nnB1( 1)nnnC21( 1)nnnD11(1)nnn2、 若f是(,)内以 2为周期的按段光滑的函数 , 则f的傅里叶（Fourier）级数在它的间断点x处 （） A收敛于( )f xB收敛于1(0)(0)2f xf xC 发散D可能收敛也可能发散3、函数)(xf在,ba上可积的必要条件是（） A有界B连续C单调D存在原函数4、设( )f x的一个原函数为 ln x，则( )fx（ ）A1xBlnx

2、xC21xDxe5、已知反常积分20 (0)1dxkkx收敛于 1，则 k（）A2B22C2D246、231ln(ln)(ln)( 1)(ln)nnxxxx收敛，则（）AxeBxeCx为任意实数D1exe二、填空题 （每小题 3 分，3618 分）1、已知幂级数1nnna x在2x处条件收敛，则它的收敛半径为2、 若数项级数1nnu的第n个部分和21nnSn， 则其通项nu， 和 S3、曲线1yx与直线1x，2x及x轴所围成的曲边梯形面积为4、已知由定积分的换元积分法可得，10()( )bxxae f e dxf x dx，则a，b5、数集( 1)1, 2 , 3,1nnnn的聚点为6、函数2

3、( )xf xe 的麦克劳林（ Maclaurin）展开式为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 65 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 三、计算题 （每小题 6 分，6530 分）1、 (1)dxxx2、2lnxx dx 3、22 0

4、 (0)aaxdxa4、2 00coslimsinxxt dtx5、2 01sin2x dx四、解答题 （第 1 小题 6 分，第 2、3 小题各 8 分，共 22 分）1、讨论函数项级数21sinnnxn在区间(,)上的一致收敛性2、求幂级数1nnxn的收敛域以及收敛区间内的和函数3、设( )f xx, 将f在(,)上展为傅里叶（ Fourier）级数五、证明题 （每小题 6 分，6212 分）1、已知级数1nna与1nnc都收敛，且, 1, 2, 3nnnabcn，证明：级数1nnb也收敛2、证明：22 0 0sincosnnx dxx dx66 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 试题参考答案与评分标准课程名称数学分析 () 适用时间试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、 单项选择题 （每小题3分， 3618 分） B B A C D D 二、 填空题 （每小题3 分，3618 分）22,=2(1)nuSn nln 21,abe1201,(,)!nnxxn三、 计算题 （每小题6 分，6530 分）1.解111(1)1xxxx1(1)dxxx（3 分）11()1dxxxlnln 1.xx

6、C（3 分）2.解由分部积分公式得231lnln3xxdxxdx3311lnln33xxx dx（3 分）33111ln33xxxdxx3211ln33xxx dx3311ln39xxxC（3 分）3.解令sin ,0,2xat t由定积分的换元积分公式，得220aax dx2220cosatdt（3 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 67名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

7、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 220(1cos2 )2at dt2201(sin 2 )22att2.4a（3 分）4.解由洛必达 (LHospital) 法则得200coslimsinxxtdtx20coslimcosxxx（4 分）0limcosxx1（2 分）5.解201 sin2xdx220(sincos )xxdx（2 分）20sincosxxdx4204(cossin )(sincos )xx dxxx dx（2 分）2404(sincos )(sincos )xx

8、xx222.（2 分）四、 解答题 （第 1 小题 6 分，第 2、3 小题各 8 分，共 22 分）1.解(,),xn+（正整数）22sin1nxnn（3 分）而级数211nn收敛，故由M 判别法知，21sinnnxn在区间(,)上一致收敛（3 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 68 2.解幂级数1nnxn的收敛半径111limnnRn，收敛区间为( 1,1)（2 分）易知1nnxn在1x处收敛，而在1x发

9、散，故1nnxn的收敛域为 1,1)（2 分）01,( 1, 1)1nnxxx（2 分）逐项求积分可得0001,( 1,1)1xxnndtt dtxt即101ln(1),( 1,1).1nnnnxxxxnn（2 分）3.解 函数f及其周期延拓后的图形如下函数f显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。（2 分）由于( )f x在(,)为奇函数，故0,0, 1, 2,nan，而1sin11coscosnbxnxdxxnxnxdxnn1( 1)2nn（4 分）所以在区间(,)上，11sin( )2( 1).nnnxf xxn（2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

10、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 69名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 五、 证明题 （每小题5 分，5210 分）1.证明由1nna与1nnc都收敛知，级数1()nnnca也收敛。（1 分）又由, 1, 2, 3nnnabcn，可知，0,1,2,3,nnnnbacan

11、从而由正项级数的比较判别法知1()nnnba收敛，（2 分）于是由(),1,2,3,nnnnbbaan知级数1nnb收敛（2 分）2.3.证明令2xt，则2tx. （1 分）由定积分的换元积分公式，得0202sinsin ()2nnxdxt dt（2 分）2200sin ()cos2nnt dttdt20cosnxdx（2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 70 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -