2022年高中数学重要知识点详细总结 .pdf

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1、高 考 复 习 科 目 ： 数 学高 中 数 学 总 复 习 (一 )复习内容：高中数学第一章-集合复习范围：第一章I. 基础知识要点1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A = B.如果CACBBA，那么，. 注： Z= 整数 （）Z =全体整数 （）已知集合S 中 A的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集 .（） （例： S=N ； A=N，则 CsA= 0）空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA=，CAB =CS（CAB ）

2、=D（注： CAB =） . 3. （x，y）| xy =0，x R，yR坐标轴上的点集 . （x，y）| xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）| xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. 例：1323yxyx解的集合 (2，1). 点集与数集的交集是. （例： A =(x，y)| y =x+1 B=y| y =x2+1 则 AB =）4. n 个元素的子集有2n个. n 个元素的真子集有2n1 个. n 个元素的非空真子集有2n2 个. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题 . 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题

3、逆否命题 . 例：若325baba或，则应是真命题 . 解：逆否： a = 2且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ，且21yx3yx. 解：逆否： x + y =3x = 1 或 y = 2. 21yx且3yx,故3yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件. 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若255xxx或，. II. 竞赛知识要点1. 集合的运算 . ）（）（）（）（CBACBACBACBA）（）（）（）（）（）（CABACBACABACBAABAAABAA）（，）（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

4、 -第 1 页，共 43 页De Morgan 公式CuA CuB =Cu（ A B ）CuA CuB = Cu（A B ）2. 容斥原理：对任意集合AB 有BABABA. CBACBCABACBACBA)(. 高 考 复 习 科 目 ： 数 学高 中 数 学 总 复 习 (二 )复习内容：高中数学第二章-函数复习范围：第二章I. 基础知识要点1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在），（），（

5、2110上为减函数 . 3. 反函数定义：只有满足yx唯一，函数)(xfy才有反函数 . 例：2xy无反函数 . 函数)( xfy的反函数记为)(1yfx，习惯上记为)(1xfy. 在同一坐标系，函数)(xfy与它的反函数)(1xfy的图象关于xy对称 . 注：一般地，3)f(x3)(xf1的反函数 . 3)(xf1是先f(x)的反函数，在左移三个单位.3)f(x是先左移三个单位，在)f(x的反函数 . 4. 单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. 如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. 设函数 y = f（x）定义域，值域分别为

6、X、Y. 如果 y = f（x）在 X上是增（减）函数，那么反函数)(1xfy在 Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数)(xfy有反函数，且baf)(，那么abf)(1. 这就是说点（ba,）在函数)(xfy图象上，那么点（ab,）在函数)(1xfy的图象上 . 5. 指数函数：xay（1,0 aa） ，定义域 R，值域为（, 0）. 当1a，指数函数：xay在定义域上为增函数；当10a，指数函数：xay在定义域上为减函数. 当1a时，xay的 a 值越大，越靠近y轴；当10a时，则相反 . 6. 对数函数： 如果 a （1,0 aa）的b次幂等于N，就

7、是Nab，数b就叫做以 a 为底的N的对数， 记作bNalog（1, 0 aa，负数和零没有对数） ；其中a叫底数，N叫真数 . 对数运算：yxO1y=axa1y=axa10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且.aa,a1,c0

8、,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21）注：当0,ba时，)log()log()log(baba. ：当0M时，取“ +” ，当n是偶数时且0M时，0nM，而0M，故取“” . 例如：xxxaaalog2(log2log2中 x0 而2log xa中 xR） . xay（1,0 aa）与xyalog互为反函数 . 当1a时，xyalog的 a 值越大，越靠近x轴；当10a时，则相反 . 7. 奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在)1, 1上不是偶函数 .

9、 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在) 1, 1上不是奇函数 . 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 8. 对称变换： y = f（x）（轴对称xfyyy =f（x）（轴对称xfyxy =f（x）（原点对称xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论 . 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函

10、数 f （x） = 1+xx1的定义域为A， 函数 ff （x） 的定义域是B， 则集合 A 与集合 B 之间的关系是. 解：)(xf的值域是)(xff的定义域B，)(xf的值域R，故RB，而 A1| xx，故AB. 22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 43 页11. 常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf. 证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxf

11、yfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12. 熟悉常用函数图象：例：|2xy| x关于y轴对称 .| 2|21xy|21xy| 2|21xyxyxy(0,1)xy(-2,1)|122|2xxy| y关于x轴对称 . xy熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域, 3|Rxxx，值域, 2|Ryyy值域x前的系数之比 .3. 数 列知识要点等差数列等比数列定义daann 1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaa

12、aaG（0,*knNkn）xy23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 43 页1. 等差、等比数列：看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n) bknan(kn,为常数 ). 看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0, 2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注： i. acb，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acba、b、c等比数列 . ii. acb（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. acb为 a、b、c 等比

13、数列的必要不充分. iv. acb且0ac为 a、b、c 等比数列的充要. 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个. nncqa(qc,为非零常数 ). 正数列 na成等比的充要条件是数列nxalog（1x）成等比数列 . 数列 na的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn注： danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差 na前 n 项和ndandBnAnSn221222d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d

14、不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111) 1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm精选学习资料 - - - - - - - - -

15、 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 43 页得到所求项数到代入12nn. 3. 常用公式： 1+2+3 +n =21nn61213212222nnnn2213213333nnn注：熟悉常用通项：9，99，999，110nna； 5，55，555，11095nna. 4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第n年产量为1)1 (nra，且过n年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每

16、月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1 (元. 因此，第二年年初可存款：)1(.)1 ()1()1 (101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra. 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a 元； m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率 . 1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5. 数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解. 具 体 步 骤 ： 写 出 特 征 方 程qPxx2（2x对 应2na， x 对 应1na） ， 并 设 二 根21, x

17、x 若21xx可 设nnnxcxca2211.，若21xx可设nnxncca121)(；由初始值21,aa确定21,cc. rPaann1（P、r 为常数）用转化等差， 等比数列；逐项选代；消去常数n 转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定 . 转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn. 选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211. 用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）

18、（. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页 由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，. 6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值 . 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0, 01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值 . 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,.21) 12,.(4

19、13 ,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数 . 高 考 复 习 科 目 ： 数 学高 中 数 学 总 复 习 （ 四 ）复习内容：高中数学第四章-三角函数复习范围：第四章I. 基础知识要点1. 与（0360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360| 终边在 x轴上的角的集合：Zkk,180| 终边在 y轴上的角的集合：Zkk,90180| 终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90| 终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180| 终边在xy轴上的角的集合：Zkk,4

20、5180| 若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360 若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 k2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1=0.01745 1=57.30 =5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx |)(xfcosxRxx |)(xftanxZkkxRxx,21|且yxSIN COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表

21、示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 43 页)(xfcot xZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且4. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot

22、)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxc o t)2c o t (t an)2t an (c o s)2c o s (s i n)2s i n (xxxxxxxxc o t)c o t (t an)t an (c o s)c o s (s i n)s i n (（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(c o ss i n22si nsinsincoscos)cos(2222s i n211c o s2s i nc o s2c o ssincoscossin)sin(2t an1t an22t a nsincoscossin)s

23、in(2c o s12s i ntantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan2公式组一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2

24、cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 43 页42675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan. 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1, 11, 1R R AA,周期性222奇偶性奇函数

25、偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上 为 减 函 数（Zk）2,12kk；上 为 增 函 数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1, kk上 为 减 函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. )sin(xy或)cos( xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期

26、为 2（2TT，如图，翻折无效）.)sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk） ， 对称中心 （0,k） ；)c o s (xy的对称轴方程是kx（Zk） ，对称中心（0,21k） ；)t a n (xy的对称中心（0,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称 当tan, 1tan)(2Zkk；tan, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)( xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

27、总结 - - - - - - -第 9 页，共 43 页 函数xytan在R上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysi

28、n为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图） ；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. II. 竞赛知识要点一、反三角函数. 1. 反三角函数：反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1 , 1x（一定要注明定义域，若,x，没有x与y一一对应，故xysin无反函数）注：xx)sin(arcsin，1 , 1x，2,2arcsin x. 反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()

29、arccos(，1 , 1x. 注： xx)cos(arccos，1 ,1x，, 0arccosx. xycos是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数 . 反正切函数：xyarctan，定义域),(，值域（2,2） ，xya r c t a n是奇函数，xxarctan)arctan(，x),(. 注：xx)tan(arctan，x),(. 反余切函数：xarcycot，定义域),(，值域（2,2） ，xa r cyc o t是非奇非偶 . kxarcxarc2)cot()cot(，x),(. 注： xxarc)cotcot(，x),(. xyarcsin与

30、)1arcsin(xy互为奇函数，xyarctan同理为奇而xyarccos 与xarcycot非奇非偶但满足 1 , 1,2)cot(cot 1 ,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx. 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集axsin的解集axcos的解集a1 a1 a=1 Zkakxx,arcsin2|a=1 Zkakxx,arccos2|a1 Zkakxxk,arcsin1|a1 Zkakxx,arccos|yxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

31、 - - - - - - -第 10 页，共 43 页axtan的解集：Zkakxx,arctan|axcot的解集：Zkakxx,cotarc|二、三角恒等式. 组一组二nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三三角函数不等式xsin x )2, 0(,tanxxxxxfsin)(

32、在), 0(上是减函数若CBA，则CxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222高 考 复 习 科 目 ： 数 学高 中 数 学 总 复 习 （ 五 ）复习内容：高中数学第五章-平面向量复习范围：第五章1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：若ba,为单位向量，则ba. （） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. 若ba，则ab. （）2. a=aaaababa设Ryxbyxa,22112121,yyxxba2121,yyxxba21, yxa2121yyxxba2121yxa（向量的模，针对向量坐标求模）平面向量的数量积：cosbabaabbabababac

33、bcacba注意：cbacba不一定成立；cbbaca. 向量无大小（ “大于”、 “小于”对向量无意义），向量的模有大小. 长度为0 的向量叫零向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00. cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页若有一个三角形ABC，则0；此结论可推广到n 边形 . 若anam（Rnm,） ，则有nm. （） 当a等

34、于0时，0anam，而nm,不一定相等 . aa=2| a，| a=2a（针对向量非坐标求模），|ba|ba. 当0a时，由0ba不能推出0b，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab=0. 若ab，bc，则ac（）当b等于0时，不成立 . 3. 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ab（平行向量或共线向量）. 当a, 0与b共线同向：当,0a与b共线反向；当b则为0, 0与任何向量共线. 注意：若ba,共线，则ba（）若c是a的投影，夹角为，则cacos，cacos（）设a=11, yx，22, yxbab01221yxyxbababaab001221yyxxba设33

35、2211,yxCyxByxA，则 A、B、C三点共线=（0）（1212,yyxx）=（1313,yyxx） （0）（12xx） （13yy）=（13xx） （12yy）两个向量a、b的夹角公式：222221212121cosyxyxyyxx线段的定比分点公式：（0 和1）设P1P=PP2（或P2P=1P1P） ，且21,PPP的坐标分别是),(),( ,2211yxyxyx）（，则推广 1：当1时，得线段21PP的中点公式：推广 2：MBAM则1PBPAPM（对应终点向量）. 三角形重心坐标公式：ABC的顶点332211,yxCyxByxA，重心坐标yxG,：注意：在 ABC中，若 0 为重心

36、，则0OCOBOA，这是充要条件. 平移公式：若点Pyx,按向量a=kh,平移到 P,yx，则kyyhxx4. 正弦定理：设ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则RCcBbAa2sinsinsin. 33321321yyyyxxxx222121xxxyyy112121xxxyyyABPM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页余弦定理：CababcBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222正切定理：2tan2tanBABAbaba三角形面积计算公式：设 ABC的三边为a，b，c，其高

37、分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r. S=1/2aha=1/2bhb=1/2chc S=Pr S=abc/4R S=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA S=cPbPaPP海伦公式 S=1/2（ b+c-a）ra如下图=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb注：到三角形三边的距离相等的点有4 个，一个是内心，其余3 个是旁心 . 如图：图 1 中的 I 为 SABC的内心，S=Pr 图 2 中的 I 为 SABC的一个旁心， S=1/2（b+c-a）ra图1图2图3图4附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角

38、形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 已知 O 是 ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c 注： s 为 ABC的半周长 ,即2cba 则： AE=as=1/2（b+c-a）BN=bs=1/2（a+c-b）FC=cs=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt ABC，c 为斜边，则内切圆半径r=cbaabcba2（如图 3）. 在 ABC中，有下列等式成立CBACBAtantantanta

39、ntantan. 证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！在 ABC中， D 是 BC上任意一点，则DCBDBCBCABBDACAD222. 证明：在 ABCD中，由余弦定理，有BBDABBDABADcos2222ABCOabcIABCDEFIABCDEFrararabcaabcACBNEFDACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 43 页在 ABC中，由余弦定理有BCABACBCABB2cos222，代入，化简可得，DCBDBCBCABBDACAD222（斯德瓦定

40、理）若 AD 是 BC上的中线，2222221acbma；若 AD 是 A 的平分线，appbccbta2，其中 p为半周长；若 AD 是 BC上的高，cpbpappaha2，其中 p为半周长 . ABC的判定：222bac ABC为直角A + B =22c22baABC为钝角A + B22c22baABC为锐角A + B2附：证明：abcbaC2cos222，得在钝角ABC中，222222, 00coscbacbaC平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22222bababa6. 不 等 式知识要点1. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：2221122

41、abababab（当 a = b 时取等）特别地，222()22ababab（当 a = b 时，222()22ababab）),(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式：22122221).(1.nnaaanaaa含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：3322aba bab3332223()()abcabcabc abcabacbc3333abcabc（等式即可成立0cba，时取等或0cbacba） ；33abcabc33abcabc3333abc2)(31cbaacbaab（时取等cba）绝对值不等式：图 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

42、纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 43 页123123(0)aaaaaaababab ab时, 取等算术平均几何平均（a1、a2 an为正数）：1212nnnaaaa aan（a1=a2 =an时取等）柯西不等式：设),2 , 1(,niRbaii则)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa等号成立当且仅当nnbababa2211时成立 .（约定0ia时，0ib）例如：22222()()()acbdabcd. 常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnn11111(1)121nnnnnnnnnn2. 常用不等式

43、的解法举例（x 为正数）：2311 24(1)2 (1)(1)( )22 327xxxxx2222232(1)(1)1 242 3(1)( )22 3279xxxyxxyy类似于22sincossin (1 sin)yxxxx111| |()2xxxxxx与同号，故取等7. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程 . 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800. 注：当90或12xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率

44、外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(ba， 即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时，直线方程是：1byax. 注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线 . 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 43 页对

45、应的直线也会变化. 当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束 . 当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线. 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“ 前提 ” 都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在y轴上的纵截距是21,bb，则1l212kkl，且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l. 两条直线垂直：两条直

46、线垂直的条件： 设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在 . 0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在 . （即01221BABA是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线1l到2l的角（方向角） ；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是), 0(，当90时21121tankkkk. 两条相交直线1l与2l的夹角： 两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121ta

47、nkkkk. 5. 过 两 直 线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的 交 点 的 直 线 系 方 程(0)(222111CyBxACyBxA为 参 数 ，0222CyBxA不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd. 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd. 7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直

48、线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x 2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程 . 1. 曲线与方程：在

49、直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 43 页曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系， 曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,

50、y)线 C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 注：特殊圆的方程： 与x轴相切的圆方程222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心 与y轴相切的圆方程222)()(abyax),(),(,babaar或圆心 与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax),(,aaar圆心3. 圆的一般方程：022FEyDxyx. 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示