2022年数学建模简介 .pdf

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1、数学建模简介那么究竟什么是数学建模？为什么开设这门课程？它的作用、它的意义、 有什么特点？它的基本流程是什么？又为什么说这是一门全新的课程？数学建模的目的不是学数学，而是用数学去解决实际问题。即数学建模的概念、作用、特点与建模的基本过程。具体来说有以下几个方面的内容：1、为什么开设数学建模课？2、数学建模的概念和基本流程。3、数学建模的特点。4、数学建模课程学习的主要内容是什么？5、学习数学建模课程的建议。先来说明开课的目的，即第一个问题：一、为什么开设数学建模课？为了说明问题方便，我们不妨从几个来探讨这个问题。问题 1 合理捕捞问题。老王承包了一个很大的鱼塘作养鱼专业户，过了一段时间后他想，

2、 该进行捕捞了。 可是该如何捕捞才能获得最大的收益呢？请你协助他制定一个合理的捕捞计划。可能会有人说， 要想获得最大的收益呢，那么把所有的鱼都打上来卖，如果捕捞10 公斤的鱼就有 10 公斤的价值，如果捕捞100 公斤的鱼就有 100 公斤的价值，这里 100公斤的价值就比10 公斤的价值高 10 倍，如果鱼塘的鱼总共是 1 万公斤的话，那么全部捕捞出来，就有1 万公斤的价值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 这

3、自然是最大的收益，可是仔细想来，这个做法是值得推敲的。首先市场情况，你是否了解？市场能否容纳下这一万公斤鱼的销售，如果不能全部售出的话，后果可想而知，这是第一个问题。其次， 如果你继续想做养鱼专业户的话， 你这个做法值得好好想想了，除非你不再想养鱼了， 自然这个做法是可以的， 我今后不养鱼， 我都卖光，用这个钱去做其它的行业，这是有力的做法，是对的。不过你还想做养鱼专业户的话， 这个做法是值得推敲了。 如果一网打尽， 接着还要养鱼，而养鱼是需要鱼苗和时间的。那么如何去捕捞才合理呢？就应该有个想法，什么想法呢？保持鱼塘的鱼的可持续发展为前提， 这个做法将在后面为大家介绍，通过这么建立一个数学模型

4、的方法， 或通过数学建模的方法， 把这个问题解决，那时我们将得出一个很好的结论。怎么捕捞呢？只需捕捞5000 公斤鱼就可以了，也就是说整个鱼塘鱼的容量的一半是最好的捕捞政策。为什么？那么请你跟我学习数学建模好了。这是第一个问题。问题 2 生产计划安排下岗工人老张想利用自己的一技之长自行组织生产，目前手头只有 12000元可用积蓄， 他满怀希望地找到您， 希望您能帮他搞一个可行的生产计划，以求获得最大收益。 这个是生产计划安排问题， 这个问题的回答， 似乎比上一个问题难回答很多。其实不然，只要建立一个简单的数学模型，就可以获得一个相当不错的答案，或者是一个最优的答案。什么答案呢？我们可以告诉老张

5、师傅，你可以用 12000元的积蓄去换来 70000多元的收益， 这是一个很好的结果， 它是怎么来的呢？这就名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 是数学建模要解决的问题。还有一个问题我想跟大家顺便说一说，就是工厂为什么会倒闭这件事，老张下岗了吗？那么工厂为什么会倒闭？我想顺便说一个事情，就是所谓的土豆的故事。这个例子，我很愿意跟大家说，这很简单，但很能说明问题。土豆的故事是什么意思呢？假设用 5 角钱买了一个土豆，

6、一个很大的土豆， 那么有人拿它炒一盘土豆丝出卖，假设卖出的价格是5 元钱，则这个土豆创造了5 元的价钱，当然这还要扣除土豆钱、油钱、人工钱等等，至少剩下3 元钱；同样的一个土豆， 在别人的手里， 他就不这么做了， 他根据市场的需要，做了一块土豆泥，大家知道，土豆泥现在是很吃香的，那么这块土豆泥至少可以卖多少钱呢？至少可以卖10 元钱，除去成本，至少可以剩下 8 元钱，那么 5 角钱的土豆创造了8 元钱的利润，而前面是创造了 3 元钱的利润。 你看看，同样的一个土豆， 或者说同样的一种资源，在不同人的手里，它所创造的价值是不是不同呢？这就是说，同等数量的资源，在不同人的手上，它所创造的价值也是不

7、同的。那么，为什么有些企业效益好， 而有些企业会倒闭， 很大的成份是他们不会充分利用手上的资源， 使它发挥最大的潜力。 而这些问题都是数学建模中要研究的问题。想知道吗？跟我学习数学建模好了。由这两个例子， 我们可以看到， 当我们面对一些实际问题时我们理应自然面对， 为什么？因为我们是应用数学工作者吗。可是，当我们遇到实际问题时该如何做， 你应该做什么？这个时候你可能感觉到我学了那么多的数学知识， 居然不知道如何利用数学知识去解决实际问题，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

8、 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 这里的关键是什么呢？要我看就是一条，不善于把实际问题转化为数学模型，通过解决数学模型而把实际问题解决，这件事你没有做到，也就是说不善于把一个实际问题转化为数学模型，这是关键所在。 因此，学习数学建模有它重大的意义，它能够解决实际问题， 能把我们学过的知识成功地运用上。我们不妨再看一个例子，一个很热的话题：*问题 3 传染病流行控制现在的传染病是越来越多了，非典过去，现在又来了猪流感，看来应该认真地好好地研究研究流行病的传染规律，以进行有效的分析和控制。 实际上，医学工作者和数学工作者早就进行了早期的合作， 研究出一批数学模型， 那是对

9、流行病传染进行有效的分析、控制、预报及治疗，也同时给政府提供了一个进行宏观调控的可控制化的数据，那么通过数学建模的方法都可以把这些问题解决。因此，数学建模课程有它开设的必要性，也因此数学建模课程这门课程也应运而生了。这就是我们为什么开设这门课程的目的所在。目的：探讨如何将一个现实问题转化为数学模型，从而对所研究的问题提供分析、 预报、控制和决策等方面的定量结果，以有效地解决实际问题。综上所述， 可以理解到数学建模这门课程的主要目的：不是学数学，而是用数学去解决实际问题。从这个意义上讲， 学习数学建模课程有它的另外一个重要的目的：目的：通过学习和实践， 全面提高学员的综合素质， 培养创新能力和名

10、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 良好的数学思维品质， 获得分析和解决实际问题的能力。综合以上两个方面的原因，就是数学建模课程和以前所学过的数学课程相比全新的主要原因。那么够境什么是数学模型，数学建模又是什么呢？下面我们来解决第二个问题二、 数学建模的基本概念和基本流程实际上这两个概念在中学时我们就已经接触过，只不过我们没有充分注意到它就是数学建模问题吧。如下述这类实际问题：例设某厂要投产一种新型轿车，预计第一年生

11、产4 万辆，第二、第三年产量持续增长，计划到第三年末总计生产19 万辆。则后两年的增长率是多少？由此看到，这些中学（初中代数）的一道应用题，它是老师教学生学会一元二次方程的解法或简单应用，是事先编制好了的，这个称之为实际问题。 而实际问题不会让你一眼就看出来，它的基本解法和应用过程， 就好象岗在所举的例子一样。 但是， 麻雀既小，五脏齐全。看起来简单，它已经把数学建模的基本概念和基本流程包含在内了，我们不妨祥细地解剖这只麻雀，从而给出数学建模的基本概念和基本流程。 顺便向大家提出一个数学建模的基本流程，这个建模流程，对于初学者来说， 是极具指导意义的。 请大家一定要注意掌握它。下面我们就来解剖

12、这只麻雀。1、根据对象的实际背景和要求进行问题分析这一步叫做问题分析，是建模过程的第一步。假如增长率是常数x，则根据题意可得4+4(1+x)+4(1+x)2=19 2、 根据问题分析和建立数学模型的目的作出合理的简化的模型假设。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 本例中我们假设增长率是常数x，这是一个实际上的不合理假设，事实上，实际中生产的增长率不会是常数的，但就本问题来说， 这个假设是合理的。否则，这个问题不会作

13、为中学应用题来出现。因此，假设的合理性与问题讨论的范围是直接有关的，与使用的工具也是直接相关的。这是第二步模型假设。3、在问题分析与模型假设基础上建立数学模型。通常简称为建立模型或模型建立。就本例来说：经整理得 4x2+12x-7=0 是岗在那个式子的整理结果， 那么这个一元二次方程就是本问题的数学模型。再看下一步：4、选择适当的数学工具求解数学模型。就本例来说：运用因式分解法（或求根公式）易得最后一步5、对模型结果进行模型分析。对本例来说，只要是讨论这个解是否符合实际。因为 不符合实际，故舍去。那么假如两个根都不符合实际的话，更一般来说，我们所建立模型的最后结论不能被我们所接受，请注意，这是

14、经常会遇到的事情， 那么这个时候除非求解出问题，那么就只有一种解释，就是我们所建立的模型有误， 这个时候就必须对我们数学建模的整个过程进行重新审查，看看那一步出毛病了， 这时特别注意审视模型假设这一步（第二步）是不是出毛病了。因为一般来讲，数学建模它的最后建模出问题， 问题通常都出在模型假设这一步。那么名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 要注意的是如果模型出问题了，需要修改了， 这个时候一般都是在原来模型的基础上进

15、行修改， 切记不要将辛辛苦苦建立的数学模型一棒打死的做法，修改吗？就要在原来模型的基础上进行修改，这是模型分析这一步的两项工作， 即检验与修改。 但实际上模型分析这一步的内容非常富，它不紧包括模型的检验与修改，还包括：模型进一步的分析、推广、 评价和应用。后面我们会逐步看到这一点。至此为止，我们严格地把前面的这个例子完满地解决了，那么建立数学模型的整过过程，是我们今后用数学建模解决实际问题的基本过程，或基本步骤。我们把它称为五步建模法：五步建模程序框图如果模型分析的结果符合我们实际问题的实际，那么我们就把这个结果返回到实际中去，从而解决实际问题。另一方面，如果模型分析的结果不符合实际问题，那么

16、我们就要把这个问题返回到第二步模型假设中去，这个时候，同时关照一下模型分析这一步是很有必要的， 这就是五步建模法的程序扩充。重复一下五步：请大家注意，这五步建模法，对初学者，对大家来说，是极具指导意义的。前面已经说过了，这里再重复一次，这是特别强调指出，换一句话说，在开始学习数学建模的时候，不妨去套用这五步建模法这个程序，去试一试，当然随着时间的推移， 大家会看到这个五步建模法一路上是有它的弹性的， 也就是说这个五步建模法不能说对每个问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

17、 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 都要走过这五步， 有时候可能是少一步， 有时候可能是多一步， 甚至时候可能是几步合并为一步来走。也就是说，这个建模基本程序不是一成不变的， 它的前后顺序也不是一成不变的，要灵活运用。 那么到此，我们可以给出关于数学模型与数学建模的较为确切的定义如下：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的， 依据对象所特有的内在规律， 在做出适当的分析、 合理而简化的假设的基础上，运用适当的数学工具建立的一个数学结构，称为该特定对象的数学模型。建立这个数学模型以及对模型的求解、检验、分析、修改、推广、评价和应用等步骤， 这个全过程称为数学建模。

18、 这就是数学建模的一个较为确切的定义，而五步建模法是这个定义的具体体现。可以看出，这个定义是有可操作性的， 只要按照它去作、 去套用，就是用五步建模法。当然要想对这个定义理解得很好，仍然需要经过大量的实践，才能逐步地加以理解， 下面，为了大家在以后的学习中、 阅读中更为顺利，要求大家注意如下的数学建模的基本特点：三、数学建模的基本特点。1、数学建模不一定有唯一正确的答案。这个特点是数学建模所独有的特点之一。事实上，我们对同一个问题的理解程度、所使用的工具、所在的研究领域、它的层次、所使用的方法等可以各不相同。 因此，所建立的模型可以是千差万别，绝缘不同。可以举个很单间的例子：2003 年全国大

19、学生数学建模竞赛中的一个题目，叫做“非碘”的传播，这是“非碘”之后的一个数学建模题目，关于“非碘”的传播问题， 从全国范围来看，已经建立了十一种模型， 而且都是相当不错的，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 这意味着什么呢？意味着数学建模无所谓对错，但是有优劣之分， 这是数学建模的一个最大特点，它的答案可能不唯一， 但不能说错， 也不能说对，只能有优劣之分，只要我们去做了这就是结论。2、模型的逼真性与可行性。很自然

20、，人们都希望自己建立的模型能和原型基本一至， 或说最好是一样， 但实际中， 一个非常逼真的模型在数学上处理是非常难的， 或者说，一个非常逼真的模型用数学的方法去解它是不可能的。 因此，在建立模型的过程中， 千万不要过于追求模型的完美性， 这是很智慧的一件事情， 这个事在后面的建模当中会看到这些。任何一个数学模型都永远不会与其原型绝对一致，只要误差在我们所能容许的范围之内即可考虑使用。3、模型的渐进性。较为复杂一点的实际问题，通常一次建模是不能彻底解决问题的，而是通过反复几次建模过程， 才能最后得到一个好的模型，这里包括由简到繁， 也包括由繁到简的过程，所以模型具有渐进性也应该提起注意。4、模型

21、的可转移性。数学模型是对现实对象用数学的方法的抽象化和理想化的产物。 因此，它往往被所在领域所独有， 而完全可以转移到其它领域中去加以应用， 也就是说， 它具有广泛的应用性， 这件事也是后面使用类比方法建模的基础， 要注意应用这个方法去建立其它模型。5、 数学建模没有统一的方法。 这件事在我们的特点一中已有所体现，那么对于一个实际问题， 用什么方法去建立它的模型呢？从大的范围来讲有两个产生的办法。 一个是所谓的机理分析法， 另一个就是测试名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

22、 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 分析法。机理分析法测试分析法假如我们对象的内部机理比较清楚，也比较容易识别的话， 这个时候通常使用机理分析法来建模，否则用测试分析法。 但由于测试分析法需要比较多的专业知识，比如： 系统识别等。因此限于我们的学习范围， 就不对它进行深入的研究。 所以我们的重点是掌握机理分析法。以上就是我们学习的数学建模的五个重要特点。为了帮助大家更好地理解五步建模法和它的这几个特点，下面我们介绍一个简单的初等的数学模型。这就是牛吃草问题， 是初等代数中一个古老的问题，请大家注意草的高度。下面我们来建立这个问题的模型。牛吃草问题设一农夫有一片草地用于放

23、牛，经观察发现，3 头牛在 2个星期中就能吃完2 亩地上的草； 2 头牛在 4 个星期中也能吃完2 亩地上的草；那么要多少头牛才能在6 个星期中吃完 6 亩地上的草？我们按照前述的五步建模法一步步来进行：问题分析1、一片地上的草被吃完并不意味着草的高度不存在，2、草被牛吃之前其高度也未必一致，3、草是随吃随长的，且各处的生长速度也不尽相同， 4、每头牛的吃草量也不相同。这些问题都应该在考虑之列，而考虑到中学数学范围， 我们来建立数学模型应该是初等的数学模型。 首先将上面的结果反映到模型假设中去，这就是第二步模型假设。模型假设 1、牛吃不到草的草高为吃完高度，假设此时草高为零。 2、名师资料总结

24、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 在牛吃草前，各处草的高度是一致的。 设为 h0(在原草高基础上 )。 3、每头牛吃草量相同， 均为 a 单位 /星期。4、草的生长速度各处相同且是均匀生长的。即生长速度为常数v 单位/ 星期。这些假设都是不太合理的，但从建立初等数学模型的角度看，这是合理的。那么，在上面假设下如何来建立数学模型：模型建立设需要x 头牛才能在 6 个星期中吃完6 亩地上的草，则有（1）又有题设（2）即得问题的

25、数学模型为* （3）我们的数学模型就建立完了。下面我们来求解这个模型：模型求解这是含有3 个方程， 4 个变量的方程组。故其解法只能是消参数法（通常来讲，这个方程组有无穷多组解）。求解方法如下：由（2）式，利用一个量表达另两个量得a=2v ,h0=4v, 一起代入（ 1）式并消去第四个变量v 即可得到 x=5, 即要 5 头牛才能在 6 个星期中吃完 6 亩地上的草。 这个模型求解完了， 但对于初等代数来说， 这是一个很特殊的方法消参数分析法。因此，这个模型也称为含参数的代数方程。下面对我们的模型进行进一步的分析与推广。模型的分析与推广1、 本题中所作的假设的合理性值得研究。事实上，每头牛吃草

