2022年数学竞赛线性规划训练讲义终稿 .pdf

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1、1 数学竞赛训练讲义一、选择题1、若点 P（x，y）在直线x+3y=3 上移动，则函数f（x，y）=yx93的最小值等于（）（ A）51)427(5（B）71)927(7（C）71)916(7（D）31)25(32、满足20073xxy的正整数数对（x，y） （）（ A）只有一对（B）恰有有两对（C）至少有三对（D）不存在3、设集合M=-2 ，0，1，N=1 ，2， 3，4，5 ，映射 f：MN 使对任意的xM，都有)()(xxfxfx是奇数，则这样的映射f 的个数是（）（ A）45 （B）27 （C）15 （D）11 4、设方程1)19cos()19sin(2007220072yx所表示的曲

2、线是（）（ A）双曲线（B）焦点在 x 轴上的椭圆（ C）焦点在y 轴上的椭圆（D）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（）个。（ A）100 （B）120 （C）160 （D）200 6 、函 数)(xfy与)(xgy有 相 同 的 定 义 域 ， 且 对 定 义 域 中 的 任 何 x ， 有1)()(,0)()(xgxgxfxf。 若1)(xg的 解 集 是 0|xx， 则 函 数)(1)()(2)(xfxgxfxF是（）A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、

3、既不是奇函数又不是偶函数二、填空题7、边长均为整数且成等差数列，周长为60 的钝角三角形共有个。8、已知三个正整数x，y，z 的最小公倍数是300，并且032023222zyxzyx，则方程组的解（x，y，z）= 。9、已知关于x 的实系数方程0222xx和0122mxx的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是。10、设平面上的向量yxba,满足关系yxbyxa2,，又设a与b的模为 1，且互相垂直，则x与y的夹角为。11、设函数|2)(|)(|,1)(|)(|,|)(12010 xfxfxfxfxxf，则函数)(2xf的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是。名师资料总结

4、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 12、若正整数n 恰有 4 个正约数， 则称 n 为奇异数，例如6，8，10 都是奇异数， 那么在 27，42， 69，111，125， 137，343，899，3599， 7999 这 10 个正整数中奇异数有个。三、解答题13、已知 ABC 的三边长分别为a、b、c，且满足abc=).1)(1)(1(2cba（1）是否存在边长均为整数的ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。（

5、2）若 a1，b1，c1，求出 ABC 周长的最小值。14、已知椭圆12222byax过定点 A（1，0） ，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为B、C。现有以 A 为焦点， 过点 B、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M（m，0） 。当椭圆的离心率e满足1322e时，求实数m 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 数学竞赛训练讲义参考答案1 （ A）解：53213213213213

6、21321322)31(233333321321533332132133339393)(xxxxxxxxxxxxxxxxyxxf=5153)427(53415，等号当且仅当xx3213321，即)2lo g1(533x时成立，故 f（x，y）的最小值是51)427(52、 （ B）解 ： 设2007,322xbxa， 其 中a ， b均 为 自 然 数 ， 则y=a+b ，167322004)(222ababab。因为b+a 与 b-a 有相同的奇偶性，且b+ab-a,所以21002abab或6334abab解得502500ba或170164ba3、 （ A）解：当x=-2 时， x+f （x

7、） +xf（x）=-2-f（ -2）为奇数，则f（-2）可取1，3，5，有三种取法；当 x=0 时， x+f（x）+xf （x）=f（ 0）为奇数，则f（0）可取 1，3，5，有 3 种取法；当 x=1 时， x+f （x） +xf（x）=1+2f（1）为奇数，则f（1）可取 1，2，3，4，5，有 5 种取法。由乘法原理知，共有33 5=45 个映射。4、 （ C）解：)(1360(19)1360(19)19(19191003100322007Nnn于是，19sin)1919360sin()19sin(2007n，同理19cos)19cos(2007。因为019sin19cos，故应选（ C

8、）5、 （ A）解：设三位数是321aaa，则321aaa+)()(10)(100312231123aaaaaaaaa。若31aa不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以31aa=11，13，15，17。因 11=9+2=8+3=7+4=6+5 ，所以3, 1aa取值有224A种可能；因 13=9+4=8+5=7+6 ，所以3,1aa取值有223A种可能；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 因 15=9+

9、6=8+7 ，所以3, 1aa取值有222A种可能；因 17=9+8，所以3, 1aa取值有22A种可能；由于22aa不能进位，所以2a只能取 0， 1，2，3，4。因此，满足条件的数共有：5（224A+223A+222A+22A）=100（个）6、 （ B）解：由, 12511, 1256122111aa猜想：1251nna。由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）于是，当n1 时,).10(mod1na故)10(mod220066200721aaa因此 ,应选 (B) 7 （ 20，60，100）解：记方程组中的两个方程为（1） ， （2） ，消去 x 得038522zyzy，即0)

10、(35(zyzy所以035zy，（3）或0zy，（ 4）由（ 1） 、 （3）得xzxy5,3，即 x：y：z=1：3：5，于是，由已知条件，必有x=20 ，y=60，z=100；由（ 1） （4） ，得 x=-y=-z，与已知条件矛盾。8m|-1m1 或 m=-3/2 解：易知方程0222xx的两根为.1,121ixix当0442m，即11m时，方程0122mxx有两个共轭的虚根4,3xx，且4,3xx的实部为1m，这时4321,xxxx在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。当0442m，即1m或0m时，方程0122mxx有两个不等的实根4, 3xx，则21,xx对应的点在以4,3

11、xx对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为0)(243yxxxx， 即0)(434322xxxxxyx， 将1,24343xxmxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 及21,xx对应点的坐标（1， 1）代入方程，即得23m。故 m 的取值范围是m|-1m1 或 m=-3/2 9、)1010arccos(解 ： 由 已 知 ， 得32,3abybax， 设x与y的 夹 角 为， 则1010|cosyxyx，所以=

12、)1010arccos(10、7 解：函数)(2xfy的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为712212)62(21CDEABCDSS梯形11、xy3626解：当 AQ=x 时，设 GQ 与面 BDE 交于点 N，作 NM BD 于点 M，联结 QM 交直线 BC 于点P，取点P为点 P，知此时y=|MN| 最小。建立如图1 的空间直角坐标系，则Q（0，x， 1）且 BDE 所在平面上的点（x，y，z）满足 x+y=z ，故可令),(0000yxyxN。由点 N 在 QG 上，知在（ 0，1）内存在 使 QN=QG。代入消去 得.) 1(, 120000 xyxxyx从而，xxyxx

13、x31,3100于是，).32,31,31(xxxxxN而点 M 在 BD 上，故可令).1 ,1 ,(11xxM由0BDMN，知).31(231xxx于是，.3626)31(26|xxxMNy12、20074012A B D 2 C 1 E -3 -2 -1 O 1 2 3 x y x y z A Q DHGFBEMP C N 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 解：设iiax22，则iiixxa12，且120

14、071iix，所以)()()(122006212007312007322007212007200721xxxxxxxxxxxxaaa200620062120062007312006200732200721200720062006200612xxxxxxxxxxxx=20072007200740122006213 解： （1）不妨设整数abc，显然 c2。若 c5，这时.51111cba由)1)(1)(1(2cbaabc，可得3)54()11)(11)(11(21cba。矛盾。故 c 只可能取 2，3，4。当 c=2 时，)1)(1(baab，有.1ba又 ab2，故无解。当 c=3 时，）1-

15、)(1(43baab，即12)4)(4(ba又 ab3，故14124ba或2464ba或3444ba解得516ba或610ba或78ba能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。当 c=4 时，同理解得a=9，b=4 或 a=6，b=5。能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。故存在三边长均为整数的ABC ，其三边长分别为4，5，6 或 3，7，8 （2）由)1)(1)(1(2cbaabc，可得33)11 ()11()11()11)(11)(11(21cbacba所以，3223111cba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

16、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 又9)111)(cbacba（，则有122322391119333cbacba故 ABC 的周长最小值为122333，当且仅当12233cba时，取得此最小值。14. 解：椭圆过定点A（1，0） ，则 a=1， c=221,1beb1322e，330b，由对称性知， 所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x0）的交点，就必过椭圆与射线y=x（x0）的交点解方程组1)0(222byxxxy，得21bbyx)33,0(b，210 x设抛物线方程为：1,0),(22mpmxpy又12mp，1),)(1 (42mmxmy)21,0(,xxy得0)1(4)1(42mmxmx令)210 , 1(),1(4)1(4)(2xmmmxmxxf)21,0()(在xf内有根且单调递增。0) 1(4) 1(241)21(0) 1(4)0(mmmfmmf42342301mmm或故4231m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -