2022年高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案. .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高三一题多解一题多变题目一题多解一题多变（一）原题：482+=xmxxf)(的定义域为 R，求 m 的取值范围解：由题意0482+xmx在 R 上恒成立0m且0，得4m变 1：4823+=xmxxflog)(的定义域为 R，求 m 的取值范围解：由题意0482+xmx在 R 上恒成立0m且0m变 2：)(log)(4823+=xmxxf的值域为 R，求 m 的取值范围解：令=t482+xmx，则要求 t 能取到所有大于0 的实数，当0m时，t 能取到所有大于0 的实数当0m时，0m且040?m40m变 3：18223+=xnxmxxflog)(的定义域为 R,值域为 20,

2、，求 m,n 的值解：由题意，令911822,+=xnxmxy，得0-8-2nyxxmy）（my时，0016-)(-2mnynmy- 1和 9 时0162=+-)(-mnynmy的两个根5= nm当my =时，08=mnx-Rx，也符合题意5= nm一 题 多 解- 解不等式5233-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载（1）当03-x2时，不等式可化为53-x2343 x?（2）当03-x2时，不等式可化为0 x-1?53-2x+3综上：解集为0 x1

3、-或43xx解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232xxxx?-3-或且综上：解集为0 x1-或43xx解法三：利用等价命题法原不等式等价于-33-2x5-53-或x23，即0 x1-或43x解集为0 x1-或43xx解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为252323-x，不等式的几何意义时数轴上的点23到x的距离大于23，且小于25，由图得，解集为0 x1-=sin，所以是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453=tan,cos若是第二象限角，则3454一一=tan,cos变 2：已知)(sin0=mm求tan解：由条件10 m，所以当108,故不符合题意，故选D 解

4、 法 八 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载设圆方程为：922yx椭圆方程为：1162522yx两者联立解方程组得：9725725925162591625)9(251616252516222222xxxxyx不可能故圆922yx与椭圆1162522yx无交点即1PF不可能垂直2PF故选 D 一题多解一题多变（六）一变题：课本 P110 写出数列na的前 5 项：1-111,14nnaaa变题：已知函数1()22 , 1 2fxxx，设)(xf的反函数为)(xgy =，)(,1211agaa

5、=)(1-nnaga =，求数列na的通项公式。解：由题意得，xxgy211-)(=，1-nnaa211=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载1212()323nnaa，令32-nnab =，则nb是以31为首项，21-为公比的等比数列，故)()- (1-12131=nbnn从而，)(23)-(1-n1-11232+=+=nbannnn二、一题多解已知函数),)(+ +=122xxaxxxf（1）当21=a时，求函数)(xf的最小值； - （2）若对于任意01+ )(),xfx恒成立，试求实数a

6、的取值范围，解： （1）当21=a时，222212+=xxxf)(，当且仅当22=x时取等号由)()(0+=kxkxxf性质可知，)(xf在),+ 22上是增函数), + 1x，所以)(xf在), +1是增函数，)(xf在区间), +1上的最小值为271 =)(f（ 2 ） 法 一 ： 在 区 间 上), +1，022+=xaxxxf)(恒 成 立022+?axx恒成立设axx+=22y，), + 1x11222-)(yaxaxx+=+=在), +1上增所以1=x时，3min+= ay，于是当且仅当03min+= ay时，函数0)(xf恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - -

7、名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载故-3a法二：),)(+=12 xxaxxf当0a时，函数)(xf的值恒为正；当0+= ay时，函数0)(xf恒成，故-3a法三：在区间), +1上，022+=xaxxxf)(恒成立022+?axx恒成立xxa22-?恒成立，故a应大于xx22-u =，),+1x时的最大值-3，所以-3a一题多解一题多变（七）原题： :若)()(0112+=xxxxf,则=)(xf分析:用倒数换元解: 令txxt11=则, 所以)()()(01112+=ttttf将 t 换成 x 得到: )()()(01112+=xxxtf

8、变题 1：设)(xf满足关系式,)()(xxfxf312=+求)(xf的解析式解：txxt11=则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载ttftf1321=+)()(将 t 换成 x 得到: xxfxf1321=+)()(与原式联立方程组消去)(xf1得到2( )(0)f xx xx变题 2：已知( )()afxfxbx，其中12a试求)(xf的解析式解：用相反数换元令,tx xt代入到原式当中得到：()( )aftf tbt将 t 换成 x 得到: ()( )afxf xbx与原式联立方程组，得

9、到：2(1)( )(1)af xb ax12a2(1 )( )(1)1b abf xxxaa变题 3：已知22(43)(34 )2 ,afxbfxx ab，试求)(xf的解析式解：令43xt，则232+=tx3( )()2taf tbft( )1将( )1中 t 换t 得到: 3()( )2taftbf t与( )1联立方程组得到：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载223() ( )()22ababf ttab22ba13( )2()2()f ttabab13( )2()2()f xxabab

10、变题 4：已知2()()1,nnafxfxbxan，其中为奇数，求)(xf解：设nntxtx=,代入原式得：( )()naf tftb t将 t 换成 t 得到: ntbtftaf=+)()(与上式联立方程组得到ntabtfa)()()(112+=12a2(1)( )(1)1nnb abf xttaa)(xf的解析式为：2(1)( )(1)1nnb abf xxxaa一题多解题目：设二次函数)(xf满足，)()(22xfxf=且函数图象 y 轴上的截距为 1，被 x 轴截的线段长为22，求)(xf的解析式分析：设二次函数的一般形式)()(02+=acbxaxxf，然后根据条件求出待定系数a,b

11、,c 解法一：设)()(02+=acbxaxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载由，)()(22xfxf=得：04=ba 又2221=axx2284aacb=由题意可知1=c解之得：1221=cba,1221+=xxxf)(解法二：，)()(22xfxf=故函数)(xfy =的图象有对称轴2=x可设kxay+=22)(函数图象与 y 轴上的截距为 1，则14=+ ka又被 x 轴截的线段长为22，则2221=dxx整理得：02=+ ka解之得：121=ka,1221+=xxxf)(解法三：，

12、)()(22xfxf=故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载函 数)(xfy =的 图 象 有 对 称 轴2=x， 又2221=xx )(xy =与 x 轴的交点为：，)(0222),(0222+故可设)(222+=xay2110=af,)(1221+=xxxf)(一题多解一题多变（八）原题设( )xfy =有反函数)(-1xfy=，又)(2+=xfy与)1-(-1xfy=互为反函数，则_)(-)(-1-1=01ff（ 教学与测试 P77）变 题设( )xfy =有 反 函 数)(-1xfy=，

13、 又)(1+=xfy的 图 象 与)(-11+=xfy的图象关于xy =对称（1）求)(-)(01ff及)(-)(-1-101ff的值；（2）若ba,均为整数，请用ba,表示( )( )f af b及)(-)(-1-1bfaf解 (1) 因)(-11+=xfy的 反 函 数 是( )1-xfy =， 从 而( )11-)(xfxf=+,于是有( )11-)(=+xfxf， 令1=x得-1(0)-)(=ff 1；同 样 ，)(1+=xfy得 反 函 数 为( )1-1xfy =， 从 而( )11-)(-1-1xfxf=+，于是，( )11-)(-1-1=+xfxf(2) -11)(-)(=+x

14、fxf2,而( )11-)(=+xfxf,故( )12-1)-(-)(=+xfxf,即( )22-)(=+xfxf, ( )nxfnxf-)(=+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载从而( )( )abafabafbfaf-)-(-)(=+=同理，-1-1( )fafbba一题多解1函数2( ),( 1)(3)f xxbxc ff，则( ) （A）(1)( 1)fcf（B）(1)( 1)fcf（C）( 1)(1)cff（D）( 1)(1)cff解法 1. 由( 1)(3)ff知( )xf的图象

15、关于1=x对称， 得2b而22(1)1( 2)11, ( 1)(-1)( 2)( 1)3fccfcc，且31ccc，因此(1)( 1)fcf. 解 法 2. 由( 1)(3)ff知( )xf的 图 象关于1=x对 称， 而)(0fc =，而( )xf在1,1上递减，易得答案为By -1 0 1 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载一题多解一题多变（九）姜忠杰变 题原题：若在区间y=2a-ax-2x在区间)3-,1- (是减函数，则a的取值范围是多少？变 1：若函数y=2a-ax-2x在)3-