26、量， 草的生长速度等均非常量。 但在初等范围内这些假设应该被认为是合理的。否则本题至少需要微分方程等方法才能解决。2、可以将本问题提法更一般化从而更具一般性：设x1 头牛在 n1 个星期中吃完 m1亩地上的草 ,x2 头牛在 n2 个星期中吃完m2亩地上的草。则要多少头牛才能在n 个星期中吃完 m亩地上的草。 其模型为这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 是推广之后的结果， 这个模型我们就不求解了。 以上我们通过

27、两个实例，但都是初等数学模型。 简单地介绍了五步建模法这个基本程序和它的五个基本特点。 话还得说回来， 仅仅靠这两个简单的模型就能把数学建模的五步建模法及它的五个特点理解得非常深透，那是不可能的。而必须经过大量的训练之后，才能有更深的理解，也因为如此，我们的学习方法要以实例训练为主。 什么意思呢？就是通过大量的建模实例来培养大家的建模能力，在这过程中， 逐步地理解建模的基本程序和基本特点， 到时，你再回过头来看我们今天所学的内容也将理解得非常深入。下面我们继续探讨数学建模的第四个方面的问题。四、数学建模课程学习的主要内容1、介绍数学建模的基本概念、方法与步骤。这个我们已基本完成了它的内容， 往

28、下我们将继续探讨它的基本概念、方法与步骤。2、研讨最常见的初等数学模型、微分方程模型、运筹学模型和概率统计模型这四类基本数学模型的建立方法。这是这门课程的主要内容。最后提一点建议：五、学习数学建模课程的建议. 1、认真弄懂每一个实例，其内容和步骤是什么，用到了什么建模方法，特别是要知晓它是怎样从实际问题转化为数学模型的。2、课后作业题、思考题要一个不漏地全部完成。3、勤于动脑、善于思考、敢于创新、不怕出错。这个提法是不是很新，实际上，勤于动脑、善于思考是很应该做到的， 否则很难把模型建立起来。 那么敢于创新这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

29、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 就是一个很有特点的建议了，没有创新， 怎么去建新的数学模型， 怎么解决实际问题呢？那么创新的话，就难免出错， 你要不怕出错， 去做就是了。因为我们说过，数学建模没有什么对错，但有优劣之分。4、善于查阅和学习各种新资料、新知识。这是数学建模不可缺少的一个步骤，我们将来会体会到的。5、就近与 2-3 个同学组成学习小组，在争论中求得知识的互补和问题的解决，也为今后的建模论文写作奠定基础。因为我们的建模论文写作要求以 2-3 个同学为一组来完成。6、手头应常备以下几本

30、书：高等数学、线性代数、概率统计、常微分方程、运筹学。 7、有意识地结合周围的生活、生产实际、结合所学专业进行学习与训练， 以增长兴趣、 培养能力。对于学习数学建模这个特殊的数学课程来讲， 这个做法我们是提昌的， 或起在你解决实际问题过程中有意想不到的收获。2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题 地面搜索 2008年 09 月20 日 星期六 22:10C 题 地面搜索5.12 汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派出多支小分队， 到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

31、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 助的人员的准确位臵。 在其它场合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线， 对预定区域进行快速的全面搜索。通常，每个搜索人员都带有GPS 定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。GPS 可以让搜索人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域，大小为11200 米7200 米，需要进行全境搜索。假设：出发点在区域中心；

32、搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20 米，搜索时平均行进速度为0.6 米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为 1.2 米/秒。 每个人带有 GPS 定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000 米。搜索队伍若干人为一组,有一个组长， 组长还拥有卫星电话。 每个人搜索到目标， 需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。现在有如下问题需要解决：1假定有一支 20 人一组的搜索队伍 , 拥有 1 台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式， 搜索完整个区域的时间是多少 ? 能否在 48 小时内完成搜索任务

33、? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2为了加快速度，搜索队伍有50 人，拥有 3 台卫星电话，分成3组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。 按照你的搜索方式 , 搜索完整个区域的时间是多少 ? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -