2022年排列组合的应用 .pdf
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1、排列组合应用(一)排列解排列问题,首先必须认真审题,明确问题是否是排列问题,那是否有序,抓住问题本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,同时要讲究一些基本策略与方法技巧。1、特殊元素的“优先按排法” 。例 1、用 0、1、2、3、4 这五个数字,组成没有重复的三位数,其中偶数共有多少?(分析)由于三位数是偶数,故末尾数字必须是偶数,以“0”不能排在首位,所以“ 0”就是其中特殊元素,优先按排。按“0”在末尾和不在末尾分为两类。共A24+A12A13A13=30 种。2、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题,可将先相邻的元素“捆绑”起来,作为一个“大”的元素,与其他元素排列,
2、然后再对相邻元素的内部进行排列。例 2、7 人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法?(分析)先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素,与其余4 个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。共A55A33种。3、不相邻问题有“插空法”。对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好, 然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。例 3、7 人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,
3、共 8 页 - - - - - - - - - (分析)先让其余4 人站好,有 A44种排法,这时有 5 个“空隙”可供甲、乙、丙选取,即A35种。共 A44A35种排法。4、间接法或淘汰法。 理解题中的要求,把不符合要求的除去,此时应注意既不能多减也不能少减。例 4、5 名男生, 5 名女生排成一行,其中5 名男生不排在一起,有几种排法?(分析)先计算出10 人的全排列数,再减去5 名男生排在一起的排列数即可。共 A1010A55A66排法。5、合理分类与准确分步。解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情发生的连续性分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。例 5、五
4、人从左到右站成一排, 其中甲不站排头, 乙不站第二个位置,共有多少种不同站法(分析)若甲在第二位置上其余4 人可自由按排,有A44种;若甲在第 3、4、5 位置上,则乙可站在其他3 个位置上,有 A13A13A33种;共 A44+ A13A13A33种排法。或用间接法: 甲在第一位置,乙在第二位置有A33种;甲在第一位置,乙不在第二位置有A13A33种;甲不在第一位置,乙在第二位置有 A13A33种;即共有 A33+ A13A33+ A13A33种不符合要求,则符合要求的有 A55(A33+ A13A33+ A13A33)种。6、顺序固定问题有“除法” 。对于某几个元素顺序一定的排列问题,名师
5、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 可先将这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。例 7、五人排列,甲在乙前面的排法有多少种?(分析)先将 5 人全排列有 A55种排法,而甲、乙之间排法有A22种排法,而甲在乙前的排法只有一种符合,故符合条件的排法有2255AA种。例 8、由 1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复且是6 的倍数的五位数?(分析) 6 的倍数的数既是 2 的
6、倍数不是 3 的倍数,其中 3 的倍数又满足“各个数位上的数字和是3 的倍数”的特征。把6 个数字分成 4组: (1,5) (2,4) (3) (6) ,每组数字之和为3 的倍数,因而可分成两类,一类由 1、5、2、4、6 作为数码,另一类由1、5、2、4、3作为数码,且末尾数字为偶数即可。第一类有A13A44种,第二类有共有 A12A44种,共有 A13A44+ A12A44种。巩固练习1、有 3 名男生、 4 名女生、排成一排(1)选其中 5 人排成一行( 2)甲只能在中间或两头(3)甲、乙二人必须在两头( 4)甲不在排头,乙不在排尾(5)男生、女生各站一边(6)男生必须排在一起 (7)男
7、生、女生各不相邻 (8)男生不能相邻 (9)甲、乙、丙三人中甲必须在前, 丙必须在后,但三人不一定相邻( 10)甲、乙中间必须有3 人,各有多少种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 不同的排法(答案) (1)A57(2)A13A66(3)A22A55(4)3720(5)A33A44A22(6)A33A55(7)A33A44(8)A44A35(9)3377AA(10)A22A35A332、由数字 0、1、2、2、4、5
8、 组成(各位上数字不允许重复) (1)多少六位数?( 2)多少个六位偶数( 3)多少个被 5 整除的五位数?(4)多少个被 3 整除的五位数( 5)比 240135大的六位数有多少个?允许重复呢?例 1 求不同的排法种数:(1)6 男 2 女排成一排, 2 女相邻;(2)6 男 2 女排成一排, 2 女不能相邻;(3)4 男 4 女排成一排,同性者相邻;(4)4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻例 3 某小组 6 个人排队照相留念(1) 若分成两排照相,前排2 人,后排 4人,有多少种不同的排法?(2) 若分成两排照相,前排2 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种排法
9、?(3) 若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4) 若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法?(5) 若排成一排照相,其中有3 名男生 3 名女生,且男生不能相邻有多少种排法?(6) 若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法?(答案) (1)A15A55(2)312(3)216(4)216(5)407 (二)组合组合与排列有许多联系, 在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。以下是解决组合问题的几种方法1、直接法或间接法例1、 在 100 件产品中有 98 件合格品,2 件次品。从这 100 件产品中任意取出 3 件(1)一共有多少种不
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