16、,1- (上是减函数，则a的取值范围是多少？变 2、若函数y=)a-ax-(log2221x在)3-,1- ( 上是增函数，则a的取值范围是多少？变 3、若函数y=)a-ax-(log2221x在)3-,1- (上是增函数，且函数的值域为 R，则a的取值范围是多少？解：函数2a-ax-2xy =的减区间为-2a，（ ，?)3-,1- (-2a，（ ）， 32-2+ - 变 1、设2a-ax-2xu =，则u在)3-,1- (为减函数， 且在)3-,1- (，u0 所 以 有3-12a且u（3-1）0，a的 取 值 范围 是,)51)(1-3()5-1)(1-(223+变 2：设2a-ax-2x

17、u =，则u在为减函数，且在3-,1- (，u0- 所以有3-12a且u（3-1）0，a的取值范围是,)51)(1-3()5-1)(1-(223+变 3：设2a-ax-2xu =，则u在)3-,1- (减区间，u在)3-,1- (取到一切正实数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载3-12a，01=)3-(u，所以=a23)5-1)(1-(或2)51)(1-3(+一题多解：设10=+aalg，1010 =+bb，求ba+的值。解法一（构造函数）：设xxxflg)(+=，则)(lg)(bbbbfba

18、f1010101010=+=+=，由于)(xf在),(+ 0上是单调递增函数，所以ba10=，故1010=+=+bbab。解法二（图象法）因为a是方程10=+xxlg的一个根，也就是方程xx-lg10=的一个根b是方程1010 =+xx的一个根，也就是方程x -1010 =x的一个根令xxglg)(=，xxh10=)(，xx-)(10=，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：108642-5510BAACa是方程)()(xxg=的根，即图中 OA=ab是方程)()(xxh=的根，即图中 OB=b易得 OA+OB=10，所以10=+ ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

19、纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载解法三：方程10=+xxlg，1010=+xx的根为a，b由1010 =+xx，得xx-1010=，x)-lg(10=x，又10=+xxlg10lgxx)-lg(=+10，1010 x)-x(10=即，02=+101010 x-x即1021=+ xx)(0a时，函数)(xf是凹函数；（2）如果, 10 x时，1|)(|xf，试求实数a的取值范围。（1）证明：略（2）实数a的取值范围是 2,0)二、一题多解不查表计算：5235233lglglglg+解法一：原式 =3lg2lg55)lglg2lg5-2lg)(lg(

20、lg22+52=523552222lglglglglg-lg+=5522222lglglglg+=1522=+)lg(lg解法二：原式 =322(lg 2lg5)3lg2lg5-3lg 2lg53lg 2lg5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)=1 解法三：原式 =52352523523lglg)lg(lglglg-)lg(lg+=5235231lglglglg-+=1 解法四：原式=52352352352352352222233lglglglg-lg

21、lg-lglglglglglg+=)-lg(lglglg-)lg(lg152523523+=1 解法五：原式 =15235233+lglglglg=)lg(lglglglglg525235233+=352)lg(lg+=1 一题多解一题多变（十一）一题多解 - 1已知212xxf-)(=（-1)x，求-12()3f的值解法 1 先求反函数由221xy得221yx-1xy2-1-=x且0y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载故原函数的反函数是x2-1-)(1-=xf)(0 x-2)32- (1-=

22、f解法 2 从互为反函数的函数的关系看令32-x-2=12解得2=x-1x时，0)(xf（1）求证)- (-)(xfxf=（2） 判断)(xf的单调性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载证明 （1）令,0= yx得)()()(000fff+=00 =)(f-令-y=x，得0-x)()()(=+=fxff 0)- (-)(xfxf=（2）设21xx ，则)()-()()-()(11211212xfxxfxfxxxfxf+=+=)(xf在 R 上是单调函数变 题1. 已 知 函 数 是 定 义R在

23、上 的 增 函 数 ， 且 满 足-)()(xfyxf=)(yf（1）求)(1f的值（2）若,)(16 =f解不等式215+)(-)(xfxf解 （1）令1= yx，得)(-)()(111fff=01 =)(f- （3）在)(-)()(yfxfyxf=中，令61=yx,得1661-)(-)(=ff从而261636=)(-)()(fff又原不等式可化为)()(365fxxf+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载且)(xf是),(+ 0上的增函数，原不等式等价于365 +)(xx49x05+x解得

24、40+=xaxxxf）（恒成立022+?axx恒 成立 ，设axxy+=22在)+，1递增，当 x=1 时ay+= 3min，于是当且仅当03+=aymin时，函数恒成立， 故a3。解法二：)+=，）（12xxaxxf当 a0的值恒为正 ,当 a)时恒成立 , 故 a3。解法三：在区间)+，1上xaxxxf+=22）（恒成立022+?axx恒成立xxa22?恒成立，故a应大于)+=，122xxxu时的最大值 3，()112+xa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载当 x=1 时，取得最大值3 。

25、3a题目：将函数xxf1)(的图象向左平移1 个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式。解 ：将 函 数xxf1)(中 的x换 成x+1 ， y换 成y-1得1)(111)(111)(xxxfxxfxxf变题 1：作出函数11)(xxxf的图象解：函数11)(xxxf=121x，它是由函数xxf2)(的图象向左平移 1 个单位，再向上平移1 个单位得到。图象为：变题 2：求函数11)(xxxf的单调递增区间解：由图象知函数11)(xxxf的单调递增区间为：, 1,1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 36 页优

26、秀学习资料欢迎下载变题 3：求函数11)(xxxf的单调递增区间解：由011xx得11xx或所以函数11)(xxxf的单调递增区间为,1,1,变题 4： 求函数)11()(log2xxxf的单调递增区间解：由11011xxxx或，所以函数)11()(l og2xxxf的单调递增区间为1, 1变题 5 函数1)(axxaxf的反函数的图象的对称中心为（-1，3） ，求实数 a 解：由) 1(111)(axaxxaxf知对称中心为（a+1，-1） ，所以它的反函数的对称中心为 （-1， a+1） ， 由题意知：a+1=3 得 a=2。变题 6 ：函数axxxf2)(的图象关于 y=x 对称求 a

27、的值解：因为函数axxxf2)(的反函数是它本身，且过点（2，0） ，所以其反函数的图象必过点（0，2） ，即函数axxxf2)(也过点（ 0，2） ，代入得 a=-1。变题7 设（ a，b）与（ c，d）都是函数f（ x）的单调区间，），（），（、dcbaxx21且xx21则)(1xf与)(2xf的大小关系为（）（A）)()(21xxff（B）)()(21xxff（C）)()(21xxff（D）不能确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载解：构造函数xxf1)(它在,0,0 ,上都是增函数，但

28、在,00,上无单调性，故选D变题 8：讨论函数)21(21)(axaxxf在), 2(上的单调性。解：)21(22121)(axaaxaxxf由)(xf的图象知，当21a时在上是增函数；当21a时在上为减函数一题多解一题多变（十四）已知00mba,，求证：abmamb+变题1、已知数列na满足2+=nnan，*Nn，试比较na与1+na的大小2、已知00mba,，且00+mbma,，求证：abmambmba,，求证：abmamb ba，0m0ba -0+)()-(maabam0+ab-mamb1 、0na1233123312221+=+=+=+nnnnnnnnnnnnaann)()(1+ ba

29、，0ba -，又0+ ma0+)()-(maabam，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载abmamb ba，0m0ab-0+)()-(mbbabmba+=+)(2nn-nnnn，nnaa+ 1方法二：作商0na1233123312221+=+=+=+nnnnnnnnnnnnaann)()(1+nnaa- 方法三： （单调性）=+=2nnan2n2-2n2-+=+12n，na关于n单调递增1+nnaa方法四：浓度法把2+=nnan看成是一杯溶液 （糖）的浓度，随着n的增大（相当于向溶液中加糖）

30、，浓度当然增大，易得na 2、0a202、0a202、0a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载20+21ax-ax恒成立，1、当0=a时0212、0a20 a?2a=-214 a020a变式 4、2112axaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由题意得2ax-021=+ax无解即20 a,-200214?aa或0=a20+21ax-ax恒成立，1、当0=a时0212、0a20 a?2a=-214 a020a一题多解徐晓洲求2122+=xxy的值域法一：常数分离法21+=2x1-y021

31、212102202222+?+?+?xxxx-21-即121-1212+x值域为 21，1)法二：反解法由0122122222=?+=+?+=1-2y-1yxxyyxxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 36 页优秀学习资料欢迎下载函数的值域为 21，1)法三：判别式法由?12212222+=+=xyyxxxy01-1)x-(2=+yy2即：1、当1=y时01故舍去2、当1y时10?=y2101)-1)(2y-4(y-所以函数的值域为 21，1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 36 页