2022年抽屉原理练习 .pdf

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1、抽屉问题经典练习题及答案系列之一时间： 2009 年 09 月 20 日作者：奥数网整理来源：网络4351 人正在讨论相关问题1木箱里装有红色球个、黄色球个、蓝色球个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把种颜色看作个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于，故至少取出个小球才能符合要求。2 一幅扑克牌有54 张， 最少要抽取几张牌， 方能保证其中至少有2 张牌有相同的点数？解： 点数为 1(A) 、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J) 、12(Q) 、13(K) 的牌各取 1 张，再取大王、小王各1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有

2、两张的点数相同。这样，如果任意再取 1 张的话，它的点数必为113 中的一个，于是有2 张点数相同。311 名学生到老师家借书，老师是书房中有、四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。证明： 若学生只借一本书，则不同的类型有、四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB 、AC、AD 、BC 、BD、CD六种。共有10 种类型，把这10 种类型看作 10 个“抽屉”，把11 个学生看作11 个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。4有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如

3、果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。证明： 设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、349，只有 49 种可能， 以这 49 种可能得分的情况为49 个抽屉， 现有 50 名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。5体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球， 某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿个球，至多拿个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理。解：根据规定， 多有同学拿球的配组方式共有以下种：足排蓝 足足 排排 蓝蓝 足排 足蓝 排蓝 。以这种配组方式制造个抽屉，将这50个同学看作苹果509 55由抽屉原理 k

4、 m/n 可得，至少有人，他们所拿的球类是完全一致的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2 人，又知参赛者中任何10 人中必有男生，则参赛男生的人生为_人。解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2 人，所以女生至少有4219 （人）；因为任意10 人中必有男生，所以女生人数至多有9 人。所以女生有9 人，男生有55 946（人）

5、7、 证明：从1，3，5，, ，99 中任选 26 个数，其中必有两个数的和是100。解析： 将这 50 个奇数按照和为100，放进 25 个抽屉：（ 1，99），（ 3，97），（ 5，95），（ 49 ，51）。根据抽屉原理，从中选出26 个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。8。某旅游车上有47 名乘客， 每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有_人带苹果。解析： 由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46 人。9。一些苹果和梨混放在一个

6、筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_堆。解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4 种：（奇，奇） ，（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5 筐。10。 有黑色、白色、蓝色手套各5 只（不分左右手），至少要拿出_只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。解析： 考虑最坏情况， 假设拿了 3 只黑色、 1 只白色和1 只蓝

7、色， 则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6 只。11。从前 25 个自然数中任意取出7 个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1。 5 倍。证明： 把前 25 个自然数分成下面6 组：1； 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2，3； 4，5，6； 7，8，9，10； 11，12，13， 14，15，16； 17，18，19， 20，21，

8、22，23， 因为从前 25 个自然数中任意取出7 个数，所以至少有两个数取自上面第组到第组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1。5 倍。12一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13 张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4 张牌是同一种花色的？解析： 根据抽屉原理，当每次取出4 张牌时， 则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推， 当取出 12 张牌时， 则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13 张牌时， 无论是什么花色，都可以至少保障有4 张牌是同一种花色，选B。13从 1、2、3、4, 、12 这 12 个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们

9、的差是7？【解析】 在这 12 个自然数中，差是7的自然树有以下5 对： 12，511，410，3 9，2 8， 1。另外，还有2 个不能配对的数是6 7。可构造抽屉原理，共构造了 7 个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这 7 个抽屉可以表示为 12，5 11， 4 10，3 9，2 8，1 6 7，显然从7 个抽屉中取 8 个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。1某幼儿班有40 名小朋友，现有各种玩具122 件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4 件或 4 件以上的玩具？分析与解： 将 40 名小朋友看成40 个抽屉。今

10、有玩具122 件，122=3402。应用抽屉原理 2，取 n40，m 3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4 件或 4 件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4 件或 4 件以上的玩具。2一个布袋中有40 块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4 的各有 10 块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3 块号码相同的木块？分析与解： 将 1， 2，3，4 四种号码看成4 个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3 件物品，根据抽屉原理2，至少要有421=9（件）物品。所以一次至少要取出9 块木块，才能保证其中有3 块号码相同的木块。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

11、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3六年级有100 名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？分析与解： 首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3 种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3 种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。总共有 331=7（种）订阅方法。我们将这7 种订法看成是7 个“抽屉”，把100 名学生看作100 件物品。因为10014 72。根据抽

12、屉原理2，至少有141 15（人）所订阅的报刊种类是相同的。4篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81 个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？分析与解： 首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4 种，两个水果不同有 6 种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4610（种）。将这10 种搭配作为10 个“抽屉”。8110=8 1（个）。根据抽屉原理2，至少有819（个）小朋友拿的水果相同。5学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。 问：至少有多少名学

13、生， 才能保证有不少于5 名同学参加学习班的情况完全相同？分析与解： 首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1 种情况， 只参加一个学习班有3 种情况， 参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、 数学和美术3种情况。共有 13 37（种）情况。将这7 种情况作为7 个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5 名同学参加学习班的情况相同，要有学生7（ 5-1 ） 129（名）。6. 在 1，4，7，10，, ， 100中任选 20 个数， 其中至少有不同的两对数，其和等于104。分析： 解这道题，可以考虑先将4 与 100，7 与 97，49 与 55，这些和等于104 的两个数组

14、成一组，构成16 个抽屉，剩下1 和 52 再构成 2 个抽屉，这样，即使20 个数中取到了 1 和 52，剩下的18 个数还必须至少有两个数取自前面16 个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1 和 52，或 1 和 52 不全取到， 那么和等于104的数组将多于两组。解： 1，4，7，10， 100 中共有 34 个数，将其分成4 ，100 ，7 ，97 ，49 ，55 ，1 ，52 共 18 个抽屉，从这18 个抽屉中任取20 个数，若取到1 和 52，则剩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

15、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 下的 18 个数取自前16 个抽屉，至少有4 个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和 52，则有多于18 个数取自前16 个抽屉，结论亦成立。1. 任意 5 个自然数中，必可找出3 个数，使这三个数的和能被3 整除。分析： 解这个问题，注意到一个数被3 除的余数只有0，1，2 三个，可以用余数来构造抽屉。解：以一个数被3 除的余数0、1、2 构造抽屉，共有3 个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3 的倍数，结论成立；若至少有

16、一个抽屉内没有数，那么5 个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。2. 在边长为1 的正方形内，任意放入9 个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8. 解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4 。把这四个小正方形看作4 个抽屉，将9 个点随意放入4 个抽屉中，据抽屉原理， 至少有一个小正方形中有3 个点。 显然， 以这三个点为顶点的三角形的面积不超过 1/8 。反思： 将边长为 1 的正方形分成4 个面积均为1/4 的小正方形，从而构造出4 个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方

17、形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4 个图形的面积也都是1/4 ，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。3 班上有 50 名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。解： 把 50 名学生看作50 个抽屉，把书看成苹果，根据原理1，书的数目要比学生的人数多，即书至少需要50+1=51 本 .4 在一条长 100 米的小路一旁植树101 棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。解：把这条小路分成每段1 米长，共 100 段，每段看作是一个抽屉，共10

18、0 个抽屉，把101 棵树看作是101 个苹果，于是 101 个苹果放入100 个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果，即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .你也来试试？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1. 饲养员给 10 只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7 个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？2. 从 13 个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12 的倍数。3. 一个班有40 名同学，现在有课外书12

19、5 本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或 4 件以上的玩具？4.42 只鸽子飞进5 个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？： 400 人中至少有两个人的生日相同。解： 将一年中的366 天视为 366 个抽屉， 400 个人看作400 个物体，由抽屉原理1 可以得知：至少有两人的生日相同。又如：我们从街上随便找来13 人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。“从任意 5 双手套中任取6只，其中至少有2 只恰为一双手套。”“从数 1，2，。， 10 中任取 6 个数，其中至少有2 个数为奇偶性不同。”3： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么

20、不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。解 ：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7 个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用。（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。）抽屉原理虽然简单，但

21、应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。1. 一个联欢会有100人参加 , 每个人在这个会上至少有一个朋友. 那么这 100人中至少有个人的朋友数目相同. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2. 在明年 ( 即 1999 年) 出生的 1000 个孩子中 , 请你预测 : (1) 同在某月某日生的孩子至少有个. (2) 至少有个孩子将来不单独过生日. 3

22、. 一个口袋里有四种不同颜色的小球. 每次摸出 2 个, 要保证有10 次所摸的结果是一样的, 至少要摸次 . 4. 有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4 颗混放在口袋里, 为了保证一次能取到2 颗颜色相同的珠子 , 一次至少要取颗. 如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2 颗, 那么一定至少要取出颗. 5. 从 1,2,3,12这十二个数字中, 任意取出7 个数 , 其中两个数之差是6 的至少有对 . 6. 某省有 4 千万人口 , 每个人的头发根数不超过15 万根 , 那么该省中至少有人的头发根数一样多. 7. 在一行九个方格的图中, 把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种, 那么涂色相同的

23、小方格至少有个. 8. 一付扑克牌共有54 张( 包括大王、小王), 至少从中取张牌, 才能保证其中必有3 种花色. 9. 五个同学在一起练习投蓝, 共投进了41 个球 , 那么至少有一个人投进了个球. 10. 某班有 37 名小学生 , 他们都订阅了小朋友、儿童时代、少年报中的一种或几种 ,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同. 11. 任给 7 个不同的整数 , 求证其中必有两个整数, 它们的和或差是10 的倍数 . 12. 在边长为1 的正方形内任取51 个点 , 求证 : 一定可以从中找出3 点, 以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50. 13. 某幼儿园有50 个小朋友 , 现

24、在拿出420 本连环画分给他们, 试证明 : 至少有 4 个小朋友分到连环画一样多( 每个小朋友都要分到连环画). 1. 半步桥小学六年级( 一) 班有 42 人开展读书活动. 他们从学校图书馆借了212 本图书 ,那么其中至少有一人借本书. 2. 今天参加数学竞赛的210 名同学中至少有名同学是同一个月出生的. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3. 学校五 ( 一) 班 40 名学生中 , 年龄最大的是13

25、岁, 最小的是 11 岁, 那么其中必有名学生是同年同月出生的. 4. 有红、黄、蓝、白四色小球各10 个 , 混合放在一个暗盒里, 一次至少摸出个, 才能保证有2 个小球是同色的. 5. 有红、黄、蓝、白四色小球各10 个 , 混合放在一个暗盒中, 一次至少摸出个, 才能保证有6 个小球是同色的. 6. 布袋中有60 个形状、大小相同的木块, 每 6 块编上相同的号码, 那么一次至少取出块,才能保证其中至少有三块号码相同. 7. 某商店有126 箱苹果 , 每箱至少有120 个苹果 , 至多有 144 个苹果 . 现将苹果个数相同的箱子算作一类. 设其中箱子数最多的一类有n 个箱子 , 则

26、n 的最小值为 . 8. 有形状、 大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各 4 双, 混杂在一起 , 要求闭着眼睛 ,保证从中摸出不同颜色的2 双筷子 , 则至少要摸出根. 9. 袋子里装有红色球80 只,蓝色球 70只, 黄色球 60 只, 白色球 50 只. 它们的大小与质量都一样 , 不许看只许用手摸取, 要保证摸出10 对同色球 , 至少应摸出只 . 10. 有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2 支 , 让一位小朋友随便抓2 支, 这位小朋友至少抓次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.( 每抓一次后又放回再抓另一次) 1某小学有369 位 1996 年出生的学生，那么至少有几个同学的生

27、日是在同一天？2五年级某班有学员13 人，请说明在这13 名同学中一定有两个同学是同一星座。3有 3 个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？44 个连续自然数分别被3 除后，必有两个余数相同。为什么？5在 1 米长的直尺上标出任意5 个点，请你说明这5 个点钟至少有两个点的距离不大于 25 厘米。6班上有 38 个人， 老师至少要拿几本书，随意分给大家，才能保证一定有至少一名同学得到两本或两本以上的书？7黑、白、黄三种颜色的袜子各有很多只，在黑暗处至少拿出几只袜子袜子就能保证有一双是同一颜色的？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

28、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8某小学五一班有48 名同学，至少有几个同学在同一月过生日？9有 4 个运动员练习投篮，一共投进50 个球，一定有一个运动员至少投进几个球？10布袋中有60 块大小、形状都相同的木块，每 15 块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块，才能保证其中至少有3块颜色相同？1、有语文、数学、外语、政治四门课，最少需要几个老师能保证有一个教两门课？2、红、白、黑、黄、绿五种颜色的球各若干个，最少一次拿多少个就能保证有2 个球是同一种颜色的？3、“六一”儿童节布置会场，学校把 48

29、 朵鲜花插在9 个花瓶里， 其中至少有一个花瓶里插了 6 朵或 6 朵以上的鲜花，这是什么道理？4、“六一”儿童节布置会场，学校把鲜花插在9 个花瓶里，最少要有多少朵鲜花才能保证至少有一个花瓶里有6 朵或 6 朵以上的鲜花？5、三年级有90 人，图书馆里最少要拿出多少本书就能保证至少有一个同学能借到5本或 5 本以上的图书？6、手中有 1 分、2 分、5 分三种硬分布，最少要拿出几枚后才能保证至少有三枚的币值是相同的？7、幼儿园大班的老师把61 件玩具分给小朋友玩，要使其中至少有一个小朋友分到了3个玩具或3 个以上的玩具，那么最多应有几个小朋友？8、有黑、白、黄三种颜色的筷子各4 根，最少拿出

30、几根就能保证有2 双颜色各不相同的筷子？（提示：可以设黑、白、黄3 个抽屉，再实践一下）（1）在一个学校里，任意挑选出25 个人，请你证明在这25 人中，至少有个人属相相同。（2）三（ 2）班图书柜里有图书100 本，借给班上35 名同学，请你说明一定有一名同学借到 3 本或 3 本以上的图书。（3）幼儿园有50 个小朋友，现有玩具240 件，把这些玩具分给小朋友，是否一定有人能得到 6 件或 6 件以上的玩具？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 -

31、 - - - - - - - - 9、在一米长的线段上任意点六个点。试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20 厘米。10、在今年入学的一年级新生中有370 多人是在同一年出生的。请你证明： 他们中至少有两个人是在同一天出生的。11、夏令营有400 个小朋友参加，问：在这些小朋友中，(1) 至少有多少人在同一天过生日？(2) 至少有多少人单独过生日？(3) 至少有多少人不单独过生日？12、学校举行开学典礼，要沿操场的400 米跑道插40 面彩旗。试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10 米。13、在 100 米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小

32、于 10 米？14、在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？15、在一个口袋中有10 个黑球、 6 个白球、 4 个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？1. 证明：在任意的37 人中，至少有四人的属相相同。2. 跳绳练习中，一分钟至少跳多少次才能保证在某一秒钟内，至少跳了两次？3. 一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。证明：至少有三个面是同一颜色。4. 袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有三个球是同一颜色的？5. 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有五条相同品种的

33、鱼？6. 某小学五年级的学生身高( 按整厘米计算) ，最矮的为138 厘米，最高的为160 厘米。如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人， 才能保证有五人的身高相同？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7. 体育组有足球、蓝球和排球，上体育课前，老师让一班的11 名同学往操场拿球，每人最多拿两个。试证明：至少有两个同学拿球的情况完全一样。8. 口袋里放有足够多的红、白、兰三种颜色的球，现有31 个

34、人轮流从袋中取球，每人各取三个球。证明：至少有4 个人取出球的颜色完全相同。9. 蓝子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，问至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？10. 学校开办了语文、 数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个( 可以不参加 )。问：至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同？11. 为了丰富暑假生活，学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。比赛时天气很热，学校给选手们准备了两种饮料，有可乐，有汽水，每个选手都选用了一种饮料。试证明： 至少有两对选手，不但甲

35、班选手选用的饮料相同，而且乙班选手选用的饮料也相同。12. 在上题中，如果学校为比赛准备了可乐、汽水和果汁三种饮料，那么比赛时每班至少出多少人， 才能保证至少有两对选手，甲班选手选用的饮料相同，乙班选手选用的饮料也相同？13.100 名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计，前61 张选票中，甲得35 票，乙得10 票，丙得 16票。问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？14. 有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。证明：在200 个信号中至少有4 个信号完全相同。15. 库房里有一批蓝球、排球、足

36、球和手球，每人任意搬运两个。证明：在41 个搬运者中至少有5 人搬运的球完全相同。16. 库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。问：在61 个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？17. 六年一班27 个同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。求证：在 9 个横排中，至少有两排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。18. 有 n 个队参加的足球比赛，已经赛了n+1 场。证明：必有一个队少赛了3 场。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共

37、 16 页 - - - - - - - - - 1从 1，2，3，, ， 1988， 1989 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？2从 1 至 1993 这 1993 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？3. 从 1，2， 3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2 倍? 4从 1，3，5，7，, ， 97，99 中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数? 5证明：任给12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与

38、十位数字相同的两位数6从 1，2，3，, ， 49，50 这 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除，则最多能取出多少个数? 7从 1，2，3，, ， 99，100 这 100 个数中任意选出51 个数证明：(1) 在这 51 个数中，一定有两个数互质；(2) 在这 51 个数中，一定有两个数的差等于50；(3) 在这 51 个数中，一定存在9 个数，它们的最大公约数大于18求证：可以找到一个各位数字都是4 的自然数，它是1996 的倍数9有 49 个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1 到 49 各不相同现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数

39、的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子 ? 10. 在边长为1 的正方形内随意放进9 个点，证明其中必有3 个点构成的三角形的面积不大于11某班有16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12上体育课时，21 名男、女学生排成3 行 7 列的队形做操老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在

40、这个长方形4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例1、有 400 个小朋友参加夏令营，问：这些小朋友中至少有多少人不单独过生日。2、在一副扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？3、在一个口袋中有10 个黑球， 6个白球， 4 个红球，问：至少从中取出多少个球，才能保证其中一定有白球？4、口袋中有三种颜色的筷子各10 根，问：（1）、至少要取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少要取多少根才能保证有2 双不同颜色的筷子？（3）至少要取多少根才能保证有2 双相同颜色的筷子？5、袋子里红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从代中任意取出

41、若干个球，问：至少要取出多少个球，才能保证有3 个球是同一种颜色的？6、一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种，问：至少捞出多少鱼，才能保证有5 条相同品种的鱼？7、某小学五年级的学生身高（按整厘米算），最矮的是138 厘米，最高的是160 厘米，至少要选出多少人才能保证有5个学生的身高是相同的？8、一把钥匙只能打开一把锁，现有10 把钥匙和其中的10 把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相配？9、一把钥匙只能打开一把锁，现有 10 把锁和其中的8 把钥匙， 最多要试验多少次才能使这 8 把钥匙都配上锁？10、将 100 个苹果分给10 个小朋友，每个小朋友分得的苹果数互不相同，分得苹果数最

42、少的小朋友至少得到多少个苹果？11、将 400 本书随意分奥数给若干个小朋友，但每人不得超过11 本，问：至少有多少同学得到的书的本数相同？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12、一次数学竞赛，有75 人参加，满分为20 分，参赛者的得分都是自然数，75 人的总分是 980 分，问：至少有几人的得分相同？13. 某学生将参加全国中学生数学竞赛，用 100 天的时间作准备， 为了不影响其他各科学习， 他决定每天至

43、少解一道题，但又限制每10 天所解的题目不超过17 道，试证明，这个学生一定在某个连续的若干天内，恰好一共解了29 道题1. 证明：从1，3，5，, ，99 中任选 26 个数，其中必有两个数的和是100。2. 某旅游车上有47 名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有_人带苹果。（A）46（B） 24（C） 23（D） 1 3. 一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_堆。（A）3（B）

44、4（C）5（D）6 4. 有黑色、白色、蓝色手套各5 只（不分左右手），至少要拿出_只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。（A）4（B）5（C）6（D）7 5. 在边长为2 厘米的正方形中至少放入几个点，可以保证其中必定有三个点，使得以它们为顶点的三角形的面积不大于0.5 平方厘米。6. 有 400 个小朋友参加夏令营，问：这些小朋友中，至少有多少人不单独过生日？7. 在一付扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？8. 在一个口袋中有10 个黑球、 6 个白球、 4 个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？9. 口袋中有三种颜色的

45、筷子各10 根，问：（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少取多少根才能保证有2 双颜色不同的筷子？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - （3）至少取多少根才能保证有2 双颜色相同的筷子？10. 袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有3 个球是同一颜色的？11. 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼

46、？12. 某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138 厘米，最高的是160厘米。 如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有5 人的身高相同？13. 一把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和10 把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配？14. 一把钥匙只能打开一把锁，现有 10 把锁和其中的8 把钥匙， 要保证将这8 把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？15. 将 100 个苹果分给10 个小朋友， 每个小朋友分得的苹果个数互不相同。分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果？16. 将 400 本书随意分给若干同学，但每人不得超过11 本。问：

47、至少有多少同学得到的书的本数相同？17. 要把 61 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5 个乒乓球。 证明：至少有5 个盒子中的乒乓球数目相同。18. 一次数学竞赛，有75 人参加，满分为20 分，参赛者的得分都是自然数，75 人的总分是 980 分。问：至少有几人的得分相同？19. 把 325 个桃分给若干只猴子，每只猴子分得的桃不超过8 个。问：至少有几只猴子得到的桃一样多？20. 一次数学竞赛出了10 道选择题，评分标准为：基础分10 分，每道题答对得3 分，答错扣 1 分，不答不得分。问：要保证至少有4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？18 个学生解8 道题目(

48、1) 若每道题至少被5 人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - (2) 如果每道题只有4 个学生解出， 那么(1) 的结论一般不成立试构造一个例子说明这点. 2时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，, ， 11，12 这 12 个数，在其上任意做n个的扇形， 每一个都恰好覆盖4 个数， 每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的n 个扇形中总能恰好取出3

49、个覆盖整个钟面的全部12 个数，求n 的最小值3试卷上共有4 道选择题，每题有3 个可供选择的答案一群学生参加考试，结果是对于其中任何3 人，都有一个题目的答案互不相同问参加考试的学生最多有多少人? 4. 六个小朋友每人至少有1本书，一共有20 本书，试证明：至少有两个小朋友有相同数量的书。5. 全班有 40 个同学，共有不到780 本书，试证明：至少有2 个同学有相同数量的书。6. 有 5050 张数字卡片， 其中 1 张上写着1，2 张上写着2，3 张上写着 3,100张上写着 100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片至少有10 张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？7. 口

50、袋中装有10 种不同颜色的珠子，每种都是100 个。要想保证从袋中摸出3 种不同颜色的珠子，并且每种至少10 个，那么至少要摸出多少个珠子？8. 两个布袋各有12 个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4 个。从第一袋中拿出尽可能少的球， 但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3 个。这时，两袋中各有多少个球？9. 用载重 1.5 吨的汽车运送若干箱共重19.63 吨的货物，每箱货物重量相同且不超过350 千克。当每箱货物多重时，需要的汽车最多？最多需要多少辆汽车？10. 某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138