2022年高等数学教案第一章 2.pdf

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1、名师精编精品教案第一章微积分的理论基础内容及基本要求：1、理解函数的概念2、理解复合函数的概念，了解反函数的概念3、掌握基本初等函数的性质及其图形4、会建立简单实际问题中的函数关系式5、理解极限的概念 （对极限的 N、定义可在学习过程中逐步加深理解）6、掌握极限的四则运算法则7、会用两个重要极限求极限8、 解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等阶无穷小求极限9、 理解函数在一点连续的概念10、了解间断点的概念，并会判断点的类型11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）学习重点： 函数概念；复合函数概念；极限概念；极限四则运算法则；两个重要极限；函数

2、连续概念。学习难点 ：极限概念。第一节函数一. 函数的概念及其表示法1.函数的定义设x与y是变量 ,D是给定的一个数集.yDx,按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称y是x的函数 ,记作)(xfy.其中D为函数的定义域, x是自变量, y是因变量 . 0 x处的函数值记为)(0 xf,即)(00 xfy. ),(|DxxfyyW称为函数)(xfy的值域 . 单值函数与多值函数: 如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.本书一般指单值函数. 2.定义域的求法(1)实际问题由实际意义确定:如自由落体运动2021gtxx,则其定义域为0

3、t. (2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如21xy,其定义域为 1 ,1D. 3.函数的图形建立直角坐标系后,点),(yx的集合C: ),(|),(DxxfyyxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页名师精编精品教案称为函数)(xfy的图形 . 4.特殊函数(1)绝对值函数 : xxxxxxxysgn.0, 0,. (2)符号函数 : .0, 1,0,0,0, 1sgnxxxxy(3)取整函数 : xy表示不超过x的最大整数 .如25 ,22 , 1 1. (4)分段函数 :在自变量的不同范围中,

4、用不同式子表示的同一个函数称为分段函数.如绝对值函数 ,取整函数 ,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点. 二. 线性函数的基本属性1.改变量对于函数)(xfy，当自变量在其定义域内从一点0 x变为异于0 x的点x时，相应地，函数值从0y变为y，我们称0 xx为自变量x在0 x处的改变量，简称为自变量的改变量， 记作0 xxx，称0yy为函数)(xfy在0y处相应的改变量，简称为函数的改变量，记作)()(00 xfxfyyy. 2.均匀变化与非均匀变化对线性函数，无论自变量x从哪里开始变化，只要它的改变量一样大，则函数的改变量也一样大。换句话说，线性函数随自变量的变化

5、是均匀的，即xy. 三. 复合函数与反函数1.复 合 函 数设 函 数)(ufy的 定 义 域 为1D, 函 数)(xu在2D上 有 定 义 ,而),(|22DxxuuW,且12DW,那末 ,对2Dx通过函数)(xu有确定的u与之对应 ,对于这个u通过)(ufy有确定的y与之对应 ,从而得由)(),(xuufy复合而成的复合函数,记作)(xfy,而u为中间变量 . 注意(1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如uyarcsin, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页名师精编精品教案22xu就不能复合成一

6、个复合函数. (2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合.此点在求复合函数的导数时很重要.如函数2tanlnxy可分解成 :.2,tan,lnxvvuuy2.反函数设函数)(xfy定义域为D,值域为W.对Wy,总.,tsDxx与y对应,这样就确定了一个以y为自变量的函数x,称为)(xfy的反函数 ,记作)( yx,也记作)(1xfy.相对于反函数)(1xfy,原来函数)(xfy称为直接函数 . 注意 (1)单值函数的反函数不一定是单值函数;但当直接函数)(xfy不仅单值且单调时,其反函数)(1xfy必为单值函数. (2) )(xfy和)(1xfy的图形关于直线xy对称 . 四. 初等函数

7、与双曲函数1.基本初等函数1.幂函数 :xy,(是常数 ). 2.指数函数 :) 1, 0( ,aaayx,特别地 :xey. 3.对数函数 :) 1,0( ,logaaxya,特别地 :xyln. 注意 :指数函数与对数函数互为反函数. 4.三角函数 :.csc,sec,cot,tan,cos,sinxyxyxyxyxyxy5.反三角函数 :xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin. 2.初等函数由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数 ,称为初等函数.如2tanlnxy).1ln(,2xxy都是初等函数 . 3.双曲函

8、数与反双曲函数1.双曲函数双曲正弦:),(,2Deeshxxx,奇函数,图形过原点且关于原点对称.在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页名师精编精品教案),(内,当x时,21xeyshx当x时, xeyshx21. 双曲余弦 :),(,2Deechxxx,偶函数 ,图形关于y轴对称 .在)0,(内,在),0(内.x时,21xeychx当x时, xeychx21. 双曲正切 :),(,Deeeechxshxthxxxxx.奇函数 ,图形过原点且关于原点对称.在),(内,且1thx,当x时 ,1thx; 当x时, 1th

9、x.即1y为thx的两条水平渐进线. 性质 : ,)(,)(shxshychxchyyxchchxshyshxchyyxshxshxchxchshxchxxshxshxch22222,22, 1. 2.反双曲函数反双曲正弦 :)1ln(2xxarshxy,(单值 ). 反双曲余弦 :)1ln(2xxarchxy,(主值)0, 1 yx. 反双曲正切 :xxarthxy11ln21. 函数举例 : 例 1 设21)(xxxf,求)()(xfffxfn. 解22222221)1(11)(1)()()(xxxxxxxfxfxffxf; 22231)(,31)()(nxxxfxxxffxfn. 例 2

10、 设221)1(xxxxf,求)(xf. 解2)(, 2)1()1(22ttfxxxxf,即2)(2xxf. 例 3 设2)(xexf,xxf1)(,且0)(x,求)(x及其定义域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页名师精编精品教案解2)(xexf,所以)(2)(xexf.又0)(x,所以)2(, 11)1 (,1)()(22xexexx由(1)得)1ln()(xx;由(2)得0 x,即)(x的定义域为0 x. 例 4 设),(),(xxfy的图形关于直线ax与bx对称)(ba,则)(xf为周期函数 . 证明)

11、2()(xafxf()(xf关于ax对称 ) )2(2xabf()(xf关于bx对称 ) )(2abxf, 即)(xf为周期函数 . 五.函数的参数表示与极坐标表示1.函数的参数表示把y与x的函数关系通过变量t间接地表示为Dttyytxx),(),(上式称为y与x函数关系的参数表示式，也称为此曲线的参数方程，t称为参变量，也称为参数。2.函数的极坐标表示在平面上选取一条具有起始点O（称为极点）和长度单位的半直线Ox，称为极轴，这样在此平面上就建立了极坐标系。对平面上任一点P，将线段OP的长度记为， 成为极径， 极轴Ox到射线OP的转角记作， 称为极角。 如果限制)2 ,0，0，那么平面上除极点

12、O外任一点P便有唯一的有序数组),(与其对应； 反之， 任给一数组),(，以为极角，为极角，必有唯一的点与之对应。因此，我们把),(称为点P的极坐标。点P的直角坐标),(yx与极坐标),(之间有如下关系xyyxyxtan,sincos22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页名师精编精品教案第二节数列的极限一. 数列1.数列无限多个数有次序地排成一列,21nxxx称为数列 ,记为nx.数列中的每一个数称为数列的项,第n项nx称为数列的一般项.数列nx也可看作自然数n的函数 : Nnnfxn),(. 在几何上 ,数列nx

13、也可看作数轴x上的一系列点. 2.子数列设数列nx.在nx中 第一次抽取1nx,第二次抽取,),( ,122nnxn第k次抽取,knx得新数列1nx,2nx,knx称为数列nx的子 (数)列knx. 二. 数列的极限 :.limAxnn1.引例 :刘徽的割圆术 . 2.数列极限的定义设数列nxn1.观察当n无限增大时 ,数列的项的变化趋势.具体写出来是 : ,1,51,41,31,21, 1n当n无限增大 (即要多大就有多大)时 ,一般项n1无限接近 (要多近就有多近)于常数0A,此时称数列1n的极限为零 ,或数列1n收敛于零 .由此有定义 (描述性定义 ) 当n无限增大时, 数列nx与常数A

14、无限接近 ,称数A为数列nx的极限 ,或称数列nx收敛于A.记作.limAxnn,或)( , nAxn. 下面我们对数列1n来具体分析 : 要使n1与0A的距离小于101,即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页名师精编精品教案1011011nnAn. 则101n,取10N,当10n时,10101n,即从第 11项开始 ,所有项与0A的距离小于101. 取1001, 要 使10011011nnAn, 则100n. 取100N, 则 当1 0 0Nn时, 100101n,即从第 101 项开始 ,所有项与0A的距离小于1

15、001. 0,要使11nAn.取,1N则当1Nn时 , 01n.即从1N项开始 , 所有项与0A的距离小于. 用精确的数学语言,有定义给定数列nx和常数A:0)(,0NN,当Nn时,有Axn成立 ,则称常数A为数列nx的极限 ,或称数列nx收敛于常数A,记为.limAxnn,或)( , nAxn. 如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注意(1)反映了数列nx中项nx与常数A的接近程度.由于可以任意小,此时Axn反映了nx与常数A无限接近 (要多近就有多近),不是越来越近. (2)(NN反映了数列nx中与常数A接近的项的范围,即从1N项1Nx开始 ,所有项与A的距离小于.因此N是的函数 .一般

16、地 , 越小 ,则N越大 . (3) .limAxnn主要是对于给定的,能够找到一个N,使得,21nNNxxx与A的距离小于,而前N项Nxxx,21是否与A的距离小于没有任何影响 . (4) N是否存在才是关键,不必找最小的N. (5) .limAxnn的几何意义 : 由定义 : 0)(,0NN,当Nn时,有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页名师精编精品教案Axn),(),(AUAAxn, 即,21nNNxxx全部落在A的邻域内 . 例 1 证明1)1(lim1nnnn. 分析 :由注 (3)的思路 :0从不等式A

17、xn解出n,从而确定N. 证明0,要使nnnAxnn11) 1(1则1n.取1N,则当Nn时,有Axn所以1)1(lim1nnnn. 有时 ,由Axn解出n是非常麻烦.由注 (4)可知 ,此时可将不等式Axn适当放大 (不能太大 ),即)()(ngnfAxn由)(ng解出n,从而确定N.则当Nn时,有)()(ngnfAxn故.limAxnn注:这里的适当放大意思是)()(ngnfAxn放大后)(ng还可小于. 例 2 证明1lim22nann. 证明0,要使nnannanAxn22221此时直接解出n很难 .将Axn适当放大 , nanannaAxn2222)(精选学习资料 - - - - -

18、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页名师精编精品教案所以2an,取2aN即可 . 或如下放大 : nannanAxn则|an.取|aN即可 . 三. 收敛数列的性质定理 1(极限唯一性定理) 如果数列nx,则其极限必唯一. 证明设.limAxnnBxnnlim.BA.取2AB. 由.limAxnn则01N,当1Nn时,有2ABAxn. 由Bxnnlim,则02N,当2Nn时,有2ABBxn. 取,max21NNN,则当Nn时 ,有.2,2ABBxABAxnn解得.2,2ABxABxnn矛盾 . 定理 2（有界性）收敛数列必有界.但有界数列不一定收敛

19、. 证明设.limAxnn则给定0,0N,当Nn时,有0Axn.则0)(AAAxAAxxnnn, 取,max021AxxxMN.则对任意的n,有Mxn即数列nx必有界 . 反之 ,数列) 1(1n是有界的 (因为1) 1(1Mn),但1)1(limnn不存在 (为什么 ?见下面的解释 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页名师精编精品教案定理 3（保号性）,limAann设)0(0 AA，则N，使得Nn，恒有)0(0qaqann其中q为某一正常数。例 3.531lim232xxxx求解)53(lim22xxx5l

20、im3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx3123.37三. 数列极限的有理运算法则定理 4：.0,)3(;)2(;)1 (,limlimlimlimlimBBAbaBAbaBAbaBbAannnnnnnnnnnnn其中则设推论 1 .,limlimlimnnnnnnaccaca则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面. 推论 2 .,limlimlimnnnnnnnnaana则是正整数而存在如果四. 数列极限的判定法则1.夹逼准则准则如果数列nnyx ,及n

21、z满足下列条件: ,lim,lim)2()3 ,2, 1() 1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在 , 且axnnlim. 证：,azaynn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页名师精编精品教案使得,0, 0, 021NN,1ayNnn时恒有当,2azNnn时恒有当,max21NNN取上两式同时成立, ,ayan即,azan恒有时当,Nn,azxyannn,成立即axn.limaxnn例 4：).12111(lim222nnnnn求解：,11112222nnnnnnnnnnnnnn111liml

22、im2又, 122111lim1limnnnnn, 1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn2.单调有界准则满足条件如果数列nx,121nnxxxx则称此数列单调增加；或者,121nnxxxx称此数列单调减少准则单调有界数列必有极限. 几何解释 : 例 5：.)(333的极限存在重根式证明数列nxn证：,1nnxx显然;是单调递增的nx, 331x又, 3kx假定kkxx3133,3x1x2x3x1nxnxAM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页名师精编精品教案;是有界的nx.lim存在nnx,31n

23、nxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去 ) 五.子数列及其与数列的关系定理5(数列与子数列关于收敛的关系) 如果.limAxnn则其任一子数列knx必收敛 ,且.limAxknk注(1)逆否命题 :如果数列nx的某一子数列发散或某两个(或两个以上 )子数列收敛,但极限不同 ,则数列nx必发散 . 例 6 证明数列) 1(1n是发散的 . 证明取两个子列 : 奇子列 :) 1(12k,显然1) 1(lim12kk.又偶子列 : ) 1(2k,显然1)1(lim2kk. 因为1) 1(lim12kk1) 1(lim2kk,所以1) 1(

24、limnn不存在 . (2)如果数列nx的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列nx必收敛 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页名师精编精品教案第三节函数的极限主要讨论 :在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即(1)Axfxx)(lim0; (2)Axfx)(lim. 一.自变量趋于变大时函数极限的概念Axfx)(lim.即自变量x无限接近时,)(xf无限接近于A. x包括x和x. 定义(1)设)(xf当Mx时有定义 .0, 0X,当Xx时,有Axf)(成立 ,则A称为)(xf当x的极限 ,记为

25、Axfx)(lim或)( ,)(xAxf. (2)设)(xf当Mx时有定义 . 0, 0X,当Xx时,有Axf)(成立 , 则A称为)(xf当x时的极限 ,记为Axfx)(lim或)(,)(xAxf. (3) 设)(xf当Mx时有定义 . 0,0X,当Xx时,有Axf)(成立 , 则A称为)(xf当x时的极限 ,记为Axfx)(lim或)(,)(xAxf. 注:(1) Axfx)(lim的几何意义 : (2) Axfx)(limAxfxfxx)(lim)(lim. (3) Axfx)(lim,则Ay为曲线)(xfy的水平渐进线. 例 1 证明0sinlimxxx. 证明0,要使xxxxxAxf

26、1sin0sin)(则1x.取1X,则当Xx时,有0sinxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页名师精编精品教案即0sinlimxxx. 例 2 求xxarctanlim. 解2ar c t anlimxx,2arctanlimxx,所以xxarctanlim不存在 . 同理xarcxarcxxcotlim,0cotlim,所以xarcxcotlim不存在 . 记住 :xxxxcoslim,sinlim均不存在 .二. 自变量趋于有限值0 x时函数的极限Axfxx)(lim0,即自变量x无限接近0 x时,)(xf

27、无限接近于A. 定义定义设)(xf在)(00 xU内有定义 .0,0,当x),(00 xU时,有Axf)(成立 ,则A称为)(xf当0 xx时的极限 ,记作Axfxx)(lim0或,)(Axf0 xx. 注(1)由极限的定义知,)(xf当0 xx时是否有极限与)(xf在0 x处是否有定义无关. (2)反映了)(xf与A的接近程度 .由于0可以任意小 ,故)(xf与A可无限接近 . (3)0)(反映了自变量x与0 x的接近程度 . (4)给定0,问题是是否存在0)(.如果存在 ,则当0 xx时)(xf以A为极限 ;否则 , )(xf的极限不存在.因此 ,只要确定一个,而不必找出最大的.一般地 ,

28、如果越小 ,则也越小 . (5) 的求法是由不等式Axf)(接出)(0gxx(不是解x,取)(g即可.同数列极限 ,如果Axf)(解0 xx较困难 ,可将Axf)(适当放大 ,即)()(0 xxhAxf再解出0 xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页名师精编精品教案(6)几何意义 :当00 xx,即x),(00 xU时 , 有AxfAAxf)()(. (7)显然有000lim,limxxccxxxx. 例 3 证明211lim21xxx. 证明11)(2xxxf在1x处无意义 ,但极限存在 . 0,要使12)

29、 1(211)(2xxxxAxf取,当10 x时 ,有2112xx即211lim21xxx. 例 4 证明04lim4xxx. 证明0,要使xxxxAxf404)(解出4x几乎不可能 ) 将xxAxf4)(适 当 放 大 , 怎 么 放 呢 ? 因 为4x时 , 不 妨 设140 x, 即53x,4x.从而344)(xxxAxf解得34x.取3 , 1min,则当40 x时 ,有04)(xxAxf,即04lim4xxx. 左、右极限 : Axfxx)(lim00,Axfxx)(lim00. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，

30、共 33 页名师精编精品教案(1)左极限 : Axfxx)(lim00(或Axf)0(0),0,0当00 xx时,有Axf)(成立 . (2)右极限 : Axfxx)(lim00(或Axf)0(0),0,0当00 xx时,有Axf)(成立 . (3)左、右极限与函数极限的关系: Axfxx)(lim0)(lim00 xfxxAxfxx)(lim00. 注:如果)(xf在0 x处的左、 右极限至少有一个不存在或都存在但不相等,则)(lim0 xfxx不存在 .该结论经常用来讨论分段函数在分段点的极限是否存在. 例 5 求符号函数xxfsgn)(当0 x时的极限xxsgnlim0. 解.0, 1,

31、0, 0,0, 1s g n)(xxxxxf0 x为xxfsgn)(的分段点 . .1) 1(limsgnlim)0(, 11limsgnlim)0(0000 xxxxxfxf因为)0()0(ff,所以xxsgnlim0不存在 . 三. 函数极限的性质与运算法则1.性质1. 唯一性定理若)(limxf存在 ,则极限唯一 .2. 局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限 ,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界 . 3. 局部保号性定理如果Axfxx)(lim0,且0A(或0A),则存在)(00 xU,当x)(00 xU时,有0)(xf(或0)(xf) 证明设0A,取2A,则0,当0

32、0 xx时 ,有0)(23)(22)(xfAxfAAAxf. 注:如果取2A,则)(00 xU,当x)(00 xU时,有2)(Axf.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页名师精编精品教案4.保序性.),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx则有若设推论：).()(),(,0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设5.夹逼准则如果当)(00 xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00Axh

33、Axgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0 xfxxx存在 , 且等于A. 2.运算法则定理 1设BxgAxf)(lim,)(lim,则)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf.注意 :(1)运用该公式时)(xf与)(xg的极限必须同时存在,否则出现错误 . 如xexxxlim,lim,但)(limlim)(limxexexxxxx是错误的 ,虽然结论是正确的. (2)该结论可推广到有限个函数的情形.即)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfmm. 定理 2 设BxgAxf)(lim,)(lim,则)(lim)(lim)()(lim

34、xgxfBAxgxf. 注意 :(1)也必须注意定理的条件.如01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx是错误的 ,虽然结论是正确的. 001limlimlimxexexxxxx是错误的 .结论为xexxlim. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页名师精编精品教案(2)该结论也可推广到有限个函数的情形.即)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfmm. (3)特殊情形 : )(lim)(limxfCxCf,nnxfxf)(lim)(lim. 定理 3设0)(l

35、im,)(limBxgAxf,则)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf. 注意 :定理的条件0B,否则出现错误.如0sinlimlimsinlimsinlim0000 xxxxxxxxx是错误的 .事实上1sinlim0 xxx. 0sinlim1limsinlim1sinlimsinlimxxxxxxxxxxxx是错误的 .事实上 ,当x时,xxsin是无界函数 ,而不是无穷大. 由于数列极限是函数极限的特殊情形,故以上的运算法则对数列极限也是成立的. 推论 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面. 推论 2.)(

36、lim)(lim,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果四.例题现在运用极限的运算法则可求一些简单函数的极限. 1.有理函数的极限(1)有理整函数的极限设0111)(axaxaxaxPnnnnn,(0na),则)()(lim00 xPxPnnxx. (2)有理分函数)()()(xQxPxfmn的极限0,)(0111mmmmmmbbxbxbxbxQ. 则)()(lim)(lim00 xQxPxfmnxxxx由于)()(lim00 xPxPnnxx,)()(lim00 xQxQmmxx,由商的极限知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

37、第 18 页，共 33 页名师精编精品教案() 当0)(0 xQm时, )()()()(lim)(lim0000 xQxPxQxPxfmnmnxxxx. () 当0)(, 0)(00 xQxPmn时,0)()()()(lim000 xPxQxPxQnmnmxx)()(lim0 xQxPmnxx. () 当0)(,0)(00 xQxPmn时 ,先分解因式 ,约去极限为零的公因子,再根据 ( )、()两种情形求极限. 例 6 .6131l i m93l i m323xxxxx例 7 4532lim21xxxx, (因为03245lim21xxxx) (3) )()(lim)(limxQxPxfmn

38、xx. (a)当nm时)()(lim)(limxQxPxfmnxx01110111limbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxmnmmmnnnxbaxbxbbxaxaa0101lim. (b)当nm时)()(lim)(limxQxPxfmnxx01110111limbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx00lim01011mmmmmnmnnmnxbxbxbbxaxaxa. (c)当nm时 ,由(2)有, 0)()(limxPxQnmx)()(limxQxPmnx. 综上有.,0)()(limmnmnbamnxQxPmnmnx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

39、归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页名师精编精品教案例 8 5151052) 5()3()12(limxxxx. 2.杂例例 9 01si nlim32xxxx. 例 10 .211111lim1lim)1(limnnnnnnnnnn例 11 333l i m)3(l i m3)12(31l i m2nnnnnnnnnnn. 例 12 310301)32(3)32(2lim3232lim111nnnnnnnn. 例 13 21111lim1lim)1(lim22xxxxxxxxxxx. 例 14 1111lim1lim)1(lim222xxxxxxxxxx. 由以上知

40、)1(lim2xxxx不存在 . 例 15 3) 1)(1(lim)(1() 1)(lim1lim22124121xxxxxxxxxxxxxxxxxx. 例 16 2111lim121lim)1211(lim12121xxxxxxxx. 五. 复合函数的极限定理设axxx)(lim0,且)(, 0)(00 xUxx,又Aufau)(lim,则)()(lim0 xuxxxfAufau)(lim. (在定理中,将axxx)(lim0换成)(lim0 xxx或)(limxx,而把Aufau)(lim换成Aufu)(lim,结论仍成立 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

41、结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页名师精编精品教案例 17 3) 1(lim1lim1lim214121ttttttxxxttxtx. 例 18 21si n21c o sl i m2)s i n1( s i nl i mxxxxxxxx. 因为121cosxx,且0sinlim)1(21sinlim21sinlim0)1(21uxxxxuxxuxx, 所以原式 =0. 例 19 2311l i m11l i m1111l i m212311306tttttxxttxtx. 六. 两个重要极限1.1sinlim0 xxx(00型) 注意(1)与0sinlimxxx的区别

42、,(0 x另一个x); (2)令xt1,则该极限变形为11si nl i mttt. (3)一般地 ,有(常用情形 ) 1)()(sinlimxfxf, 其中0)(limxf. 例 20 .11si nsi nl i msi ns i nl i m00 xxxxxxxxxx例 21 . 21)1si n ()1(lim1)1sin() 1(lim1)1sin(lim111xxxxxxxxxxx例 22 xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincos11lim2cossin1)cossin1(limcossin1lim202020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

43、- - - - - - -第 21 页，共 33 页名师精编精品教案.3412112sin2sin21lim2220 xxxxx例 23 .210210c o s21si nl i mc o s2si nl i mxxxxxxxxxx2.exxx)11(lim,1型. 注意(1)等价形式 :令xxt,1,则0t.所以ettt10)1(lim. (2)1)11 (lim0 xxx,0型. (3)一般形式 : ).0)(lim,)(11lim()(xfexfxf例 24 求xxx)11 (lim. 解: 方法一.)11(lim)11(lim)11(lim)11(lim11)1()(exxxxxxx

44、xxxxx方法二.)11(lim)11(lim)11 (lim)11(lim11ettxxttttxtxxxx例 25 1221222)11(lim)2111(lim)11(lim222ttxtxxxxtxxx.1)11()11(lim222eetttt注意对1型,可用下面简便方法计算: 设)(lim,1)(limxvxu,则)()1)(lim()()(limxvxuxvexu. 例 26 .)111 (lim1)11(lim)11(lim22eeeexxxxxxxxxx例 27 .)11(lim212lim)111(lim22222222eeexxxxxxxxxxx精选学习资料 - - -

45、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页名师精编精品教案第四节无穷小量与无穷大量一. 无穷小量及其阶的概念1.无穷小量的概念如果在自变量x的某一变化过程中,)(xf的极限为零 ,则称)(xf在自变量x的变化过程中为无穷小量 .由此定 义设)(xf在)(00 xU( 或Mx) 时 有 定 义 .0, 0( 或0X), 当00 xx(或Xx)时,有)(xf, 则称)(xf当0 xx(或x)时为无穷小量 ,记作0)(lim0 xfxx(或)0)(limxfx. 如01sinlim0 xxx,则xx1sin当0 x时为无穷小量 . 0sinlimxxx

46、,则xxsin当x时为无穷小量. 注意 :区别无穷小量与很小的数:无穷小量是函数)(xf当0 xx(或x)时与数 0无限接近 , )(xf的函数值可能等于0 也可能不等于0;很小的数是一个确定的数,它不能小于任意给定的正数. 2.无穷小量与极限的关系定理),()()(lim)(0 xAxfAxfxxx其中0)(lim)(0 xxxx. 3.无穷小量的性质性质 1有限个无穷小量的和还是无穷小量. 证明设0)(lim0 xxx,0)(lim0 xxx,即0, 01,当100 xx时,有2; 02,当200 xx时 ,有2. 取,min21,则当00 xx时,有22.# 性质 2有界函数与无穷小量的

47、乘积还是无穷小量. 如11sin,0lim0 xxx,则01sinlim0 xxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页名师精编精品教案证明设)(xf在),(100 xU内有界 ,即xMxf,)(),(100 xU.0)(lim0 xgxx,则0,02M,当200 xx时 ,有Mxg)(. 取,min21,则当00 xx时,有MMxgxfxgxf)()()()(.# 由性质 2 可得(1)常数与无穷小量的乘积还是无穷小量. (2)有限个无穷小量的乘积还是无穷小量. 但请注意 : (1)无限个无穷小量的和不一定是无

48、穷小量. (2)无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量. 4.无穷小量的比较定义 :.0,且穷小是同一过程中的两个无设);(,0lim)1 (o记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CC;, 1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地.),0,0(lim)3(阶的无穷小的是就说如果kkCCk例 1.tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx解：430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx例 2.sintan,0的阶数关于求时当xxxx解：30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20

49、xxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx常用等价无穷小:,0时当x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页名师精编精品教案用等价无穷小可给出函数的近似表达式: , 1lim,0lim),(o即).(o于是有例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx二.无穷小的等价代换定理 (等价无穷小替换定理)：.limlim,lim,则存在且设证：lim)lim(limlimlim.lim例 3.cos12

50、tanlim20 xxx求解: .22tan,21cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式= 8 注意 : 不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换. 例 4.2sinsintanlim30 xxxx求错解 : .sin,tan,0 xxxxx时当30)2(limxxxx原式=0 解: ,0时当x,22sinxx)cos1 (tansintanxxxx,213x330)2(21limxxx原式.161例 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx求解: ),(5tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx)(3)(21)(5lim