2022年必修四..平面向量的数量积 .pdf

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1、2. 4 平面向量的数量积教案 A 第 1 课时教学目标一、知识与技能1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的定义教学难点：平面向量数量积的定

2、义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算教学准备教师准备 : 多媒体、尺规 .学生准备 : 练习本、尺规 .教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力 F 所做的功 W 可由下式计算：W=| F | | s | cos ，其中 是 F 与 s的夹角我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）

3、故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念二、主题探究，合作交流提出问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - a b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？师生活动 : 已知两个非零向量a 与 b，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 （或内积），记作 a b，即a b=|

4、a|b|cos （0） 其中 是 a 与 b 的夹角， |a|cos （|b|cos ）叫做向量a 在 b 方向上（ b 在 a 方向上）的投影在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即 a 0=0；（3）符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“ ”代替；（4）当 00 ，从而 a b0；当2时， cos 0，从而 a b0，则ABC 是锐角三角形；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

5、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 在ABC 中，若ABBC0，则ABC 为钝角三角形； ABC 为直角三角形的充要条件是ABBC=0； ABC 为斜三角形的充要条件是ABBC0 其中为真命题的是（）ABC D3设 |a|=8，e 为单位向量， a 与 e的夹角为 60 ，则 a 在 e 方向上的投影为（）A 43B4 C42 D8+234设 a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题:（ a b）c- （c a）b=0；|a|-|b|21Bm21Dm213若 a=（cos ，sin

6、 ） ，b=（cos ，sin ） ，则（）A abBabC （a+b）（ a- b）D （a+b）（ a- b）4与 a=（u，v）垂直的单位向量是（）A （2222,vuuvuv）B （2222,vuuvuv）C （2222,vuuvuv）D （2222,vuuvuv）或（2222,vuuvuv）5已知向量a=（cos23 ，cos67 ） ，b=（cos68 ，cos22 ） ，u=a+tb（tR） ，求u名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 -

7、 - - - - - - - - 的模的最小值6已知 a，b都是非零向量，且a+3b 与 7a- 5b 垂直， a- 4b与 7a-2b 垂直，求 a 与b 的夹角7已知 ABC 的三个顶点为A（1，1） ，B（3，1） ，C（4，5） ，求 ABC 的面积参考答案：1C2D 3C4D 5|a|=23sin23cos67cos23cos2222=1，同理有 |b|=1又 a b=cos23 cos68 +cos67 cos22=cos23 cos68 +sin23 sin68 =cos45 =22，|u|2=（a+tb）2=a2+2ta b+t2b2=t2+2t+1=（t+22）2+2121当

8、 t=22时， |u|min=226由已知（a+3b）（7a- 5b）（a+3b） （7a- 5b）=07a2+16a b-15b2=0又 （a-4b） （7a- 2b）（a-4b） （7a-2b） =07a2-30a b+8b2=0- 得 46a b=23b2，即 a b=.2|222bb将代入，可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即 |a|2=|b|2，有 |a|=|b|，若记 a 与 b 的夹角为 ，则 cos=2| |12| | | | |2ba ba bb bgg又 0 ，180 ， =60，即 a 与 b 的夹角为60 7分析： SABC=21|AB|AC|sinBAC，

9、而 |AB|，|AC|易求，要求sinBAC 可先求出 cosBAC解：AB=（2，0） ，AC=（3，4） ，|AB|=2，|AC|=5，cosBAC=23043255|AB ACABAC sinBAC=54SABC=21|AB|AC|sinBAC=21 2 554=4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 教案 B 第一课时教学目标一、知识与技能1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2.体

10、会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算二、过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯教学重点平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用教具多媒体、实物投影仪内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨

11、析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点： 平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3 个重要性质；平面向量数量积的运算律教学流程概念引入概念获得简单运用运算律探究理解掌握反思提高教学设想：一、情境设置：问题 1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？sF结合向量的学习你有什么想法？力做的功： W = |F| |S|cos ，是F与S的夹角（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

12、10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 二、新课讲解1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与 b，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos 叫 a 与 b 的数量积，记作 a b，即有 a b = |a|b|cos ， （ ） 并规定： 0 与任何向量的数量积为0问题 2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，

13、写成a b；今后要学到两个向量的外积ab，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替（3）在实数中，若a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a 0，且 a b=0，不能推出b=0因为其中cos 有可能为 0（4）已知实数 a、b、c（b 0） ，则 ab=bc a=c但是在向量的数量积中，ab = b c推导不出a = c .如下图： a b = |a|b|cos = |b|OA|，bc = |b|c|cos = |b|OA| a b= b c ，但 ac.（5）在实数中，有（a b）c = a（b c） ，但是在

14、向量中， （a b）ca（b c）显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与 c不共线（ “投影”的概念） ：作图2定义 ：|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量； 当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0 时投影为|b|；当 = 180 时投影为|b|3向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a方向上投影 |b|cos 的乘积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

15、 - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 例1 已 知 平 面 上 三 点A、 B 、 C 满 足 |AB|=2， |BC|=1 ， |CA|=3， 求ABBC+BCCA+CAAB的值 .解: 由已知 ,|BC|2+|CA|2=|AB|2，所以 ABC 是直角三角形. 而且 ACB=90 , 从而 sinABC=23，sinBAC=21. ABC=60 ， BAC=30 .AB与BC的夹角为 120 ，BC与CA的夹角为90 ，CA与AB的夹角为150 .故ABBC+BCCA+CAAB=2 1 cos120 +13cos90 +3 2cos150 =

16、- 4.点评 : 确定两个向量的夹角,应先平移向量 ,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB与BC的夹角是120 ,而不是 60 .探究 1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ，何时为负？当 0 90时 ab 为正；当 =90时 ab 为零；90 180时 ab 为负 .探究 2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量（1）a ba b = 0（2）当 a 与 b同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b反向时， a b = |a|

17、b| 特别的 a a = |a|2或aaa |（3）|a b| |a|b|公式变形： cos =|baba探究 3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a、b、c 和实数，有（1）a b= b a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - （2）（ a）b= （a b ）= a （ b）（3） （a +b） c = ac+ b c

18、（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1） 、 （ 2） ）例 2 判断正误：a 00； 0 a； 0-ABBA； a a；若a 0，则对任一非零有 a ； a，则 a 与中至少有一个为0；对任意向量a， 都有（ a） （ ） ； a 与是两个单位向量，则a上述 8 个命题中只有正确；例 3 已知 a，当 a， a， a 与的夹角是60时，分别求a解：当 a时，若 a 与同向，则它们的夹角 ，aa cos0 3 6 118；若 a 与反向，则它们的夹角 180 ，aacos180 3 6 （-1）- 18；当 a时，它们的夹角 90 ，a；当 a 与的夹角是 60 时，有aa

19、cos60 3 6219评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0 ，180 ，因此，当a时，有 0 或 180 两种可能评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律三、课堂练习1已知 |a|=1，|b|=2，且（ a- b）与 a 垂直，则a 与 b的夹角是（）A 60B30C135D 2已知 |a|=2，|b|=1，a 与 b 之间的夹角为3，那么向量m=a-4b 的模为（）A 2 B23C6 D12 3已知 a、b 是非零向量，若|a|=|b|则（ a+b）与（ a- b）.4已知向量a、b 的夹角为3，|a|=2，|b|=1，则 |a+b| |a- b|= 5

20、已知 a+b=2i- 8j，a- b=- 8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，那么a b= 6已知 |a|=1，|b|=2， （1）若 ab，求 a b； （2）若 a、b 的夹角为45 ，求 |a+b|；（3）若 a- b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 参考答案 :1D 2B 3垂直4215- 376. 解： （1）若 a、b

21、方向相同，则a b=2；若 a、b 方向相反，则a b=2；（2）|a+b|=5（3）45 四、知识小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业教材第 108 页习题 24 A 组1、2、3、6、7 教学后记数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的本节课教学设计按照“问题讨论解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为

22、主线”第 2 课时教学目标一、知识与技能掌握平面向量的数量积坐标运算及应用二、过程与方法1. 通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性.2. 从具体应用体会向量数量积的作用三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同的方法分析的态度.教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用.教具多媒体、实物投影仪.教学设想一、复习引入向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

23、 - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题二、探究新知： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，试用a和b的坐标表示ba设i是x轴 上 的 单 位 向 量 ，j是y轴 上 的 单 位 向 量 ， 那 么jyixa11，jyixb22所以)(2211jyixjyixba2211221221jyyjiyxjiyxixx又1ii，1jj，0ijji，所以ba2121yyxx这就是说：两个向量的数量积等于它们对

24、应坐标的乘积的和即ba2121yyxx2 平面内两点间的距离公式（1）设),(yxa，则222|yxa或22|yxa如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa（平面内两点间的距离公式）（2）向量垂直的判定设),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx（3）两非零向量夹角的余弦（0）cos =|baba222221212121yxyxyyxx三、例题讲解例 1 已知 a = （3，1） ，b = （1， 2） ，求满足x a = 9 与 x b = 4 的向量 x解：设 x = （t， s） ，由9,39,

25、4,24,x atsx bts2,3.ts.x = （2， 3）.例 2 已知 a（，3） ，b（3，3- ） ，则 a 与 b 的夹角是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 分析：为求 a 与 b夹角，需先求 a b 及 a b，再结合夹角的范围确定其值解：由 a（，3） ，b（3，3- ） .有 a b33（3- ）， a， b2记 a 与 b 的夹角为 ，则 22baba.又 ， 4.评述：已知三角形函

26、数值求角时，应注重角的范围的确定例 3 如图，以原点和A（5， 2）为顶点作等腰直角OAB，使B = 90 ，求点 B和向量AB的坐标解：设 B 点坐标（ x， y） ，则OB= （x， y） ，AB= （x 5， y 2）.OBABx（x 5） + y（y 2） = 0 即： x2 + y25x 2y = 0.又 |OB| = |AB| x2 + y2 = （x 5）2 + （y 2）2即： 10 x + 4y = 29.由22121273,520,223710429,.22xxxyxyxyyy或.B 点坐标)23,27(或)27,23(；AB=)27,23(或)23,27(.例 4 在AB

27、C 中，AB=（2， 3） ，AC=（1， k） ，且 ABC 的一个内角为直角，求 k 值解：当 A = 90 时，ABAC= 0， 21 +3k = 0， k =23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 当 B = 90 时，ABBC= 0，BC=ACAB= （1 2， k 3） = （ 1， k 3） ，2（1） +3（k 3） = 0 k =311当 C = 90 时，ACBC= 0，1 + k（k 3） = 0，k =2133四、小结1本节课的内容：有关公式、结论（由学生归纳、总结）.2本节课的思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、方程（组）思想等.五、课外作业教材第 107 页练习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -