2022年悬臂梁固有频率的计算 .pdf

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1、1 悬臂梁固有频率的计算试求在0 x处固定、 xl 处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。解： 法一：欧拉 - 伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：4242( , )( , )+0w x tw x tEIAxt；悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI)0(4)xlx ldwwww xxdxxxx，；该偏微分方程的自由振动解为(x, t)W(x)T(t)w，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cossincoshsinhWxCxCxCx，(t)AcostBsintTww；其中24AEI将边界条件（1） 、 （2）带入上式可得13C

2、0C，24C0C；进一步整理可得12(x)C (coscosh)(sinsinh)WxxCxx；再将边界条件（3） 、 （4）带入可得12(coscosh)C (sinsinh)0Cllll；12(sinsinh)C (coscosh)0Cllll要求12CC和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(coscosh)(sinsinh)=0(sinsinh)(coscosh)llllllll所以得到频率方程为：cos()cosh()1nnll；该方程的根nl表示振动系统的固有频率：1224() () ,1,2,.nnEIwlnAl满足上式中的各nl（1,2,.n）的值在书 P443表 8.4 中

3、给出，现罗列如下：123451.8751044.6940917.85475710.99554114.1372lllll，；若相对于n的2C值表示为2nC， 根据式中的1nC，2nC可以表示为21coscosh()sinsinhnnnnnnllCCll；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 因此1coscosh(x)C(cosxcoshx)(sinxsinhx) ,1,2,.sinsinhnnnnnnnnnnllWn

4、ll由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：1112222221234441.875104 ()4.694091 ()7.854757 ()EIEIEIAlAlAl，112222454410.995541 ()14.1372 ()EIEIAlAl，；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：4242442224( , )( , )(1)0w x tw x tEwIwEIAIkGkGxtxtt；边界条件：(0)(0)0w xx（1），0 xlxlwxx（2）；设方程的通解为：( , )Csincosnn xw x tw tl；易知边界条件（1）满足此通解

5、，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：422222224442224r()(1)0nnnrnrEnwwkGllkGl；其中22IEIrAA，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为222222=nnEI nwlAl；当 n=1,2,3,4,5 时可分别求得固有频率为：222221234522222491625EIEIEIEIEIwwwwwA lA lA lAlAl，。多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5 个相等的集中质量12345m5mmmmm。1. 邓克莱法邓克莱公式为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

6、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 111222555211aaammmL，其中3333311223344558964,3753751253753lllllaaaaaEIEIEIEIEI，12345m5mmmmm；将其代入上式可求得系统的基频为：12142.887()EIwAl;，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率122141.875104 ()EIAl偏小，误差为17.42% ，与邓克莱法的推导预期相符。2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为0000000010000

7、500000000mmMmmm33333333333333333333333341173751503757503758144261503753757537541492718375375125250125114276488750752503753757261888375375125375lllllEIEIEIEIEIlllllEIEIEIEIEIlllllEIEIEIEIEIlllllEIEIEIEIEIllllEIEIEI33lEIEI13517798627932221270004500225854181181862791117211244719450015750586193181181322

8、2112447156221261631422154933222442700094500261633827982500181181223118145001575014221825001811814418EIKl6029130取静变形曲线为假设阵型，设(40141279436600)TA有3231122000EI28401503lm649418m,75EITTTA MAA KAA M MAl所以448.648.57(A)=,(A)TTTTA KAEIA MAEIRRA MAlA MMAl，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率122141.875104 ()EIAl偏大，误差为15.23%，与

9、瑞利法的推导预期相符。3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为12(12345)(13579)TT，；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 则可求出*,MK分别为*T33*T335595=9516578375EI57375EI181l181l57375EI78375EI181l181lmmMMmmKK将*,MK代入*2*()0Kw MA得*2*0Kw M；可以求得：*13EI59.08mwl，*23E

10、I3.53mwl；以及*(1)*(2)11A,A0.5780.29；所以系统前两阶主阵型的近似为(1)*(1)(2)*(2) 1.0000 1.0000 0.6303 1.5915A=A=0.422 0.2607 ,A=A=0.71 2.1831 -0.1090 2.7746 -0.4787 3.36624.雅克比法动力矩阵为333333333333333333333l ml m4l m11l m7l m375EI150EI375EI750EI375EIl m8l m14l m4l m26l m150EI375EI375EI75EI375EI4l m14l m9l m27l m18l m375

11、EI375EI125EI250EI125EI11l m4l m27l m64l m88l m750EI75EI250EI375EI375EI7l m2375EIDM33336l m18l m88l ml m375EI125EI375EI3EI，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率 2.93 0 0 0 0 0 18.70 0 0 0 0 0 52.7 0 0 0 0 0 100 0 03EI*m 0 0 0 158.11l，阵型为 0.0459 0.1669 0.3387 0.5393 0.7513 0.2290 0.5589 0.5802 0.1677 -0.5201 -0.487

12、9 -0.5446 0.2548 0.5306 -0.3448 -0.6481 0.1332 0.4650 -0.5539 0.19T79 0.5361 -0.5878 0.5172 -0.3046 0.0833名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -