2022年指数式、对数式的运算终版 .pdf

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1、指数式、对数式的运算一、基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质(na)na(a使na有意义 )当 n 是奇数时，nana；当 n 是偶数时，nan|a|a，a0， a，a0，m，nN*，且 n1)amn1amn1nam(a0，m， nN*， 且 n1)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义(3)有理数指数幂的运算性质ar asars(a0，r，sQ)；arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，s Q)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数

2、指数幂2对数的概念及运算性质一般地，如果a(a0，且 a1)的 b 次幂等于 N，就是 ab N，那么，数b 就叫做以a 为底 N 的对数，记作：logaNb. 指数、对数之间的关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - (1)对数的性质负数和零没有对数；1 的对数是 零；底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果 a0，且 a1，M 0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMloga

3、N；loga(Nn)nlogaN(nR)二、常用结论1换底公式的变形(1)logab logba1，即 logab1logba(a， b均大于 0 且不等于1)；(2)logambnnmlogab(a，b 均大于 0 且不等于 1，m0， nR)；(3)logNMlogaMlogaNlogbMlogbN(a，b， N 均大于 0 且不等于1，M 0)2换底公式的推广logab logbc logcdlogad(a，b，c 均大于 0 且不等于1，d0)3对数恒等式alogaNN(a0 且 a1，N0)考点一指数幂的化简与求值典例 化简下列各式：(1) 2 350222 1412(0.01)0.

4、5；(2)56a13 b23a12b1 (4a23 b3)12. 解(1)原式 1144912110012114231101161101615. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - (2)原式52a16b3 (4a23 b3)1254a16b3 (a13b32)54a12 b32541ab35ab4ab2. 解题技法 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数

5、幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数题组训练 1若实数 a0，则下列等式成立的是() A(2)24B2a312a3C(2)0 1 D(a14)41a解析： 选 D对于 A，(2)214，故 A 错误；对于B，2a32a3，故 B 错误；对于C，(2)01，故 C 错误；对于D，(a14)41a，故 D 正确2化简 4a23 b13 23a13b23的结果为 () A2a3bB8a

6、bC6abD 6ab解析： 选 C原式 6a2133b1233 6ab16ab. 3计算：322 27823(0.002)12_. 解析： 原式23232323150012名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4949105105. 答案 ：105 考点二对数式的化简与求值典例 计算下列各式：(1)lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40； (2)log23 log38(3)log34. 解(1)原式lg258l

7、g5040lg54lg541. (2)原式lg 3lg 23lg 2lg 33log431233log32325. 题组训练 1(log29) (log34)() A14B12C2 D4 解析： 选 D法一 ：原式lg 9lg 2lg 4lg 32lg 32lg 2lg 2 lg 3 4. 法二 ：原式 2log23log24log23224. 2计算：lg 14lg 25 10012_. 解析： 原式 lg1412510012lg 10210 210 20. 答案： 20 3(2018 全国卷 )已知函数f(x)log2(x2a)若 f(3) 1，则 a_. 解析： f(x)log2(x2a

8、)且 f(3)1，1log2(9a)，9a2， a 7. 答案： 7 4计算： log5421log 102(33)23 77log 2_. 解析： 原式 log522log 10(332)232 log5(1032)log55 1. 答案 ：1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 课时跟踪检测 1设1xlog23，则 3x3x的值为 () A.83B.32C.52D.73解析： 选 B由1xlog23，得 3x2

9、， 3x3x21232. 2化简2a23b12(6a12b13) 3a16b56的结果为 () A 4aB4aC11aD4ab解析： 选 B原式 2 (6) (3)a211326b115236 4ab04a. 3(log29)(log32)loga54loga45a (a0，且 a1)的值为 () A2 B3 C4 D5 解析： 选 B原式 (2log23)(log32)loga5445a 2 1logaa3. 4设 a0，将a2a3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是() Aa12Ba56Ca76Da32解析： 选 Ca2a3a2a2a a23a2a53a2a56a52-6a76. 5如果

10、2loga(P 2Q) logaPlogaQ(a0，且 a 1)，那么PQ的值为 () A.14B4 C1 D4 或 1 解析： 选 B由 2loga(P2Q)logaPlogaQ，得 loga(P2Q)2loga(PQ)由对数运算性质得 (P2Q)2PQ，即 P25PQ4Q20，所以 PQ(舍去 )或 P 4Q，解得PQ4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 6若 lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差

