2022年高中数学立体几何详细教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载【中学数学教案】立体几何教案一，空间直线与直线的关系a ，相交b ，平行c ，异面a , 相交直线b, 平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行c, 异面直线：1，求异面直线所成角问题注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角异面直线所成角的范围9000,平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角例：正方体DCBAABCD1111中， E，F 分别是C11C和BB中点，则直线AE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 36 页学习必备欢迎下载和 BF 所成角的余弦值补形法补形：

2、底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体例 ： 在 直 三 棱 柱ABCCBA111中 ，90BCA， 点FD11,分 别 是CABA1111,中点， BC=CA=CC1，则F11A与DB所成角的余弦值A 、1030 B、21 C、1530 D、10152，求异面直线之间的距离问题和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。二，空间直线和平面关系 a , 直线与平面平行 b , 直线与平面垂直 c , 直线与平面斜交射影定理和三垂线定理a, 线面平行 1， 判定定理：若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平

3、行。 2， 性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知平面的交线必和这条直线平行。b, 线面垂直 1， 判定定理： I, 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 II, 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。 2， 性质定理： I ，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 36 页学习必备欢迎下载 II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。 c, 射影定理 1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线

4、段也较长。 2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。 3，垂线段比任何一条斜线段都短。d, 三垂线定理 1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。 2，平面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。三，空间平面和平面的关系 a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交a , 面面平行 1， 判定定理： I ， 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 II， 垂直于同一条直线的两个平面平行。 III 如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平行，那么这两个平面平行。 2 ， 性

5、质定理： I ， 如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平行。 II， 夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。 III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平面也和这条直线垂直。b, 面面垂直 1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 36 页学习必备欢迎下载 2，判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 3，性质定理：I ，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直

6、于另一个平面。 II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。 III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。c, 二面角定义： 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。空间直线，平面的做题方法。一、空间平行关系转化图及相关定理I，线面平行的判定方法平行关系转画图行利用面面平行证线面平行利

7、用线线平行证线面平向量法 （后面讲）线面平行定义 :直线与平面没有公共点II ，线线平行关系的判定线线平行公理平行线线平行性质定理线面平行判定定理线面平行线面平行基本性质面面平行判定定理面面平行面面平行面面平行判定定理推论面面平行性质定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 36 页学习必备欢迎下载常见的线线平行的判断方法有平行关系转画图从面面平行到线面平行从线面平行到线线平行平行公理三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分利用平行线分线段成

8、比例定理推论找平行线平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例向量法 （后面讲）垂直于同一平面的两条直线平行例 如图所示：已知E，F，G，M 分别是四面体的棱AD ， CD，BD ，BC 的中点，求证：AM| 面 EFG 设计说明：可以通过面面平行证线面平行例 已知正方体ABCD-DCBA1111，棱长为 a,E,F 分别在BA1，BD 上，且BFEB1A B C D E DEBC BCDEABEAACDA注：反之任取一组比例式可推知DEBC A B C D E DEBC ECAEDBADBCDEACAEABAD注：反之任取一组比例式可推得DEBC N G E N A C

9、 M B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 36 页学习必备欢迎下载求证： EF|平面BCBC11法一：法二：III 面面平行关系的判定面面平行判定方法平行关系转画图行利用线线平行证面面平行利用线面平行证面面平向量法（后面讲）垂直于同一直线的两个平面平行面面平行的定义：两个平面没有公共点例 三棱柱 ABC-CBA111，D 是 BC 上一点， 且BA1|平面DAC1，D1是CB11中点，求证：平面DAB11|平面DAC1例1如 图 所 示 正 方 体ABCD-DCBA1111的 棱 长 都 是a,M,N分 别 是 下 底

10、面 棱CBBA1111,A D1B1C1A1E C D B M F 本题证明从线线平行到线面平行。在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论H E F G C D B D1C1B1A1A 法二也是从线线平行到线面平行，做平行线构造平行四边形证线线平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 36 页学习必备欢迎下载的中点， P 是上底面棱AD 上一点， AP=3a，过 P， M，N 的平面交上底面于P，Q，Q 在CD 上，则 PQ= 答案：a322二 ，空间垂直关系转化图及相关定理典型例题I ， 线面垂直的判定与性质线面垂直与面

11、面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。线线垂直的判定方法空间线面垂直证线线垂直利用三垂线定理向量法利用勾股定理算垂直线面垂直的判定方法空间垂直关系转化图直利用面面垂直证线面垂直利用线线垂直证线面垂向量法例 1 如图所示，AB圆 O的直径，C为圆 O上一点，ABC面AP，BPAE于 E，CPAF于 F，求证：AEFBP平面D C B A D1C1B1A1P N M Q 线线垂直线面垂直定义线面垂直的判定定理线面垂直面面垂直的性质定理面面垂直的判定定理面面垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 36 页学习必备

12、欢迎下载练习：如图已知 PA垂直于矩形ABCD 所在的平面， M ， N分别是 AB ， PC的中点，若45PDA求证：PCD面MN例 2、直三棱柱ABCCBA111中， M 为 AC 中点求证：BMC11平面CA2 2 2 C B A C1B1A1C F E O B A P 本题通过线线垂直证明线面垂直，在找线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质D C Q N M B A P 提示：取PD 中点 Q，证 AQ 与面PCD 垂直， 从而利用 “线面垂直的性质定理”证MN 与面 PCD 垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

13、 8 页，共 36 页学习必备欢迎下载设计说明：牢牢把握直（正）棱柱， 正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点练习：如图所示，直三棱柱ABC-CBA111中，CACB1111，BAAC11，M ，N是BA11，AB的中点，求证 :BACABM111面求证：AMBA1求证：平面CNB11面CAM练习：如图，在直三棱柱ABC-CBA111中， AB=BC=BB1，D为 AC的中点求证 :BD|CA11面B若BDAAC11面求证：ABCB1111AB面在的条件下，设AB=1 ，求三棱

14、锥B-DCA11的体积II ，面面垂直的判定与性质面面垂直的判定方法空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直向量法例 1 如图，ABC为正三角形，ABC平面EC，BD|CE，且 CE=CA=2BD，M是 EA的中点，求证： DE=DA 平面 BDM 平面 ECA 平面 DEA面 ECA N M C B A C1B1A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 36 页学习必备欢迎下载例 2 已知BCD中，90BCD，BC=CD=1 ，BCD面AB，60ADB，E，F分别是 AC ，AD上动点，且10ADBFACAE求证：不论为何

15、值时，总有平面BEF面 ABC 当为何值时，平面BEF面 ACD 第二问是存在性问题当 BEF面 ACD时由一问可知ABC面EF又ABCBEBEEFBEF面 ACD ，BEFBEEFACDBEF面面ACDBE面ACDACACBE利用射影定理求AE从而求设计说明：本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法练习： 1、如图，在矩形ABCD 中， AB=2BC ，P，Q分别为线段AB ，CD的中点， EP面 ABCD 求证： DP面 EPC 问在 EP上是否存在F，使平面AFD面 BFC C E A B D M 取 AC 中

16、点 N,证明 DN|BN 再证 BN面 ECA ，利用线面垂直的性质定理知DM面 ECA 最后利用线面垂直证面面垂直C B F E A D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 36 页学习必备欢迎下载2、如图所示在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是60DAB，且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD 若 G为 AD的中点，求证：PAD面BG求证：PBAD若 E 为 BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面ABCD面DEF，并证明你的结论分析： 问题是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻

17、找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论1、 如图所示， 在四棱柱ABCD-DCBA1111中，已知 DC=DD1=2AD=2AB ， ADDC ， AB|DC 求证 :CDAC11设 E是 DC上一点，试确定E的位置，使BD|A11面ED，并说明理由一、折叠问题例如图，四边形ABCD 中， AC|BC，AD=AB ，45BCD，90BAD，将ABD沿Q C D P B A E 问题利用线线垂直证线面垂直 ， 在 寻 找 线 线 垂 直 条 件ACDP时采用“算垂直”的方法D1C1B1A1C B A D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

18、- - -第 11 页，共 36 页学习必备欢迎下载对角线 BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD面 BCD 求证：平面PDC面PBC在折叠前的正方形ABCD中，做 AEBD于 E，过 E作BCEF于 F，求在折起后的图形中PFE的正切值设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件空间直角坐标系及空间向量法一，空间直角坐标系1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为 x 轴，手掌向里的方向为y 轴，大拇指的方向为z 轴，三轴的公共点为z 轴2、卦限： 数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上， x 轴，y 轴把平面分成

19、四个象限，在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越多越好，关于坐标平面对称的点越多越好一、空间直角坐标系上点的坐标：求一个点的坐标就是找该点在x 轴， y 轴， z 轴上的坐标分量已知正方体ABCDDCBA1111棱长为 2，如图所示以正方体的中心O 为原点建立空间直角坐标系y z x C D B F E P E D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 36 页学习必备欢迎下载1、 在轴上点的坐标：轴xPP（ x,0,0）轴yPP（0,

20、y,0）轴zPp（0,0，z）2、 在坐标平面上点的坐标平面上xoyP，P（x,y,0）平面上yozP,P（0,y,z）平面上xozP,P（x,0,z）3、已知zyxA111,zyxB222,则 AB中点zzyyxxP212121,2,24、与 P（x,y,z ）关于定点A（a,b,c ）对称点的zayaxaP2,2,215、关于坐标平面对称点的坐标与 P（x,y,z ）关于 xoy 平面对称点的坐标zyxP,1与 P（x,y,z ）关于 xoz 平面对称点的坐标zyxP,16、若 P点在 xoy 面的射影为L 点，则 P点与 A点的 x,y 轴分量相同，P点 z 轴分量为P点到面 xoy 的

21、距离二、空间向量的坐标运算注：空间向量的加法，减法，数乘的几何意义；两个向量的共线条件；向量的内积运算公式与平面向量完全相同空间向量的坐标运算公式若zyxzyxBA222111,则zzyyxxAB121212,若已知zyxa111,，zyxb222,加减法 :zzyyxxba212121,数乘：zyxa111,P N M L K J I O H G F E D C B A D1C1B1A1y z x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 36 页学习必备欢迎下载内积：zzyyxxba212121模2121212zyxaa其它

22、一些常用公式bababa222222bababa0212121zzyyxxba设直线 a 的方向向量为a，直线 b 的方向向量为bbaba|三、直线的方向向量与平面的法向量注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量1、 直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量2、 平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量下面介绍平面法向量的求法例：已知：已知1 , 1 ,0,0, 1 , 1ba，求nba的法向量与设zyxn,0anan0bnbn00zyyx由于 x 每给一个值， 就各有一个与之对应的y 值和 z 值，由此说明一个平面的法向量有无穷多个，这和常识也

23、是相符的，我们只需取其中一个法向量即可令 x=1,y=-1,z=11 , 1, 1n一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系l，m分别为直线l,m 的方向向量 ;nn2,1分别为平面,的法向量线线平行：1、 文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行2、 图形语言：在这里强调Rmlml|但反之不对 ,当00,lm时，这是不可以的这样写正确：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 36 页学习必备欢迎下载3、符号语言：Rmlmlml|线面平行：1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行2、 图形语言：3、

24、 符号语言：|101lnlnl面面平行：1、 文字语言：如果两个平面的法向量共线则面面平行2、 图形语言：3、 符号语言：|2|121nnnnn2n1m l mll ln1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 36 页学习必备欢迎下载线线垂直：1、 文字语言：两直线的方向向量垂直则线线垂直2、 图形语言：3、 符号语言：mlmlnl0线面垂直：1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直2、 图形语言：3、 符号语言：llblababa0,0,不共线，与且面面垂直：1、 文字语言：如果两个平面的法

25、向量垂直则面面垂直2、 图形语言：3、 符号语言：m l mlbal ln2n1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 36 页学习必备欢迎下载nnnn21011二、空间角空间角的范围1、线线角的范围900, 2、异面直线所成角的范围9000,3、线面角的范围9000, 4、斜线与平面所成的角范围9000,5、二面角的范围18000, 6、向量夹角范围18000,7、直线的倾斜角范围1800,空间角的定义：1、 异面直线所成角的定义：略2、 斜线与平面所成角的定义：斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成的角注：在

26、用定义法求线面角时常会用到空间垂直关系相关定理（特别是线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直性质定理），三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法例：已知正三棱柱ABCCBA111的侧棱长与底面边长相等，则BA1与侧面ACAC11所成角的正弦值答案：46练 习 ： 在 长 方 体ABCD-DCBA1111中 ， AB=BC=211AA， 则CB1与 平 面DBDB11所成角的正弦值答案：510正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角为n m l 如图 l 为平面的垂线， m 为平面的斜线， n 为斜线 m 在平面上的射影nmm,注：求线面角关键

27、找与斜线有交点的平面的垂线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 36 页学习必备欢迎下载答案：453、 二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直的直线，这两条垂线所成的角就是这两个平面所成的二面角的平面角二面角的求法：）定义法： 在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理，三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法利用定义计算二面角常常使用余弦定理。例 1 已知已知正四棱锥的体积是12，底面对角线长62，则侧面与底面所成的二面角等于答案：3）平移交线法，截面法与截面法例 2

28、已知正三棱柱ABC-CBA111的底面边长是2，高为 1，过顶点A 做一平面，与侧面BCBC11交于 EF， 且 EF|BC， 若平面与底面 ABC 所成二面角大小为x60 x,四边形 BCEF 的面积为y,则函数 y=f（x）的图象大致是：答案：C n m l nmlnmlnm,6666A B C D C B A G F E M C1C1A C B N M F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 36 页学习必备欢迎下载法一：平移交线法如图1EF|BC，ABCBCABC面，面EFEF|面 ABC 设lABCAEF面面

29、又AEF面EFEF|l 取 EF 中点 M，BC 中点 N 则 ANEF，ANEF 则MAN就是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角注：在本题中很难找到面AEF 与面 ABC 的交线， 故在图形中找一条与交线平行的直线EF，在这两个平面内引EF 的垂线，从而找到二面角的平面角注：求空间角时， 空间角大多是特殊角，对于非特殊角题目一般要求求空间角的某个三角函数值。若题目特别强调用反三角函数表式，利用下面公式公式一：若,11,2,2sinmm则marcsin公式二：若,11,0cosmm则marccos公式三：若为常实数mm,2,2tan则marctan例：求,2,0,31sin求,2,

30、0,31cos求,2,0,31tan通过本题引出下面公式常用公式：A1B1B1A1图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 36 页学习必备欢迎下载xxxxxxarctantanarccosarccosarcsinarcsin练习：求,2,31cos求0 ,2,31tan三、向量法求空间角向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补综上：mlmlmlmlmllml,cos,cos2,0,cos|,cos|则由向量法求线面角：空间直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面法向量所成的角互余，或

31、比向量角小2m l mlmlmlmlml,cos,cos,m l mlmlmlmlml,cos,cos,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 36 页学习必备欢迎下载综上：|1,cos|,sin2,0,1,cos|,sin|nlnllll故由空间向量的方法求二面角，方法一：内积法如图所示，在两个平面,内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直的向量nm,例：已知直角ABC中，,3090BCAB=4 ，D 为 AB 的中点， 沿中线将ACD折起使得 AB=13，则二面角A-CD-B 的大小为nml nmnmnmll,n1ll nl

32、nlll1,cos,sin21,n1ll nlnlnll1,cos,sin1,2,1的垂线基线为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 36 页学习必备欢迎下载对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件解：作CFBFCFAE,EAFB,BCDA等于二面角FBEFAEABEFAEFBEFFBAEFBEFAEFBEFAEAB222222223,2,3FBEFAE23FBAE021,cosFBAEFBAEFBAE又,0,FBAE3,FBAE32,FBEA方法二：坐标法B F D E C B D F E A A 精选

33、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 36 页学习必备欢迎下载综上：为钝角为锐角,2,1cos,|,2,1cos|,cos,0,2,1cos,cosnnnnnn注：求二面角是二面角一般为锐角或钝角很少求直角，零角或平角二面角的性质可以直观观察得到四、空间向量方法求空间点到平面的距离n1n m l n2nnnn2,1cos,cos1,1,n m l n2n1nnnnlnmlnm2,1cos,cos1,1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 36 页学习必备欢迎

34、下载典例一、向量法确定空间线线，线面，面面位置关系，求空间角及空间点到平面的距离注：应用向量法研究空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标，在建系时最好建立右手系（在原图形上找或作三条有公共点且两两垂直的线段做为坐标轴） ，在坐标平面上的点越多越好，关于原点或坐标平面对称的点越多越好在建系时会用到空间垂直关系相关定理（线面垂直的判定定理，线面垂直定义， 面面垂直的性质定理） ，线面角的定义，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征确定空间点的坐标必要时时可以设参数表示空间点的坐标，但参数用得越少越好如轴上点的坐标可用一个参数表示;坐标平面上点的坐标可用两个参数表示;已知线段两端点的坐标，只需

35、一个参数就可以表示该线段上任意点坐标（利用向量共线条件）如下图例在四棱锥P-ABCD 中， PA平面 ABCD ，PB 与底面所成的角为45，底面 ABCD 为直角梯形，90BADABC，PA=BC=AD21求证：面PAC面 PCD在棱 PD 上是否存在一点E，使 CE|面 PAB？若存在确定E 的位置，若不存在说明理由C B A 若已知 A，B 坐标设 C（ x,y,z）ABAC设0AB可求点C 坐标nB A nnOBOd,D（0,2,0）C（1,1,0）B（1,0,0）A （0,0,1）P E（x,y,z）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

36、- -第 24 页，共 36 页学习必备欢迎下载面 PAB 的法向量为0 ,2,0AD要想 CE|面 PAB 必须CEAD0CEADy=1PDPEPDPDPE0|可求点 E 坐标注：解决存在性问题，把结论当已知，从结论出发，找是结论成立的条件练习 1、如图，在直三棱柱ABC-CBA111中，90ACB， AC=BC=a,D,E分别为棱AB，BC 的中点， M 为AA1上的点，二面角M-DE-A为30证明：DCBA111求 MA 的长，并求点C 到平面 MDE 的距离答案：4a2、 （ 07 高考全国）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD底面ABCD ， E，F分别为

37、 AB ，SC 的中点，证明： EF|面 SAD设 SD=2DC ，求二面角A-EF-D 的正切值C1B1A1（k,0,0） M B（a,0,0）（0,-a,0） A C (0,2,2aa)D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 36 页学习必备欢迎下载答案：2例 2：07 福建正三棱柱ABC-CBA111中，所有棱长为2，D 为 CC1中点，求证：BDA11面BA求二面角B-DAA1的正弦值求 C到平面BDA1的距离取 AB的中点 O ，则 COAB 又ABAABCABCAABCCC11面，面面，面面OCOC面C1A再取

38、CB11的中点 F 如图所示建立空间直角坐标系答案：22,410F O D C B A C1B1A1E0,21, 1D （1,0,0）A B（1,1,0）C（0,1,0）F（2,21,0k）（0,0，k） S 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 36 页学习必备欢迎下载注：本题在建系时使用了面面垂直性质定理及正棱柱的结构特征练习 1、（08 全国）如图，四棱锥 A-BCDE 中， 底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE ，BC=2，CD=2， AB=AC证明： ADCE设 CE 与平面 ABE 所成的角为45，

39、求二面角C-AD-E 的余弦值取 BC，DE 中点 O,F 证 AO面 BCDE 答案：10102、 如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段 EF的中点求证： AM|面 BDE 试在线段AC上确定一点P，使得 PF与 CD所成角是60答案：0,22,22P例 3（08 湖南）四棱锥P-ABCD的底面是边长为1 的菱形，60BCD，E是 CD的中点，O A（0,0，k）（-1,0,0）B E0,2, 1F0,2,00 ,2, 1DC（1,0,0）D A F E C M B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

40、- - - - -第 27 页，共 36 页学习必备欢迎下载PA底面 ABCD ，PA=2 证明：平面PBE面 PAB 如图所示建立空间直角坐标系本题难点在于确定P点坐标， P点在 xoy 面上的射影是A点，故 P点和 A点的 x,y 轴分量相同， P点 z 轴分量为P点到 xoy 面的距离即为线段PA长如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱DCBAABCD1111，经平面AEFG所截后得到的图形，其中45GADBAE，AB=2AD=260BAD求证：CADBD1求平面AEFG与平面 ABCD所成锐二面角的余弦值答案：21如图，四棱锥P-ABCD中， PB 底面ABCD ，CD PD ，底面

41、 ABCD为直角梯形， AD|BC，ABBC ， AB=AD=PB=3 ，点 E在棱 PA上，且 PE=2EA ，求异面直线PA与 CD所成的角求证： PC| 面 EBD 求二面角ABE D的大小（用反三角函数表示）0,43,41E0 ,0 ,21D 0 ,23,0A 0,23,0CB0,0,21O P2,23,0E P（0,0,3）A（3,0,0）D（3,3,0）C（ 0,6,0）y z x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 36 页学习必备欢迎下载本题重点不是建系也不是求空间角和分析空间线面关系，而是用向量法确定点的

42、坐标解： C（0,y,0 ） ,)3,3,3(),0,3 , 3(PDCDyCD PD,0PDCD, y=6 C(0,6,0) E（x,0,z ）EAPE2（x,0,z-3） =（6-2x,0,-2z）123226zzzxxxE（2,0,z ）以下略二、地球经纬度问题例设地球半径为R，在60纬线圈上有A，B两地，它们在纬线圈上的弧长是R21，则 A，B两底的球面距离是注： A，B两地球面距离也称A， B两地最短距离，它等于A，B两点所在的大圆的劣弧长纬线圈与赤道面平行，纬线圈是小圆，赤道面是大圆，经线圈是半圆，0 度经线是本初子午线纬度：在纬线圈上任取一点和球心连线所得的地球半径与赤道面所成的

43、线面角, 经度：经线所在的半平面与本初子午线（0 度经线）所在的半平面所成的二面角解：利用上图可知2Rr，作出纬圆如下图oO r 纬线圈与赤道面平行o为纬线圈的圆心，O 为球心，OO与纬线圈及赤道面垂直，r 为纬线圈的半径，R 为球的半径，等于纬线圈的维度R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 36 页学习必备欢迎下载二、顶点转移的方法求体积已知正三棱柱CBAABC111中，底面边长为2，高为 1，则点B1到平面BCA1的距离为A、3 B、23 C、2 D、23设B1到面BCA1距离为h1A1到面CBB11距离为h2VVC

44、BBCBAAB1111ShShBBCABC11213131B A l r 221RRrlAB=2r=R OO A B 作出通过A， B 两点的大圆O 为球心，3RlAB3R R A1B1C1D A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 36 页学习必备欢迎下载SShhBCBCAB1121BCB11111CB,CB,面面AAdd取CB11中点 D，连DA1可证CBACBD111面321hAD121111SSCBBCBBC矩形21SBCA231h注：本题除了用顶点转移的方法求体积同时还涉及把点面距离转化为线面距离空间几何

45、体一、空间几何体的分类空间几何体圆台圆锥圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体二、柱锥台的结构特征1、棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的侧面，侧面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱，棱柱的侧棱平行且相等棱柱的特征简记为：底面平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等2、棱锥：有一个面是多边形（底面），其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两侧面的公共边叫侧棱。注意：棱锥的侧棱相交于一点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 36 页学习必备欢迎下载3、棱台：用平行于棱锥底面的截面取截棱锥，底面

46、和截面之间的部分叫棱台注：棱台是用棱锥截出来的，所以棱台侧棱延长线相交于一点多面体用顶点字母命名如棱柱ABC CBA111，棱锥 V-ABC ，棱台 ABC CBA111对于棱柱和棱台也可用对角线顶点字母命名如棱柱AC1注：在同一条棱上的字母对应着写4、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征：圆柱圆锥圆台球直观图三、棱柱分类及直棱柱与正棱柱的结构特征1、棱柱的分类及直棱柱与正棱柱的结构特征棱柱斜棱柱直棱柱柱侧棱与底面不垂直的棱侧棱与底面垂直的棱柱特别地：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱四棱柱斜四棱柱长方体直四棱柱棱柱侧面与底面不垂直的四底面是矩形的直四棱柱柱侧面与底面垂直的四棱底面是正方形的直四棱柱是正

47、四棱柱，显然正四棱柱是特殊的长方体，棱长都相等的长方体是正方体直四棱柱长方体正四棱柱正方体注：重点掌握直棱柱与正棱柱的结构特征o1o2o1轴轴轴轴旋转示意图o2o2O o1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 36 页学习必备欢迎下载直棱柱的结构特征底面是多边形侧面是矩形侧面与底面垂直侧棱与底面垂直正棱柱的结构特征底面是正多边形侧面是全等的矩形侧面与底面垂直侧棱与底面垂直想一想：能不能说出直三棱柱与正三棱柱与正四棱柱的的结构特征？直四棱柱结构特征底面是四边形侧面是矩形侧面与底面垂直侧棱与底面垂直正四棱柱结构特征底面是正方形侧

48、面是全等的矩形侧面与底面垂直侧棱与底面垂直四、正棱锥与正棱台的结构特征1、正棱锥结构特征面的中心定点在底面的投影是底形侧面是全等的等腰三角侧棱都相等底面是正多边形2、正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥棱长都相等的正三棱锥是正四面体，正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体正棱台的结构特征：上下底面为正多边形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱延长后相交于一点，五、几何体的表面积表面积 =侧面积（所有侧面面积）+底面积（所有底面面积）1、柱体（直棱柱，圆柱）的侧面积底面周长为c, 高为 h chS侧直棱柱的高 =侧棱 =斜高圆柱的高 =母线2、锥体的侧面积正棱锥的底面正多

49、边形边数为n, 边长为 a, 周长为 c, 斜高为hhhnac2121S侧注：对于一般的锥体侧面积=所有侧面的面积和圆锥的侧面积设圆锥的底面圆半径为r, 周长为 c，母线为 lrlcl21S侧3、台体的侧面积正棱台的边数为n, 斜高为h，上下底面正多边形边长，周长，分别为a，a;c,c hahcnnacS2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 36 页学习必备欢迎下载圆台的上下底面半径, 周长分别为r，r, c，c, 母线为 l 圆台的侧面积lrlcSrc214、球的表面积RS24球七、几何体的体积1、柱体（直棱柱，圆

50、柱）柱体的底面积为S，高为 h,V=Sh 特别的底面半径为r, 高为 h 的圆柱体积hVR22、锥体（棱锥，圆锥）设锥体底面面积为S ，高为 h 则体积ShV31特别的底面半径为r, 高为 h 的圆锥体积hVR2313、台体（棱台，圆台）的体积S，S分别是台体上下底面面积，h 为台体的高SSSShV31特别的上下底面半径分别为r， r ，高为 h 的圆台体积4、球的体积设球的半径为R，球的体积RV334典型题：一、截面问题（降维问题：把空间图形化成平面图形）正棱柱，正棱锥，正棱台截面图正棱柱正棱锥正棱台rrrrhV2231精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -