2022年数学分析选讲教案 .pdf

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1、数学分析选讲教案1 授课时间2005 年 9月 12日第 3 周星期一第 四 大节授课地点6402 实到人数117 授课题目函数的概念与性质、实数理论授课专业班级信 息 与计 算科学教学目的与教学要求1. 掌握函数的概念、性质和运算的方法。2. 理解实数理论的完备性，并会熟练运用，证明有关问题,. 主要内容1、各种符号，函数的概念，几类重要函数，函数的性质，定理 1.1 Contor 闭区间套定理，定理1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），定理 1. 3 (完备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。定理1.4 （单调收敛定理）单调

2、有界数列必收敛。 定理 1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理1.6 （HeineBorel 有限覆盖定理）重点与难点重点：函数的性质和实数理论。难点：实数理论教学方法手段 （教具）讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合参考资料数学分析，高等数学， 20XX 年数学研究生考题20XX 年高等数学考试测试题课后作业与思考题作业 1.2.3.4.5.6 思考题：六个实数完备性定理的相互证明。教学后记名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

3、页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配第一讲：函数的概念与性质，实数理论一、函数的概念与性质（一）常用符号N, Z, R,0000,DDUxUxUx,C abD abR ab,TabT(二)函数的概念1. 函数的定义2. 几个重要函数分段函数符号函数10( )0010 xSgn xxxDirichlet 函数1,( )0,qxpD xqxpRinmann 函数1(0,1)( )00,1pxxqqR xpxxq3. 初等函数4. 周期函数5.奇偶函数6. 复合函数7. 反函数(三) 函数的性质有界性( )f xMxI周期性()( )f xTf x奇偶性()

4、( ),()( )fxf xfxf x单调性( )( )f xf yxyI20m 第 1 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配1.Example20( ),( )20 xxxxf xxRg xxx, 求 fg xSolutionfg x=222()00( )|( ) |2202xxxg xg xxxxx2.Example已知2x( ),1xf x( )( )nfxfff x，求( )

5、nfxSolution 设1( )( )f xfx21( )( )fxffx=212xx由数学归纳法2( )1nxfxnx3.Example证明2( )nxf xx e为 R 上的有界函数。二、实数完备性定理在研究数列极限以前，我们要讨论一下极限存在的环境问题。它是数学分析的另一个基础：实数系和它的完备性。所谓完备性，实质上就是对极限运算的 “ 封闭性 ” 。正因为实数系有完备性（或连续统），所以在实数系中讨论极限问题时才没有后顾之忧。定理 1.1 Contor闭区间套定理，定理 1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性）。定理 1. 3 (完

6、备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。20m 第 2 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配定理 1.4 （单调收敛定理）单调有界数列必收敛。定理 1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6 （HeineBorel 有限覆盖定理）三、概念辨析与问题证明1、区间套与有限覆盖定理的应用区间套定理通常用于将函数在某一闭区间上成立的性质归结为

7、在某点邻域的性质，体现了整体收缩为局部的特点。他所证明的结论涉及到某一点的问题，例如，闭区间上连续函数的零点存在性问题，有界数列存在收敛子列问题等。而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。 例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，反之亦然。4.Example若函数)(xf在,ba上有定义恒取正值，,baxxxlim)(xf=0A则)(xf在a, b 上必有正的下界。2 聚点与聚点定理Ea是E的聚点，EaU),(,00聚点是

8、对数集而言， 极限是对数列而言。 聚点不一定是极限点， 极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。2.Examplea，a不是E的聚点，但数列有极限。nn,1,3,31,2,21, 1有聚点但不是没有极限点20m 第 3 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配聚点的等价定义：a是E的聚点，以下三个定义等价：I ),(, 0aU含有E的无穷多个点II ),(, 0

9、0aU含有E内至少一个点III ,mnxxExmnn使得axnnlim3确界原理应用举例5.Example设函数)(xf在,ba上单调递增，且bbfafa)()(证明),(0bax使得00)(xxfproof：,)(|baxxxfxE由Ea， E 非空有上界b，必有上确界Exsup0欲证00)(xxf0,xxEx)(xf单增)()(0.xfxfx)(0.xf是E的一个上界，所以)(0.0 xfx（1）又)(xf单增，bbfxfxa)()(0.0得到0.0()()f xff x即0()fxE.00()f xx（2）由（1） （2）知道00)(xxf3. 致密性定理应用举例6.Example设 函

10、 数)(xf , C a b，且 有 唯 一 最 值 点0 , xa b，若,nxa b , nxa b且0lim()()nnf xf x证明0limnnxxproof：0limnnIfxx000.|kknnnxxstxx0 , knxa b为有界数列，有收敛的子列记作knx20m 第 4 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配并记*limknkxx显然*0 xx再由)(xf , C

11、a b0()lim()nnf xf xlim()( *)knkf xf x这与0 x为( )f x的唯一最值点矛盾。4多种方法证明7.Example设函数)(xf在,ba上只有第一类间断点（可以有无穷多个） ，证明)(xf在,ba上有界1proof： （致密性定理）反证，若)(xf在,ba上无界，存在 nN ，可找出 , .|() |nnxa bstf xn， , nxa b有界，必有收敛的子列knx*limknkxx , ab0 xx时)(xf在,ba上无界。小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。20m 第 5 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

12、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配作业题1 ( ),1xf xxRto show fffxxx, 求1( )ff x2 试证( )sinf xx不是周期函数3 证明,0,0,1,mnxm nf xnxx互质无理数x0 1 ， 每一点都有有限值， 但每一点的邻域内函数无界。4 证明3是满足不等式2r3 一切正有理数的下确界。5 已知 f (x)a b在,上有定义，在每一点极限存在，证明( )f x在, ab上有界6设函数)(xf0,)C且有界，

13、R，)(xf=在0,)至多有有限实根，证明lim()xf x存在35m 第 6 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 数学分析选讲教案2 授课时间2005 年 9 月 14 日第 3 周星期三第二 大节授课地点6403 实到人数117 授课题目数列极限，实数理论授课专业班级信 息 与计 算科学教学目的与教学要求1掌握数列的概念、性质和运算的方法。2掌握数列收敛的判别方法，并会熟练运用，证明有关问题,. 主要内

14、容1、数列极限概念、性质，唯一性、有界性、包号性、保序性、迫敛性。 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），柯西基本列。2、收敛数列判别单调收敛定理、单调有界数列必收敛。海因定理。 Stolz 定理，压缩影响原理3、判别法应用及运算技巧重点与难点重点：各种判别法。难点：运算技巧教学方法手段 （教具）讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合参考资料数学分析，高等数学， 20XX 年数学研究生考题20XX 年高等数学考试测试题课后作业与思考题作业 1.2.3.4.5.6 思考题：各种判别法相互关系。教学后记名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

15、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配第二讲数列的极限数学分析的最根本的概念是极限。数学分析所有的概念都基于极限。如数列极限，函数极限，连续，导数，积分等的定义都是某种类型的极限。（一）基本概念和定理|_|,0lim000 xxNnNxxxxnnnn1性质 唯一性，有界性，保号性，保序性迫敛性2四则运算3几个公式1|,1|, 11|, 0|limqqqqnnannena)1(limanannsinlim4 常用收敛判别方法（1）Cauchy

16、 Principle, （2）单调有界定理，（3）两面夹定理，（4）Stolz 定理。（5）压缩映像原理，（6）定积分法5 三个不等式（1）Bernulli Inequality 2,1)1(anaan(2) Schwarz Inequality2121|nkkknkkkbabankknkkba1212(3)AG Inequality nnkknkkaan111120m 第 1 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - -

17、- - 讲稿部分不教学过程时间分配（二）应用举例1Example1|, 11|,2/11|,0|1|limqqqqqnnn2Example2/)21(limannena3Exampleabnbnanntansinlim24Example用 Cauchy Principle证明调和级数11nn发散。5Example用单调有界定理证明200aax1sinnnxx证明0limnxproof200aax20nx1sinnnxx1nx单调递减下确界为零6Example设11,ab为两正实数，11ab1111112nnnnnnnnabababab证明,nnab收敛，并有相同的极限。proof11,nnnn

18、Letcdab20m 第 2 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配11111111111(),221.nnnnnnnnnnthenccdaabdcdbnncdbyAGInequality1111111111,221.nnnnnnnnnnnccdcccdcddb121121nnnnccccdddd11lim, lim, lim, limnnnnnnnncdalbsls2,lslsls

19、lsls（三）压缩映像原理1压缩数列nx112|,1,2, ,01nnnnxxr xxnr2压缩函数1212|()() |01fxfxrxxr3 有界变差数列nx11221| |nnnnxxxxxxM20m 第 3 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 讲稿部分教学过程时间分配Theorem有界变差数列，压缩数列均收敛proof先证有界变差数列收敛12210,|yyxxny11221| |nnnnxxxxx

20、xny单调地递增有上界故收敛|nmyy1121| |nnnnmmxxxxxx|nmxx1121| |nnnnmmxxxxxxnx收敛再证压缩数列收敛nx12| |nmnnxxxx|23341|nnnnmmxxxxxx221|nrxx+321|nrxx+121|mrxx121|mrxx11r0,m2压缩函数1212|()() |01fxfxrxxr压缩函数列应用设2, 1,0)(, 1.12)(10nxfxxxxxfnn证明nnxlim220m 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

21、- 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共页讲稿部分教学过程时间分配此题证明有理数逼近无理数。proof2, 1 , 01111121nxxxxnnnn) 1(21) 1(1|)(|2xxxf|21|)(|111nnnnnnxxxxfxxnx为压缩数列nnxlim2(四)Stolz 定理1Theorem如果ny单调递增趋于正无穷，)(lim11AyyxxnnnnnAyxthennnlim2 应用举例Example1 （算术平均收敛公式）设axnnlimnxxxbnn.21证明abnnlimExample2 121limnnnnExample3 axnnl

22、imshowto2) 1(.2lim21annnxxxnn（五）运用定积分求极限Example1 求nnnnnnn)()2)(1(lim（e4）20m 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共页讲稿部分教学过程时间分配Example2 )1(,!limennnnExample3 )1sin212sin1sin(limnnnnnnnnn2（六）运用级数收的必要条件证明极限为零Example1 证明,0!l

23、imnnnnExample2 Evaluate,)2(!.5limnnnnn（七）运用海因定理求极限Example1 Evaluate,) 1(limnnnSolution 1)11(lim)1(limnnnnnn令nt1Consider,1)1(lim0ttt111)1(lim0ttt11100)1(lim1)1(limtttttt100)1(lim)1(lim1)1(lim1101100ttttttttt20m 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16

24、页 - - - - - - - - - 第 6 页 共页讲稿部分教学过程时间分配000)1()1(1lim1)1(lim00ttttttt小结：本次课主要掌握数列极限的各种收敛定理，判别方法， 以及求极限的各种技巧，要多做练习，达到熟能生巧，融会贯通。作业 2 1设2, 1 ,0,221210nxxxxnnn求nnxlim2,2, 10nxnaxnnlim证明axxxnnn21lim3 若axnnlim01nnnpp证明apapnknkkn11lim4 求nnnnn12111lim5 求nnnnn3 !lim6 已知,)(0baCxf求nnnnfnfnf)()2()1(lim20m 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -