2022年高二数学讲义：微积分初步 .pdf

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1、咨询：82449062，82449060Page 1 of 43微积分初步【考纲要求】1. 了解导数概念的实际背景. 2. 理解导数的几何意义. 3. 能根据导数定义，求函数yc，yx，2yx，1yx，yx(c为常数 ) 的导数 . 4. 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数( 仅限于形如()f axb的复合函数 ) 的导数 . 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：( )0c( C 为常数 ).1+()(Q )xx.(sin)cosxx.(cos )sinxx.(e )exx. ()ln(0 xxaaa a，且1)a.1(ln

2、)xx.1(log)(0lnaxaxa，且1)a. 常用的导数运算法则：法则 1：( )( )( )( )f xg xfxg x. 法则 2：( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf xgx. 法则 3：2( )( ) ( )( )( )( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xgx. 5. 了解函数单调性和导数的关系. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间( 其中多项式函数一般不超过三次 ). 6. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ). 会求闭区间上函数的

3、最大值、最小值( 其中多项式函数一般不超过三次). 7. 会利用导数解决某些实际问题. 8. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 9. 了解微积分基本定理的含义. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 2 of 43【备考建议】1. 导数是中学数学中重要的知识. 由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数的问题提供了一般性的方法，运用导数还可以简捷地解决一些实际问题. 本章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，因此要熟练掌握函数的求导法则及公式，会

4、判断或讨论函数的单调性，会函数的极值与最值，会用导数解决一些实际问题. 2. 定积分也是微积分的核心概念之一. 通过定积分可以解决一些简单的几何和物理问题，还要体会导数和定积分之间的内在联系，体会导数与定积分的思想方法. 3. 在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法和初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 第 01 讲：导数的概念及运算【基础知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：函数( )f x从1x到2x的平均变化率为_，函数( )fx在0 x处的瞬时变化率为 _. 2. 导数的概念： 函数( )f x在0 x处的导数就是( )f x在0 xx处的 _， 记作0()

5、fx或0|xxy， 即0()fx0000()()limlimxxf xxf xyxx. 3. 导数的几何意义：函数( )yf x在点00(,()xf x处的导数的几何意义就是曲线( )yf x在点00(,()xf x处的 _的斜率，相应的切线的方程为_. 4. 几种常见函数的求导公式：( )c_.()x_(Q ).(sin)x_.(cos )x_. (e )x_.()xa_.(ln)x_.(log)ax_. 5. 导数的运算法则：( )( )f xg x_.( )cfx_(c为常数 ).( )( )f xg x_.( )( )f xg x_. 精选学习资料 - - - - - - - - -

6、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 3 of 43【规律总结】1. 函数的导数的实质是极限问题，是函数平均变化率的极限. 2. 求导数时，先化简后求导是基本方法，这样可以减少计算量. 3. 复合函数求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导. 每次求导都针对最外层，直到求导最外层能直接使用基本公式为止. 【例题精讲】【例 01】已知( )f x在0 xx处可导，且0()2fx，则000()()lim2kf xf xkk_. 【拓展 1】已知( )f x在0 xx处可导，且0()5fx，求000()()lim2xf xx

7、f xxx. 【拓展2】假设函数( )yf x在区间(a，)b内可导，且0(xa，)b，则000()()limhf xhf xhh_. 【拓展 3】 已知函数2( )f xxx的图象上一点( 1，2)及邻近一点( 1x，2( )f x， 则( )f xx_. 【拓展 4】( )yf x在1x处可导，又(1)3f，(1)2f，求221( )(1)lim1xfxfx. 【拓展 5】如下列图，( )f x的图象是折线段ABC，A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，则(0)ff_，请你计算0(1)(1)limxfxfx_.( 用数字作答 ) 2 B C A y x 1 O 3 4

8、5 6 1 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 4 of 43【例 02】 求以下函数的导数： ( 1)2(21)(31)yxx.( 2)11xyx.( 3)3 e2xxxy.( 4)2ln1xyx. 【例 03】设0( )sinfxx，10( )( )fxfx，21( )( )fxfx，1( )( )nnfxfx，Nn，则2010( )fx_. 【拓展】设函数cos3fxx(0). 假设fxfx是奇函数，则_. 【例 04】在高台跳水运动中，ts时运发动相对水面高度是2( )2

9、10h ttt( 单位 : m) 则运发动在1ts 时的瞬时速度为_. 【拓展】一个物体的运动方程为21stt，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3 秒末的瞬时速度为 _. 【例 05】曲线2xyx在点( 1，1)处的切线方程为_. 【拓展 1】假设曲线5lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_. 【拓展 2】求过曲线cosyx上的点P(3，12) 且与过这点的切线垂直的直线方程. 【拓展 3】曲线( )sin1f xxx在点(2，1)2处的切线与直线10axy垂直，则实数a_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

10、-第 4 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 5 of 43【拓展 4】已知直线1yx与曲线ln()yxa相切，则a的值为 _. 【拓展 5】已知函数( )lnf xx、21( )2g xxa(a为常数 ) ，直线l与函数( )fx、( )g x的图象都相切，且l与函数( )f x的图象的切点的横坐标为1，求直线l的方程及a的值 . 【拓展 6】点P在曲线4e1xy上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则的取值范围是 _. 【拓展 7】设0a，2( )f xaxbxc，曲线)(xfy在点0(P x，0()f x处切线的倾斜角的取值范围为0，4则P到曲线( )yf x对称

11、轴距离的取值范围为_. 【拓展 8】 假设曲线12yx在点(a，12)a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18， 则a_. 【拓展 9】设曲线e (0)xyx在点(M t，e )t处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为( )s t. ( 1) 求切线l的方程 . ( 2) 求( )s t的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 6 of 43【拓展 10】设函数1( )(f xaxaxb、Z)b，曲线( )yf x在点(2，(2)f处的切线方程为y=3( 1) 求( )f x的

12、解析式 . ( 2) 求证：函数( )yf x的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心. ( 3) 求证：曲线( )yf x上任一点的切线与直线x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值【拓展 11】对正整数n，设曲线)1(xxyn在2x处的切线与y轴交点的纵坐标为na ，则数列1nan的前n项和的公式是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 7 of 43第 02 讲：导数在研究函数中的应用【基础知识】1. 函数的单调性： 函数( )f x在某个

13、区间(a，)b内，假设( )0fx，则( )f x为_；假设( )0fx，则( )f x为_；假设( )0fx，则( )f x为 _. 2. 函数的极值：( 1) 函数( )yfx在xa的函数值比它在点xa附近其它点的函数值都小，( )0fa，而且在点xa附近的左侧 _， 右侧 _， 则点a叫作函数( )yf x的 _，( )f a叫作函数( )yf x的_. 函数( )yfx在xb的函数值比它在点xb附近其它点的函数值都大，( )0fb，而且在点xb附近的左侧 _， 右侧 _，则点b叫作函数( )yf x的_，( )f b叫作函数( )yf x的_. 极小值点、极大值点统称为_，极大值点极值

14、小统称为_. ( 2) 求函数( )yf x的极值的方法是：解方程0()0fx. 当0()0fx时，如果在0 x附近的左侧0()fx0，右侧0()0fx，那么0()fx是极大值；如果在0 x附近的左侧0()0fx，右侧0()0fx，那么0()f x是极小值 . 3. 求函数( )yf x在a，b上的最大值与最小值的步骤是：( 1) 求函数( )yf x在(a，)b内的极值 . ( 2) 将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( )f a、( )f b相比较，其中最大的一个是_，最小的一个是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

15、 7 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 8 of 43【规律总结】1. 利用导数判断函数单调性及单调性应注意的问题：( 1) 利用函数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间. ( 2) 注意在某一区间内( )0fx( 或( )0fx) 是函数( )f x在该区间上为增( 或减 ) 函数的充分条件. 例如3( )f xx在R上可导且单调递增，但0 x时( )0fx. 2. 求函数的极值的步骤: ( 1) 确定函数的定义区间，求导数( )fx. ( 2) 求方程( )0fx的根 . ( 3) 用函数的导数为0

16、 的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格. 检查( )fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么( )f x在这个根处取得极大值. 如果左负右正，那么( )f x在这个根处取得极小值. 如果左右不改变符号，那么( )fx在这个根处无极值. ( 4) 如果( )0fx的根0 xx的左右两侧，( )fx的符号不变，则0()f x不是极值 . 例如3( )f xx，有(0)0f，但0 x不是极值点 . ( 5)0()0fx是0 x为极值点的必要条件，并非充分条件. 3. 求函数最值的步骤：( 1) 求出( )f x在(a，)b上的极值 . ( 2) 求出端点函数值( )f a、

17、( )f b. ( 3) 比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 9 of 43【例题精讲】【例 01】21( )4f xxx的单调递增区间为_. 【拓展 1】函数3yxx的单调递增区间为_. 【拓展 2】已知32( )1f xxax在1，2上单调递减，则实数a的取值范围是_.【拓展 3】函数3( )f xxaxb在( 1，1)上为减函数，在(1，)上为增函数，求a、b的值 . 【拓展 4】如果函数3( )(f xxbx b为常数

18、) ，且( )f x在区间(0，1)上单调递增，方程( )0f x的根都在区间2，2内，则b的取值范围是_ _. 【拓展 5】( 2008 年全国高考试题) 已知函数32( )1f xxaxx，Ra. ( 1) 讨论函数( )f x的单调区间 . ( 2) 设函数( )f x在区间2(3，1)3内是减函数，求a的取值范围【例 02】 函数(1)yf x的图象关于点(1，0)对称，当(x，0)时( )( )0f xxfx成立 ( 其中( )fx是( )f x的导函数 ). 假设0.30.3(3)(3)af，b(log3)(flog 3)，3311(log)(log)99cf，则a、b、c的大小关

19、系是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 10 of 43【拓展】 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，2( )( )(1)0,0(0)xfxf xfxx，则不等式( )0f x的解集为 _. 【例 03】已知函数2( )ln(1)(0)2kf xxxxk. ( 1) 当=2 时，求曲线( )yf x在点 ( 1，(1)f) 处的切线方程. ( 2) 求() 的单调区间 . 【拓展 1】( 2010 年全国高考试题) 设函数2( )e1xf xxax. ( 1) 假设0a，求( )

20、f x的单调区间 . ( 2) 假设当0 x时( )0f x，求a的取值范围 . 【拓展 2】( 2009 年辽宁省高考试题) 已知函数21( )(1)ln2f xxaxax，1a. ( 1) 讨论函数( )f x的单调性 . ( 2) 证明：假设5a，则对任意1x、2(0 x，)，12xx，有1212()()1f xf xxx. kfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 11 of 43【例 04】试判断函数313yxx的极值 . 【拓展 1】函数32yxaxa在

21、(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是_. 【拓展 2】函数2lnyxx的极小值为 _. 【拓展 3】假设函数1( )cossin22f xmxx在x4处取得极值，则m_ _. 【拓展 4】已知函数32fxxaxbxc图象上的点(1P，2)处的切线方程为31yx( 1) 假设函数fx在2x时有极值，求fx的表达式 . ( 2) 函数fx在区间 2，0上单调递增，求实数b的取值范围 . 【拓展 5】设函数dcxbxaxxfy23)(的图象与y轴的交点为P点，曲线在点P处的切线方程为0412yx. 假设函数在2x处取得极值0，试求函数的单调区间. 精选学习资料 - - - - - - - -

22、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 12 of 43【例 05】 ( 2010 年天津市高考试题) 已知函数( )e(R)xf xxx. ( 1) 求函数( )f x的单调区间和极值. ( 2) 假设函数( )yg x的图象与函数( )yf x的图象关于直线1x对称，求证：当1x时( )f x( )g x. ( 3) 如果12xx且12()()f xfx，求证122xx. 【例 06】 ( 2009 年天津市高考试题) 已知函数22( )(23 )e (R)xf xxaxaax，其中Ra. ( 1) 当0a时，求曲线( )yf x在点

23、(1，(1)f处的切线的斜率.( 2) 当23a时，求函数( )f x的单调区间与极值.【例 07】 ( 2009 年全国高考试题) 设函数32( )33f xxbxcx在有两个极值点1x、2x，且1 1x，0，21x，2. ( 1) 求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，)c的区域 . ( 2) 求证110( )2f x. bcO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 13 of 43【例 08】函数( )lnf xxx在区间(0，e

24、上的最大值为_. 【拓展 1】函数exxy在0，2上的最大值为_. 【拓展 2】函数32( )26f xxxm在区间 2，2上的最大值为3，则( )f x在区间 2，2上的最小值为_. 【拓展 3】已知( )lnf xaxx，(0 x，e，ln( )xg xx，其中e是自然常数，Ra. ( 1) 讨论1a时，( )f x的单调性、极值. ( 2) 是否存在实数a，使( )f x的最小值是3，假设存在，求出a的值 . 假设不存在，说明理由. 【拓展 4】设函数( )lnln(2)(0)f xxxax a( 1) 当1a时，求( )f x的单调区间 . ( 2) 假设( )f x在0,1上的最大值

25、为12，求a的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 14 of 43【例 09】已知函数432( )2f xxaxxb(Rx) ，其中a、Rb( 1) 当103a时，讨论函数( )f x的单调性 . ( 2) 假设函数( )f x仅在0 x处有极值，求a的取值范围 . ( 3) 假设对于任意的a 2，2，不等式1fx在 1，1上恒成立，求b的取值范围【拓展 1】已知函数( )lnf xx，( )(0)ag xax，设( )( )( )F xf xg x( 1) 求函数( )F x的单调区间

26、 . ( 2) 假设以函数( )(0yF xx，3)图象上任意一点0(P x，0)y为切点的切线的斜率12k恒成立，求实数a的最小值 . 【拓展 2】已知函数3( )(0)f xaxcxd a是R上的奇函数，当1x时( )f x取得极值2. ( 1) 求( )f x的单调区间和极大值. ( 2) 求证：对任意1x、2x( 1，1)，不等式12|()() | 4f xf x恒成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 15 of 43【拓展 3】设2( )e (1)

27、xf xaxx，且曲线( )yf x在1x处的切线与x轴平行 . (1) 求a的值并讨论( )yf x的单调性 . (2) 证明：当0，2时，|(cos )(sin) | 2ff恒成立 . 【拓展 4】已知函数xxaxfln)21()(2.(Ra) (1) 当1a时，求)(xf在区间 1，e 上的最大值和最小值. (2) 假设在区间 ( 1，+ ) 上，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方，求a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 16 of 43第 03 讲：生活中的优化问题举

28、例【基础知识】1. 在生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题成为_ _. 2. 求实际问题的最值，主要步骤如下：( 1) 建立实际问题的数学模型，写出函数关系式( )yf x. ( 2) 求方程( )0fx的解，即极值点. ( 3) 比较区间端点值与极值，确定最值. 【规律总结】求实际问题的最大( 小 ) 值的主要步骤如下：( 1) 建立实际问题的数学模型，写出函数关系式( )yf x. ( 2) 求函数的导数( )fx，解方程( )0fx. ( 3) 比较区间端点值和使( )0fx的点的取值大小，最大( 小) 者为最大 ( 小) 值. 【例题精讲】【例 01】在边长为6

29、0cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起( 如图 ) ，做成一个无盖的方底箱子，当箱子容积最大时，箱底边长为 _ _. 【拓展 1】 建造一个长方体形状的仓库，内部高为3m， 长和宽的和为20m， 则仓库容积的最大值为_ _. 【拓展 2】如下列图，将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器. 当这个正六棱柱容器的底面边长为 _ _ 时其容积最大. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 1

30、7 of 43【拓展 3】一个无盖的圆柱形桶，其体积为为定值V，当用料最省时，圆柱底面的半径为_ _. 【拓展 4】要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为_ _. 【拓展 5】假设一个球的半径为r，作内接于该球的圆柱，则其侧面积的最大值为_ _. 【拓展 6】请您设计一个帐篷. 它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥( 如右图所示 ). 试问当帐篷的顶点O到底面中心1O的距离为 _ _ 时，帐篷的体积最大？【例02】某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，假设该商品零售价定为P元，则销售量Q( 单位：件) 与零售价P( 单位：元

31、) 有如下关系：28300170QPP.试计算该商品零售价定为多少时总利润L最大？并求出最利润. 【拓展 1】某公司生产某种产品，固定成本20000 元，每生产一单位产品成本增加100 元，已知总收益R与年产量x的关系是21400(0400)( )280000(400)xxxR xx，则总利润最大时，每年生产的厂品是_ _. O 1O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 18 of 43【拓展 2】某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200 元，如果生产出一件次品则损失100 元

32、. 已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系式是+3(N )432xpxx. ( 1) 将该厂的日盈利额T( 元) 表示为日产量x( 件 ) 的函数 . ( 2) 为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【拓展 3】水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位、年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量 ( 单位： 亿立方米 ) 关于t的函数关系式为124(1440)e50,010,( )4(10)(341)50,1012.xtttV tttt( 1) 该水库的蓄求量小于50 的时期称为枯水期. 以1iti表示第 1 月份 (1i，2， ，12) ，同一年内哪几个月份是枯

33、水期？( 2) 求一年内该水库的最大蓄水量( 取e2.7计算 ). 【例 03】一艘渔艇停泊在距岸9km，今需派人送信给距渔艇3 34km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km ，船速每小时4km . 问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 19 of 43【拓展】设工厂A到铁路线的垂直距离为20km ， 垂足为B. 铁路线上距离B为100km 处有一原料供应站C，现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站，再由车站D

34、向工厂修一条公路. 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3: 5，那么D应选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？【例 04】电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，电灯与点O的距离怎样可使点A处有最大的照度？(BAO，BAr照度与sin成正比，与2r成反比 ) 【拓展】 半径为 R、总质量为m 且质量均匀分布的细圆环上均匀地带有总电荷量为q 的正电荷， 轴线上什么位置电场强度最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 20 of 43【例 0

35、5】设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知32( )(0)T tatbtctd a，其中温度的单位是，时间的单位是小时中午12: 00 相应的0t，中午 12: 00 以后相应的t取正数，中午12: 00 以前相应的t取负数 ( 如早上 8：00 相应的4t，下午 16：00 相应的4t) 假设测得该物体在早上 8: 00 的温度为8，中午 12: 00 的温度为60，下午 13: 00 的温度为58，且已知该物体的温度早上 8: 00 与下午 16: 00 有相同的变化率. ( 1) 求该物体的温度T关于时间t的函数关系式. (2)该物体在上午10:00 到下午 14:00 这段时间中

36、(包括端点 )何时温度最高？最高温度是多少？【例 06】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元 . 该建筑物每年的能源消消耗用C( 单位：万元 ) 与隔热层厚度x( 单位：cm) 满足关系：( )(010)35kC xxx， 假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8 万元 . 设( )f x为隔热层建造费用与20 年的能源消消耗用之和. ( 1) 求k的值及( )f x的表达式 . ( 2) 隔热层修建多厚时，总费用( )f x到达最小，并求最小值. 精选学习资料 - - - - - -

37、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 21 of 43第 04 讲：定积分与微积分基本定理【基础知识】1. 定积分的概念：一般地，如果函数( )fx在区间a，b上连续，用分点011iiaxxxxnxb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间1ix，ix上任取一点(1ii，2，)n，作和式11()()nniiiibafxfn，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫作函数( )f x在区间a，b上的定积分，记作_ _ ，即1( )dlim()nbianibaf xxfn，a与b分别叫作 _ ，区间a

38、，b叫作 _，函数( )f x叫作被积函数，x叫作积分变量，( )dfxx叫作被积式 . 2.( )dbaf xx的几何意义：( 1) 当( )f x在区间a，b上大于 0 时，( )dbaf xx表示由直线 _和曲线( )yf x所围成的曲边梯形的面积.( 2) 当( )fx在区间a，b上小于 0时，( )dbaf xx表示由直线xa、()xb ab、0y和曲线( )yf x所围成的曲边梯形的面积的_. 3. 定积分的性质：( 1)( )dbakf xx _(k为常数 ). ( 2)12( )( )dbafxfxx_. ( 3)( )dbafxx_( 其中acb). 4. 微积分基本定理：一

39、般地， 如果( )f x是区间a，b上的连续函数， 并且( )( )Fxf x，那么( )dbaf xx( )( )F bF a. 这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿-莱布尼茨公式. 可把( )( )F bF a记成( ) |baF x，即( )dbaf xx_=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 22 of 43【规律总结】1. 用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足( )( )Fxf x的函数( )F x，即被积函数的原函数. 2. 在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先

40、画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上下限 . 3. 要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开来，定积分可正可负可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【例题精讲】【例 01】由直线12x、2x曲线1yx及x轴所围成的图形的面积为_. 【拓展 1】由抛物线2yxx、直线1x与x轴所围成的图形的面积为( ). A. 面积为 0B. 曲边梯形在x轴上方的的面积大于在x轴下方的的面积C. 曲边梯形在x轴上方的的面积小于在x轴下方的的面积D. 曲边梯形在x轴上方的的面积等于在x轴下方的的面积【拓展 2】从图示的长方形区域内任取一个点(M x，)y，则点M取自阴影部

41、分部分的概率为 _. 【拓展 3】( )0fx且( )yf x与xa、xb及x轴所围成图形的面积为S，则( )dbaf xx=_. 【拓展 4】曲线cos (0yxx3)2与坐标轴所围成的图形的面积为_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 23 of 43【拓展 5】已知函数sinyxx，x2，. ( 1) 求函数的值域. ( 2) 从函数图象上的点集向x轴作投影，求扫过区域的面积. 【拓展 6】求抛物线22yx与直线4yx所围成的平面图形的面积. 【拓展 7】由

42、曲线2yx、3yx围成的封闭图形面积为_. 【拓展 8】求曲线2yx、yx及2yx所围成的平面图形的面积. 【拓展 9】求由抛物线28 (0)yx y与直线6xy及0y所围成图形的面积. 【拓展 10】 设直线yax(1)a与抛物线2yx所围成的图形面积为S， 它们与直线1x围成的面积为T，假设UST到达最小值，求a 值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 24 of 43【拓展 11】设( )yf x是二次函数，方程( )0f x有两个相等的实根，且( )22fxx. ( 1) 求(

43、)yfx的表达式 . ( 2) 求( )yfx的图象与两坐标轴所围成图形的面积. ( 3) 假设直线(01)xtt把( )yf x的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值. 【拓展 12】 抛物线2yaxbx在第一象限内与直线4xy相切，此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S，求使S到达最大值的a、b的值并求maxS. 【拓展 13】已知函数3( )f xxx，其图象记为曲线C. ( 1) 求函数( )f x的单调区间 . ( 2) 对于任意非零实数1x， 曲线C与其在点11(P x，1()f x处的切线交于另一点22(Px，2()f x，曲线C与其在点22(Px，2()f x处的切线

44、交于另一点33(P x，3()f x，线段12PP、23P P与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为1S、2S，求证12SS为定值 . ( 3) 对于一般的三次函数32( )(0)g xaxbxcxd a，请给出类似于( 2) 的正确命题，并予以证明 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 25 of 43【拓展 14】已知二次函数2( )f xaxbxc，直线1l：2x，直线2l：28ytt( 其中02t，t为常数 ). 假设直线1l、2l与函数f( x) 的图象以

45、及1l、 y 轴与函数f( x) 的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示 . ( 1) 求a、b、c的值 . ( 2) 求阴影面积S 关于 t 的函数 S( t)的解析式 . ( 3) 假设( )6lng xxm，是否存在实数m 使得 y=f( x) 的图象与y=g( x) 的图象有且只有两个不同的交点？假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由. 【例 02】计算以下定积分：( 1)321(1)dxxx.( 2)520(325)dxxx. 【拓展 1】以下式子中正确的选项是_. ( )d( )dbaabf xxf xx( )d( )dbbaakfxxkf xx( )d( )d( )dbcb

46、aacf xxf xxf xx( )d( )dbbaaf xxkf xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 26 of 43【拓展 2】假设10(2)d2xkx，则k的值为 _. 【拓展 3】设20lg0( )3 d0axxf xxttx，假设(1)1ff，则a【拓展 4】94(1)dxxx=_. 【拓展 5】设函数2( )(0)f xaxc a，假设100( )d()f xxf x(001x) ，则0 x的值为 _. 【拓展 6】设2(01)( )2(12)xxf xxx则20( )f

47、x dx=_. 【拓展 7】10e dxmx与e11dnxx的大小关系为_. 【拓展 8】计算220sind2xx. 【拓展 9】以下积分正确的一个是( ). 2731d12xx1221edeexxxln 22116e (1e ) d3xxx22sind2x x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 27 of 43【例 03】试判断函数0( )(4)dxF xt tt在区间 1，5上的最值 . 【拓展】已知( )(124 )dxaf xtat，120( )( )3dF

48、 af xax，求函数( )F a的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 43 页高中数学专题讲座Page 28 of 43第 05 讲：定积分的简单应用【基础知识】1. 定积分在几何中的应用：利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出_以及积分的 _. 2. 变速直线的运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s， 等于其速度函数( )( ( )0)vv tv t在时间区间a，b上的定积分，即_. 3. 变力做功公式：如果物体在变力( )F x的作用下做直线运动，并且物体沿着

49、与( )F x相同的方向从xa移动到()xb ab，则力F所做的功为W_. 【答案】 1. 被积函数，上、下限. 2.( )basv t dt. 3. ( )baWF x dx. 【规律总结】1. 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围. 第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限. 第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置. 第四步：计算定积分，求出平面图形面积. 2. 假设做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为( )( ( )0)vv tv t，由定积分的物理意义可知，做变速运动物体在a，b时间内的路程s是曲边梯形 ( 阴影部分 ) 的面

50、积，即路程( )dbasv tt. 如果( )0v t()atb时，则路程( )dbasv tt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 43 页咨询：82449062，82449060Page 29 of 43【例题精讲】【例 01】汽车从A处起以速度0( )v tvat (m / s)( 其中0v、a均为正的常数) 开始减速行驶至B点停止，则A、B间的距离s_. 【拓展 1】汽车以54 km/ h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3 m/ s刹车，则从开始刹车到停车期间汽车走了多少千米？【拓展 2】列车以速