11、数列，则x 的值等于 () A1 B0 或18C.18Dlog23 解析： 选 D由题意知lg2lg(2x5) 2lg(2x1)，由对数的运算性质得2(2x5)(2x1)2，即(2x)290,2x3，xlog23. 7已知函数f(x)log2x，x0，3x1，x0，则 f(f(1)f log312的值是 () A2 B3 C4 D5 解析：选 Dlog3120,且 a1)，g(x)logbx(b0,且 b1)，h(x)xc，则 f12a12 2，g12 logb12 logb22，h1212c2， a 4，b22， c 1， f(x1)4x14? x11，同理， x214，x314.x1x2x

12、332. 答案：3213化简下列各式：(1)2790.50.12 210272-3303748；(2) 3a72 a33a3 a1；(3)lg 325lg 935lg27lg3lg 81lg 27. 解： (1)原式2591210.12642723 337485310091633748 100. (2)原式3a72 a323a32 a123a723a12a76 a16a86a43. (3)法一： 原式lg 345lg 3910lg 312lg 34lg 33lg 314591012lg 343 lg 3115. 法二： 原式lg 3925271325312lg8127lg 3115lg 311

13、5. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 第九节指数函数一、基础知识1指数函数的概念函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a是底数形如 ykax， yaxk(kR 且 k0，a0 且 a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数2指数函数yax(a0，且 a1)的图象与性质底数a10a0 时，恒有 y1；当 x0 时，恒有 0y0 时，恒有0y1；当 x1 在定义域 R 上

14、为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y=ax(a0,且 a1）的图象和性质与a 的取值有关，应分a1 与 0a0，且 a1)的图象关于y 轴对称(3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1 时，指数函数的图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 象“上升”；当0a1 时，指数函数的图象“下降”考点一指数函数的图象及应用典例 (1)函数 f(x)21x的大致图象为 () (2)若函数 y|

15、3x 1|在 (， k上单调递减，则k的取值范围为_解析 (1)函数 f(x)21x212x， 单调递减且过点(0,2)， 选项 A 中的图象符合要求(2)函数 y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以 k 的取值范围为 ( ，0答案 (1)A(2)(， 0 变透练清 1.变条件 本例 (1)中的函数 f(x)变为： f(x)2|x1|，则 f(x)的大致图象为 () 解析： 选 Bf(x)2|x1|的图象是由y2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确2.变

16、条件 本例 (2)变为： 若函数 f(x) |3x1|k 有一个零点，则 k 的取值范围为_解析： 函数 f(x)有一个零点， 即 y|3x1|与 yk 有一个交点， 由典例 (2)得 y|3x1|的图象如图所示，故当 k0 或 k1 时，直线 yk 与函数 y|3x1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点答案 ：0 1， ) 3若函数y21xm 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围解： y21x m12x1 m，函数 y12x1的图象如图所示，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

17、 - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 则要使其图象不经过第一象限，则 m2. 故 m 的取值范围为 ( ， 2考点二指数函数的性质及应用考法 (一)比较指数式的大小典例 (2016 全国卷 )已知 a243，b 425，c2513，则 () AbacBabcCbcaDcab解析 因为 a243，b 425245，由函数 y2x在 R 上为增函数知，ba；又因为 a243423，c2513523，由函数 yx23在(0， )上为增函数知，ac. 综上得 ba0 的解集为 _解析 f(x)为偶函数，当 x0 时， x0，则 f(x)f(x)2x4. f(x

18、)2x4，x 0，2x 4，x0，当 f(x2)0 时，有x20，2x240或x20，2x240，解得 x4 或 x0. 不等式的解集为x|x4 或 x4 或 xag(x)，当 a1 时，等价于f(x)g(x)；当 0a1 时，等价于f(x)0，g2a3a4a 1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值等于1. 解题技法 与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数 yaf(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1)若 a1，函数 f(x)的单调增 (减 )区间即函数yaf(x)的单调增 (减)区间；(2)若 0a1，函数 f(x)的单调增 (减)区间即函数yaf(

19、x)的单调减 (增)区间即“同增异减”题组训练 1函数 y12221xx的值域是 () A(， 4) B(0， ) C(0,4 D4， ) 解析： 选 C设 tx22x 1，则 y12t. 因为 0121，所以 y12t为关于 t 的减函数因为 t()x1222，所以 0y12t1224，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 故所求函数的值域为(0,42设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b

20、，c 的大小关系是() AabcBacbCbacDbca解析： 选 C因为函数 y0.6x在 R 上单调递减， 所以 b0.61.5a 0.60.61，所以 ba1 且 a2)在区间 (0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与 N1a0.1的大小关系是() AM NBMNCMN解析：选 D因为 f(x) x2a与 g(x)ax(a1 且 a 2)在区间 (0，)上具有不同的单调性，所以 a2，所以 M(a1)0.21，N1a0.1N. 4 已知实数 a1， 函数 f(x)4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a 1)， 则 a 的值为 _解析： 当 a1 时，代入可知不成立所以a

21、的值为12. 答案 ：12 课时跟踪检测 A 级1函数 f(x) 1e|x|的图象大致是 () 解析： 选 A因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质2(2019 贵阳监测 )已知函数f(x)4 2ax1的图象恒过定点P，则点 P 的坐标是 () A(1,6)B(1,5) C(0,5) D(5,0) 解析：选 A由于函数 yax的图象过定点 (0,1)，当 x1 时，f(x)426，故函数 f(x)42ax1的图象恒过定点P(1,6)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

22、理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3已知 a 20.2，b0.40.2， c0.40.6，则 a，b， c 的大小关系是() AabcBacbCcabDbca解析： 选 A由 0.2 0.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即 bc；因为 a 20.21，b0.40.21，所以 ab.综上， abc. 4(2019 南宁调研 )函数 f(x)122xx的单调递增区间是() A.，12B. 0，12C.12，D.12，1解析： 选 D令 x x20，得 0 x1，所以函数f(x)的定义域为 0,1，因为 y

23、12t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y x2x 在 0,1上的减区间12，1 ，故选 D. 5.函数 f(x)axb的图象如图所示，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是() Aa1， b1，b0 C0a0 D0a1，b0 解析： 选 D由 f(x) axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，函数 f(x)axb的图象是在y ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b0. 6已知函数f(x)12x，x0，2x1，x0 时， f(x)12x， f(x)2x 1，此时 x0，则f(x)2x1 f(x)；当 x0，则 f(x)12(x)12x f(x)即函数

24、f(x)是奇函数，且单调递增，故选C. 7(2018 深圳摸底 )已知 a133.3，b133.9，则 a_b(填“”)解析： 因为函数y13x为减函数，所以133.3133.9，即 ab. 答案 ： 8函数 y14x12x1 在3,2上的值域是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解析： 令 t12x，由 x 3,2，得 t14，8 . 则 yt2 t1 t12234t14，8. 当 t12时， ymin34

25、；当 t8 时， ymax57. 故所求函数的值域是34，57 . 答案 ：34，579已知函数 f(x)axb(a0，且 a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_. 解析： 当 a1 时，函数 f(x)axb 在1， 0 上为增函数，由题意得a1b 1，a0 b0无解当0a0，t2t20，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 即(t 2)(t1) 0，又 t0，故 t 2，即12x 2，解得 x 1，故满足条件

26、的x 的值为 1. 12已知函数f(x)23|x|a. (1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的最大值是94，求 a 的值解：(1)令 t|x|a，则 f(x)23t，不论 a 取何值， t 在(， 0上单调递减，在0，)上单调递增，又 y23t在 R 上单调递减，所以 f(x)的单调递增区间是( ，0，单调递减区间是0， )(2)由于 f(x)的最大值是94，且94232，所以 g(x)|x|a 应该有最小值2，从而 a2. B 级1(2019 郴州质检 )已知函数f(x)ex1ex，其中 e是自然对数的底数，则关于x 的不等式 f(2x1)f( x1)0 的解集为 () A.，4

27、3(2， ) B(2， ) C.，43(2， ) D(， 2) 解析： 选 B函数 f(x)ex1ex的定义域为R，f(x) ex1ex1exex f(x)，f(x)是奇函数，那么不等式f(2x1)f(x1)0等价于 f(2x1)f( x1)f(1x)，易证 f(x)是 R 上的单调递增函数，2x1x1，解得 x2，不等式f(2x1) f(x1)0 的解集为 (2， )2已知 a0，且 a1，若函数 y|ax2|与 y3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

28、 - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 范围是 _解析： 当 0a1 时，作出函数y|ax2|的图象如图 (1)若直线y 3a 与函数 y |ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以 0a1 时，作出函数y|ax2|的图象如图 (2)，若直线y3a 与函数 y|ax2|(a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，此时无解所以实数 a 的取值范围是0，23. 答案：0，233已知函数f(x)1ax 112x3(a0，且 a1)(1)讨论 f(x)的奇偶性；(2)求 a 的取值范围，使f(x)0 在定义域上恒成立解： (1)由于

29、ax10，则 ax1，得 x 0，所以函数 f(x)的定义域为 x|x0对于定义域内任意x，有f(x)1ax 112(x)3ax1 ax12(x)311ax112(x)31ax112x3f(x)，函数 f(x)为偶函数(2)由(1)知 f(x)为偶函数，只需讨论x0 时的情况当x0 时，要使 f(x)0，则1ax112x30，即1ax1120，即ax12 ax10，则 ax1. 又 x0， a1. 当 a(1， )时， f(x)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -