2022年高三数学配套黄金练习倍角公式及简单的三角恒等变换 .pdf

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1、高考数学（理）黄金配套练习第四章 4.6 第 6 课时一、选择题1下列函数中，周期为，且在 4，2 上为减函数的是( ) A ysin(2x 2) Bycos(2x 2) C ysin(x 2) Dycos(x 2) 答案A 解析对于选项A，注意到ysin(2x 2) cos2x 的周期为，且在 4，2上是减函数，故选A. 2函数 y2cos2x 的一个单调增区间是( ) A ( 4，4) B(0 ，2) C (4，34) D(2，) 答案D 解析y2cos2x1cos2x ，递增区间为2k2x2k 2k2xkk0 时，2x . 选 D. 3已知函数f(x)Asin( x)(A0 ，0)在 x

2、4处取得最小值，则( ) A f(x 4) 一定是偶函数B f(x 4) 一定是奇函数C f(x 4) 一定是偶函数D f(x 4) 一定是奇函数答案A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 42 页解析f(x 4) 是 f(x)向左平移4个单位得到的f(x) 图象关于x4对称，则f(x 4) 图象关于x 0 对称，故 f(x 4) 为偶函数4定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x) 的最小正周期为，且当 x 2，0) 时， f(x) sinx ，则 f( 53) 的值为 ( ) A 12 B.12C 32

3、D.32答案D 解析据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f( 53) f( 532) f(3) f( 3) sin( 3) 32. 5函数 y xcosx 的部分图象是( ) 答案D 分析方法一由函数 y xcosx 是奇函数，知图象关于原点对称又由当 x0 ，2 时，cosx0，有 xcosx0.当 x 2，0 时，cosx0，有 xcosx0. 应选D. 方法二特殊值法，由f( 2) 0，f(4) 4cos40，排除 C，故选 D. 6关于 x 的函数 f(x) sin( x )有以下命题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，

4、共 42 页? R ，f(x 2) f(x) ；? R ，f(x 1)f(x)；? R ，f(x)都不是偶函数；? R ，使 f(x) 是奇函数其中假命题的序号是( ) A BC D答案A 解析对命题，取 时， f(x 2 ) f(x) ，命题错误；如取 2，则f(x 1) f(x)，命题正确；对于命题，0 时 f(x)f( x) ，则命题错误；如取 ，则 f(x)sin( x) sin x，命题正确二、填空题7设函数y2sin(2x 3) 的图象关于点P(x0,0) 成中心对称，若x0 2，0 则 x0_ 答案6解析因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y2sin(2x 3) 0， x

5、0 2，0 ，得 x06. 8函数 f(x)sin (2x4) 22sin2 x 的最小正周期是_答案解析f(x) sin(2x 4) 22sin2x22sin 2x22cos 2x 221cos 2x222sin 2x 22cos 2x 2sin(2x 4) 2，故该函数的最小正周期为22. 9设函数f(x)sin(3x)(0 ) ，若函数f(x)f (x) 是奇函数，则 _. 答案23解析由题意得f (x) 3cos(3x) ，f(x)f (x) 2sin(3x 3) 是奇函数，因此 3k( 其中 kZ)，k3，又 0，所以 23. 10若函数yf(x)同时具有下列三个性质：(1) 最小正

6、周期为；(2) 图象关于直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 42 页x3对称； (3) 在区间 6，3 上是增函数，则y f(x) 的解析式可以是_答案ycos(2x 23) x已知函数f(x) 3sin( x6)( 0) 和 g(x) 2cos(2x ) 1 的图象的对称轴完全相同若x0 ，2 ，则 f(x) 的取值范围是_答案 23，3 解析 f(x)与 g(x) 的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与 g(x) 的最小正周期相等， 0， 2， f(x) 3sin(2x 6) ，0 x2，62x656，12sin(2

7、x 6) 1，323sin(2x 6) 3，即 f(x)的取值范围为 32，3 x将函数ysin( x)(20)，若函数f(x)m n的最小正周期为. (1) 求 w的值；(2) 将函数 yf(x)的图象向左平移12个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x) 的图象，求函数yg(x) 的单调递减区间解析(1) 由题意得f(x)m n sin2wx3coswxcos(wx 2) sin2wx3coswxsinwx 1cos2wx232sin2wx 32sin2wx 12cos2wx12sin(2wx 6) 12. 因为函数f(x) 的最小正周期为 ，

8、且 w 0，所以22w，解得 w1. (2) 将函数yf(x)的图象向左平移12个单位，得到函数yf(x 12) 的图象，再将所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 42 页得图象横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数yf(x412) 即函数 yg(x) 的图象由(1) 知 f(x)sin(2x 6) 12，所以 g(x) f(x412) sin2(x412) 6 12sinx212. 令 2k2x22k 32(k Z)，解得4k x4k 3 (k Z)因此函数 yg(x) 的单调递减区间为4k ，4k 3(k Z)拓

9、展练习自助餐1已知函数y2sin(wx )为偶函数 (0 b，得 A B ， B30.故 C90，由勾股定理得c2. 3在 ABC中，若 sinAsinBcosAcosB，则此三角形的外心位于它的( ) A 内部 B外部C 一边上 D以上都有可能答案B 解析sinAsinB0 ， cos(A B)0 AB为锐角， C为钝角 ABC为钝角三角形，外心位于它的外部4在 ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC43， c8，则 ABC外接圆半径 R为( ) A 10 B8 C 6 D5 答案D 解析本题考查解三角形由题可知应用正弦定理，精选学习资料 - - - - - - - - -

10、 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 42 页由 tanC 43? sinC 45，则 2RcsinC84510，故外接圆半径为5. 5 ABC中， a，b， c 分别为 A、 B、 C的对边，如果a，b，c 成等差数列，B30， ABC的面积为0.5 ，那么 b 为( ) A 13 B33 C.333 D23 答案C 解析2bac，12ac1212? ac2，a2c24b2 4，b2a2c22ac32? b24233? b333. 6在 ABC中， AB 3，AC 1，B30，则 ABC的面积为 ( ) A.32 B.34C.32或3 D.34或32答案D 解析如图，由正

11、弦定理得sinC csinBb32，而 cb，C60或 Cx0，A90或 A30，SABC12bcsinA 32或34. 7在 ABC中，内角A，B， C 的对边分别是a，b，c. 若 a2b23bc，sinC 23sinB ，则 A( ) A 30 B60C x0 D150精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 42 页答案A 解 析由sinC 23sinB可 得 c 23b， 由 余 弦 定理 得cosAb2c2a22bc3bcc22bc32，于是 A30，因此选A. 8在 ABC中，若 (a bc)(a b c) 3ab

12、且 sinC2sinAcosB ，则 ABC是( ) A 等边三角形B 等腰三角形，但不是等边三角形C 等腰直角三角形D 直角三角形，但不是等腰三角形答案A 解析 (ab c)(a bc) 3ab，即 a2b2c2ab，cosCa2b2 c22ab12， C60.又 sinC 2sinAcosB ，由 sinC 2sinAcosB 得 c2aa2c2b22ac，a2b2， ab. ABC为等边三角形二、填空题9已知 ABC的三个内角A，B，C，B3且 AB 1，BC 4，则边 BC上的中线AD的长为 _答案3 解析在 ABD中， B3，BD 2，AB 1，则 AD2AB2 BD22AB BDc

13、os33. 所以 AD3. 10已知a， b，c 分别是ABC的三个内角A，B，C 所对的边，若a1，b3，AC2B，则 sin A _. 答案12解析由 AC 2B，且A B C180，得B60，由正弦定理得3sin 60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 42 页1sin A， sin A 12. x在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 若 a2， b2，sin B cos B2，则角 A的大小为 _答案6解析由 sin B cos B 2sin(B 4) 2得 sin(B 4) 1，所以B4.

14、由正弦定理asin Absin B得 sin A asin Bb2sin 4212，所以 A6或56( 舍去 ) x对于 ABC ，有如下命题：若sin2A sin2B ，则 ABC为等腰三角形；若sinAcosB，则 ABC为直角三角形；若sin2A sin2Bcos2C1，则 ABC为钝角三角形其中正确命题的序号是_( 把你认为所有正确的都填上) 答案解析 sin2A sin2B ，AB? ABC 是等腰三角形，或2A2B ? A B2，即 ABC 是直角三角形.故不对sinA cosB， AB2或 AB2. ABC不一定是直角三角形sin2Asin2B1cos2C sin2C，a2b20

15、 知 B2. 由已知得cos B 1213，sin ADC 45. 从而 sin BAD sin( ADC B) 451213355133365. 由正弦定理得ADsin BBDsin BAD. 所以 ADBD sin Bsin BAD33513336525. 15已知 ABC中， B45， AC 10，cosC255. (1) 求 BC边的长；(2) 记 AB的中点为 D，求中线CD的长解析(1) 由 cosC255得 sinC 55，sinA sin(180 45 C) 22(cosC sinC) 31010. 由正弦定理知BC ACsinBsinA10223101032. (2)AB A

16、CsinBsinC1022552. BD 12AB 1. 由余弦定理知CD BD2BC22BD BC cosB11821322213. 讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 42 页和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理asinAbsinB求 B 时，应对解的个数进行讨论；已知 a，b，A，求c 时，除用正弦定理asinAcsinC外，也可用余弦定理a2 b2 c22abcosA求解16在 ABC中，已知内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，向量m (

17、2sinB ，3) ， n(cos2B,2cos2B2 1) ，且 m n. ( ) 求锐角 B的大小；( ) 如果 b 2，求 ABC的面积 SABC的最大值解析( )mn? 2sinB(2cos2B21) 3cos2B? 2sinBcosB 3cos2B? tan2B3. 02Bb B ab C ab D a 与 b 的大小关系不能确定答案A 解析c2a2b22abcos x0 ? a2b2ab0? ba5a5a，故选 A. 2在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 cos 2C 14. (1) 求 sin C 的值；(2) 当 a2,2sin Asin C时，求 b

18、及 c 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 42 页解析(1) 因为 cos 2C 12sin2C14，及 0C，所以 sin C 104. (2) 当 a2,2sin Asin C时，由正弦定理asin Acsin C，得c 4. 由 cos 2C 2cos2C114，及 0Cb， AB.B为锐角 cosB25. tanB sinBcosB12. 4设函数f(x)cos(x 23) 2cos2x2，xR. (1) 求 f(x) 的值域；(2) 记 ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，若 f(B) 1，

19、b 1，c3，求 a 的值解析(1)f(x) cos xcos 23 sin xsin 23cos x 1 12cos x 32sin x cos x 1 12cos x 32sin x 1 sin(x 56) 1，因此 f(x)的值域为 0,2(2) 由 f(B) 1 得 sin(B 56) 11，即 sin(B 56) 0，又因 0B，故 B6. 解法一：由余弦定理b2 a2 c2 2accos B ，得 a23a20，解得 a1 或 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 42 页解法二：由正弦定理bsin Bcs

20、in C，得sin C 32，C3或23. 当C3时， A2，从而 ab2c22；当 C23 时， A6，又 B6，从而 ab1. 故 a 的值为 1 或 2. 教师备选题1某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( ) A 不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形C 作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形答案D 解析设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知113a111b15c， ab c13x5 由余弦定理得cos A 5211213225110，所以角A为钝角2 E，F是等腰直角ABC斜边 AB上的三等分点，则tan ECF ( ) A.1627

21、 B.23C.33 D.34答案D 解 析设AC 1 ， 则AE EF FB13AB23， 由 余 弦 定 理 得CE CFAE2AC22AC AEcos 4553，所以 cos ECF CE2CF2EF22CE CF45，所以 tan ECF sin ECFcos ECF14524534. 3某班设计了一个八边形的班徽( 如图 ) ，它由腰长为1，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 42 页A 2sin 2cos 2 B sin 3cos3 C

22、 3sin 3cos 1 D 2sin cos1 答案A 解析四个等腰三角形的面积之和为41211sin 2sin . 再由余弦定理可得正方形的边长为1212211cos 22cos ，故正方形的面积为22cos ，所以所求八边形的面积为2sin 2cos2. 4有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在ABC中，已知a3，2cos2AC2(21)cosB ，_，求角 A. 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A60，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程分析本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b2. 利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行

23、验证结果是否正确解析将 A 60看作已知条件，由 2cos2AC2(21)cosB ，得 cosB22， B 45.由asinAbsinB，得 b2. 又 C75，得sinC sin(30 45) 264. 由asinAcsinC，得 c262. 若已知条件为b2，且由已知得B45，则由asinAbsinB，得 sinA 32，A60或 x0不合题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 42 页若已知条件为c262，则 b2a2c22accosB，b2，cosAb2c2a22bc12，A60.综上所述，破损处的已知条件为c2

24、62. 5已知函数f(x)32sin2x cos2x12，x R. (1) 求函数 f(x)的最小值和最小正周期；(2) 设 ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、 b、c，且 c3，f(C) 0，若向量m(1 ，sinA) 与向量 n(2 ，sinB) 共线，求a，b 的值解(1) f(x) 32sin2x 1cos2x212sin(2x 6) 1，函数f(x) 的最小值是2，最小正周期是T22. (2) 由题意得f(C) sin(2C 6) 1 0， 则 sin(2C 6) 1， 0C ，02C2，62C 6B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

25、- - - -第 18 页，共 42 页C 90 D 180答案B 2如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c， 是可供测量的数据下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( ) A c 和 a Bc 和 b C c 和 Db 和 答案D 3已知 A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得 ABC x0，则 A、C两地的距离为 ( ) A 10 km B.3 km C 105 km D107 km 答案D 解析ACAB2BC22AB BC cos1201022022102012107(km) 4某人在山外一点测得山顶的仰角为42，沿水平面退后30 米，

26、又测得山顶的仰角为 39，则山高为 (sin42 0.6691，sin39 0.6293，sin3 0.0523)() A 180 米 B214 米C 242 米 D266 米答案C 解析 BCA 42， BDA 39， DBC 3.在 BDC中， DC 30，DCsin3 BCsin39 ，BC 30sin39 sin3 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 42 页在 Rt ABC中， AB BC sin42 30sin39 sin42 sin3 242. 5在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为3

27、0，60，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m 答案A 解析在 RtBAC中 ABC 30， AB 200，BC ABcos3040033， EBD 30， EBC 60， DBC 30， BDC x0，在 BDC中，DCsin30 BCsin120 ，DC BC sin30 sin120 4003312324003(m)6有一长为1 千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为_千米 ( ) A 1 B2sin10 C 2cos10 Dcos20答案C 解析由题意知DC BC 1， BCD 160，BD2 DC2CB22

28、DC CB cos160精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 42 页11211cos(18020)22cos20 4cos210，BD 2cos10.二、填空题7(x 潍坊质检) 已知A 船在灯塔C 北偏东80处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ， B 船在灯塔C 北偏西 40处， A、B 两船间的距离为3 km，则 B 船到灯塔C 的距离为_km. 答案61 解析如图，由题意可得，ACB x0， AC 2，AB3. 设 BC x，则由余弦定理可得： AB2BC2AC22BC ACcosx0 ，即32x22222xco

29、sx0，整理得x2 2x5，解得 x61. 8如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为x0的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿 OD走到 D用了 2 分钟，从D 沿着 DC走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟50 米，则该扇形的半径为_米答案17500 解析连接 OC ，在 OCD 中， OD 100，CD 150， CDO 60，由余弦定理得：OC2100215022100150cos6017500. 9某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为6

30、0和 30，第一排和最后一排的距离为106米( 如图所示 ) ，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50 秒，升旗手应以_( 米/ 秒) 的速度匀速升旗答案0.6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 42 页解析在 BCD中， BDC 45， CBD 30， CD 106，由正弦定理，得BCCDsin45sin30 203；在 Rt ABC中， AB BCsin60 2033230( 米) 所以升旗速度vABt30500.6( 米/ 秒 ) 三、解答题10如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75，距离为x6

31、n mile ，在 A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东x0.求： (1)A 处与 D处的距离；(2) 灯塔 C与 D处的距离解析(1) 在 ABD中， ADB 60， B45，由正弦定理得ADsin BABsin ADB，即 AD ABsinBsin ADB126223224(n mile)(2) 在 ACD中， AC 83， CAD 30，由余弦定理得CD2AD2AC22AD ACcos CAD 242(83)222483cos30192. 即 CD 8314(n mile)因此 A处与 D处的距离为24 n mile

32、，灯塔 C与 D处的距离约为14 n mile. x. 如图，港口B 在港口 O正东方 x0 海里处，小岛C在港口O北偏东60方向、港口B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 42 页北偏西 30方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的 OA方向以20 海里 /时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B 出发，以60 海里 / 时的速度驶向小岛C，在 C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1 小时，问快艇驶离港口 B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B 后，最少要经过x

33、 小时，在OA上点 D 处与考察船相遇，连结 CD ，则快艇沿线段BC 、 CD航行在 OBC中， BOC 30， CBO 60， BCO 90. 又 BO x0，BC 60，OC 603. 快艇从港口B到小岛 C需要 1 小时在 OCD 中， COD 30， OD 20 x，CD 60(x 2) 由余弦定理，得CD2OD2OC22OD OC cos COD. 602(x 2)2(20 x)2(603)2220 x603cos30.解得 x3 或 x38. x1， x3. 答：快艇驶离港口B后最少要经过3 小时才能和考察船相遇x. 如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(3 3) 海里的两

34、个观测点现位于A 点北偏东 45， B点北偏西60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60且与B点相距 203海里的 C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里 / 小时，该救援船到达 D点需要多长时间？答案救援船到达D点需要 1 小时解析由题意知AB 5(3 3) 海里，DBA 906030，DAB 904545， ADB 180(4530) 105，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 42 页在 DAB中，由正弦定理得DBsin DABABsin ADB，DBAB sin DABsin ADB3si

35、n105 3sin45 cos60cos45sin60 533312103( 海里 ) ，又 DBC DBA ABC 30(9060) 60，BC 203( 海里 ) ，在 DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD BC cos DBC 300 x00210320312900，CD 30( 海里 ) ，则需要的时间t 30301( 小时 ) 答：救援船到达D点需要 1 小时注：如果认定DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD ，同样给分教师备选题1. (南京第一次调研) 如图，海岸线上有相距5 海里的两座灯塔A，B，灯塔 B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏

36、西75方向，与A 相距 32海里的 D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距 5 海里的 C处则两艘轮船之间的距离为 _海里答案13 解析连接AC， AB BC ， ABC 60， AC5；在 ACD中， AD 32，AC5， DAC 45，由余弦定理得CD 13. 2甲船在A 处观察乙船在它的北偏东60的 B 处，此时两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 42 页解析如图所示， AC为甲船的航行路线

37、，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东 的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是3v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t ，则 BC vt ，AC 3vt. ABC x0.由余弦定理可知AC2AB2BC22AB BC cosx0，即 3v2t2a2v2t2avt. 所以 2v2t2avt a20. 解得 t1av，t2a2v( 舍去 ) 所以 BCa， CAB 30， 30.即甲船应取北偏东30的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a 海里3某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西 30且与该港口相距20 海

38、里的 A 处，并正以30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v 海里 / 小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2) 为保证小艇在30 分钟内 ( 含 30 分钟 ) 能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3) 是否存在v，使得小艇以v 海里 / 小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1) 设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S 900t2400900t2600t 400 132 300，故当 t 13时

39、， Smin103，v10313303. 即小艇以303海里 / 小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 42 页(2) 设小艇与轮船在B处相遇，如图所示由题意可得： (vt)2 202(30t)222030t cos(9030) ，化简得：v2400t2600t900 400(1t34)2675. 由于 00) ，于是 400u2600u900 v2 0.(*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*) 应有两个不等正根，即：6002v2，900v20，解得 153u|

40、BC| B.AD与BC同向，且 |AD|BC| C.AD与BC反向，且 |AD|BC| D.ADBD答案A 解析ADABBCCD 2a3b( 8a2b) ( 6a4b) xa3b，BC 8a2b， AD32BC，AD与BC同向，且 |AD| 32|BC|. |AD|BC|. 故选 A. 5已知 P，A，B，C是平面内四点，且PAPBPCAC，那么一定有( ) A.PB2CPB.CP2PBC.AP2PB D.PB2AP答案D 解析由题意得 PAPB PCPCPA，即 PB 2PA2AP，选 D. 6已知ABC和点 M满足 MAMBMC0. 若存在实数m使得 ABACmAM成立，则m( ) A 2

41、 B3 C 4 D5 答案B 解析由 MAMB MC0 得点M 是 ABC 的重心，可知AM13(ABAC) ，ABAC3AM，则 m 3，选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 42 页7设点M是线段BC的中点，点A 在直线 BC外， BC216，|ABAC| |ABAC| ，则|AM| ( ) A 8 B4 C 2 D1 答案C 解析由 |ABAC| |ABAC| 可知， AB AC，则 AM为 Rt ABC斜边 BC上的中线，因此|AM| 12|BC| 2，选 C. 二、填空题8设e 是与向量 AB共线的单位向

42、量，AB 3e，又向量 BC 5e，若 ABAC，则 _. 答案32解析ACABBC3e 5e 2e 由AB AC得 3e ( 2)e329已知O 为 ABC 内一点，且OA OC2OB 0，则 AOC 与 ABC 的面积之比是_答案解析如图，取AC中点 D. OAOC 2ODODBOO为 BD中点，面积比为高之比10已知a，b 是不共线的向量，若AB1a b，AC a2b( 1，2R)，则 A、B、C三点共线的充要条件为_答案1210 解析A、B、C三点共线 ? ABAC? 12 1 1 0? 121，故选 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

43、- - -第 29 页，共 42 页x已知 |a| 1， |b| 2，且 ab 与 a 垂直，则a 与 b 的夹角为 _答案45解析如右图所示，作向量OAa，OBb，则 BAab. OA 1，OB 2，OA BA ， cosAOB 22， AOB 45，故 a 与 b 的夹角为45.x已知 ABC 中，点D 在 BC 边上，且 CD2DB， CD rAB sAC，则r s 的值是_答案0 解析CDAD AC，DBABAD. CDABDBACAB12CDAC. 32CDABAC，CD23AB23AC. 又CDrABsAC， r 23，s23，r s 0. 13在平行四边形ABCD 中， E和 F

44、分别是边CD和 BC的中点若 ACAEAF，其中 、R，则 _. 答案43解析ACABAD，AE12ABAD，AFAB12AD，于是得121121，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 42 页 43三、解答题14已知：任意四边形ABCD中， E、F 分别是AD、BC 的中点，求证：EF12(ABDC) 证明如图所示， E、F 是 AD与 BC的中点， EA ED0，FBFC0，又 AB BFFEEA0，EFABBFEA，同理EFEDDCCF，由得， 2EFABDC(EAED) (BFCF) ABDC，EF12(ABDC

45、) 15如右图所示，已知 AP43AB，AQ13AB，用 OA、OB表示 OP，求 OP. 答案13OA43OB解析OPOAAPOA43ABOA43(OBOA) 43OB13OA. 16设 a、b 是不共线的两个非零向量，(1) 若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证： A、B、C三点共线；(2) 若 8akb 与 ka2b 共线，求实数k 的值解析(1) AB (3a b) (2a b) a 2b，而BC(a 3b) (3a b) 2a4b 2AB，AB与BC共线，且有公共端点B，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共

46、42 页A、B、 C三点共线(2) 8akb 与 ka2b 共线，存在实数，使得(8a kb) (ka 2b) ? (8 k)a (k 2)b 0，a 与 b 不共线，8k0k20? 822? 2，k2 4.拓展练习自助餐1如图， D，E， F分别是 ABC的边 AB ，BC ，CA的中点，则 ( ) A.ADBECF0 B.BDCFDF0 C.ADCECF0 D.BDBEFC0 答案A 解析 AD12AB，BE12BC，CF12CA， ADBECF12(ABBCCA) 12(ACCA)120 0，故选 A. 2设 D、E、 F 分别是 ABC的三边 BC 、CA、AB上的点，且 DC2BD，

47、CE 2EA，AF2FB，则 ADBECF与BC( ) A 反向平行B同向平行C 互相垂直 D既不平行也不垂直答案A 解析求解本题应先建立向量ADBE CF与BC的线性关系，再根据平面向量的平行和垂直的充要条件进行判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 42 页由题意，得 DCDAAC， BDBAAD. 又DC2BD，所以 DAAC2(BAAD) 所以 AD13AC23AB. 同理，得 BE13BC23BA， CF13CA23CB. 将以上三式相加，得AD BECF13BC. 故选 A. 3已知四边形ABCD是菱形，点P在

48、对角线AC上( 不包括端点A， C)的充要条件是AP(ABAD) ，则 的取值范围是 ( ) A (0,1) B ( 1,0) C (0，22) D( 22，0) 答案A 解析如图，点P在对角线AC上( 不包括端点A，C)，AP AC(ABAD) ，由 AP与AC同向知， 0；又|AP|AC| APAC|AP|AC|1，(0,1) ，反之亦然4设 M 、N、P是 ABC三边上的点，它们使BM13BC，CN13CA，AP13AB，若 ABa，AC b，试用 a， b 将MN、NP、PM表示出来分析取 a、 b 作为一组基底，根据向量的线性运算表示出向量MN、NP、PM即可解析如下图所示，MNCN

49、 CM13AC23CB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 42 页13AC23(AB AC) 13AC23AB13b23a. 同理可得 NP13a23b，PM MP (MNNP)13a13b. 高考数学（理）黄金配套练习第五章 5.2 第 2 课时一、选择题1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A e1 (0,0) ，e2(1 ， 2) B e1 ( 1,2) ，e2(5, 7) C e1 (3,5) ，e2(6,10) D e1 (2 ， 3) ，e2(12，34) 答案B 2 ?ABCD 中

50、， AD(3,7) ，AB( 2,3) ，对称中心为O ，则 CO等于 ( ) A ( 12，5) B( 12， 5) C (12， 5) D(12，5) 答案B 解析CO12AC12(ADAB) 12(1,10) ( 12， 5) 3设a、b 是不共线的两个非零向量，已知AB 2apb，BCa b，CDa2b. 若A、B、D三点共线，则p 的值为 ( ) A 1 B2 C 2 D 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 42 页答案D 解析本题考查两向量共线的充要条件BDBC CD2ab，AB2a pb，由A 、 B、D