2022年排列组合问题：枚举法 .pdf

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1、排列组合问题 ( 一) 枚举法枚举法导言：当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法使用枚举法计数时，要注意以下几点：初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举例 1现有 1 克、2 克、4 克、10 克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里）解析：按使用砝码的个数进行分类列举（1）、若使用一个砝码能称：1 克、 2 克、 4 克、10 克，共 4 种重量

2、物体名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - （2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10 克，共 6 种重量（3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共 4 种重量（4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共 1 种重量物体所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物

3、体？例 2、有一张五元、 4 张贰元和 8 张一元人民币，从中取出9 元，共有多少种不同的取法？解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来5 元2 元1 元1 0 4 1 1 2 0 2 0 0 1 7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 0 2 5 0 3 3 0 4 1 从上面的列举中可以看出: 取 9 元钱共有 7 种不同的取法例 3、从 110

4、的 10 个数中，每次取2 个数，要使它们的和大于 10，一共有多少种取法？解析：可从小到大依次思考 1+10 2+9 ，2+10 3+8 ，3+9，3+10 4+7 ，4+8，4+9，4+10 5+6 ，5+7，5+8，5+9，5+10 6+7 ，6+8，6+9，6+10 7+8 ，7+9，7+10 8+9 ，8+10 9+10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 所以，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种

5、不同的取法例 4、在 1400 的自然数中，数字“2”出现了多少次？解析：在 1400 这 400 个数中，“ 2”可能出现在个位、十位、百位上，我们就按这个来分类列举在个位上： 2、12、92；102、112、192；202、 212、 、292；302、312、 392，共 104=40 次在十位上： 20、21、 29；120、121、 129；220、221、 229；320、321、 329；共 104=40 次在百位上： 200299，共 100 次所以，“ 2”总共出现了40+40+100=180次思考：仔细思考下题，看看与例4 有何区别：在1400的自然数中，含有数字“2”的数

6、字有多少个？例 5、下图中有6 个点， 9 条线段，一只蚂蚁从A点出发，沿差某条线段爬到C点，行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析：从 A点出发有三种路可以走，我们就按这个进行分类列举A E D B F C ( 注示: 上图中 ,AF 间有一连线 ,EC 间也有一连线 ) AED C；AEC；AEFC，有三种爬法AFEDC；AFEC；AFC，有三

7、种爬法ABFEDC ；ABFEC；ABFC ，有三种爬法所以，共有9 种不同的爬法例 6、从学校到少年宫有4 条东西向的马路和3 条南北向的马路，小明从学校步行到少年宫 （只许向东或向南行步） ，最多有多少种走法？学校 A B C D E F 少年宫名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析：在图形 ABCD 中，到 B只有一种走法，到C也只有一种走法，到D有两种走法在图形 CDEF 中，到 E只有一种走法，到D有两种

8、走法，到F 有三种走法我们可以发现规律：通过任何一个交叉点的路线总数等于该点左、上方的两邻交叉点的路线的总和，例如，通过点F 的路线总和， 会等于 F 点左方的点E、上方的点 D通过路线的总和， 1+2=3 种按这个规律， 我们依次计数下去， 到少年宫应有6+4=10种不同的走法小结：在计数时，不遵循数序规律，东举一个，西举一个，不按顺序列举，往往会出现遗漏或重复，有序的思考、合理的分类，才是解决这类问题最关键的思维。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -