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.\ 第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 一、问题引入： （1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则 第①个图中，= ，= ，= . 第②个图中，= ，= ，= . 三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？ 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练： 1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为　　　　 . （1） （2） 2、如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=　 　 　，y=　 　　 . 3、在Rt△ABC中，∠C＝90，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 三、例题展示： 例1:在△ABC中，∠C=90， （1）若a=3，b=4，则c=_____________； （2）若a=9，c=15，则b=______________； 例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长） 四、课堂检测： 1、在Rt△ABC中，∠C＝90，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ） A.5 B.12 C.13 D.18 2、已知Rt△ABC中，∠C＝90，若cm，cm，则Rt△ABC的面积为（　　） A.24cm2　　　 B.36cm2　　　　C.48cm2　　　　D.60cm2 3、若△ABC中，∠C=90，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a∶b =3∶4， c =10，则a = ，b = . 4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　. （不取近似值） 第4题图 5、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长. 6、（选做题）一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？ 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 一、问题引入： 1、 分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗? (1)3, 4, 5 (2)6, 8, 10 2、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？ 3、如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 4、满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数. 二、基础训练： 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 5，6，7 B. 1，4，9 C. 5，12，13 D. 5，11，12 2、下列几组数中，为勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 12，16，20 C. 10，24，26 D. 2.4，4.5，5.1 3、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ） A.42 B.52 C.7 D.52或7 4、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D .都有可能 三、例题展示： 例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？ 例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由. 四、课堂检测： 1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（　　） A. 7，8，10 B. 7，24，25 C. 12，35，37 D. 13，11，10 2、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（＋－）＝0，则△ABC是（　　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 　 D.等腰三角形或直角三角形 3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. b2 =c2－a2 B. a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C =∠A+∠B 　　　 D.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4 4、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为 三角形. 5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 . 6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？ 7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c 根据条件判断△ABC的形状. 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 一、问题引入： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a，b和c表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 . 2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练： 1、在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（ ） A.108cm2 B.90cm2 C.180cm2 D.54cm2 2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 三、例题展示： A B 例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。 (1)如图2,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? (2) 蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是什么？ 例2：如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 四、课堂检测： 1、△ABC中，若AC＋AB= BC，则∠B＋∠C= . 2、已知一个三角形的三边长分别是8cm，15cm，17cm，则这个三角形的面积为 . 3、如果一个三角形的两条直角边之比是3∶4，且最小边的长度是6，最长边的长度是________. 4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90，则AC的长必为______cm. （第6题图） 5、如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　　　　. （第5题图） 6、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（） 在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ） A. 10cm 　B. 12cm 　　 C. 19cm 　 D. 20cm 7、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm， 点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 第7题图 第一章 勾股定理单元检测 一、选择题： 1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．6、8、10 B. 5、12、13 C. 12、18、22 D. 9、12、15 2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 3、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( ) A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 4、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（ ） 第4题图 A.65 B.60 C.120 D.130 5、已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（ ） A. B. C. D. 6、等边三角形的边长是10，它的高的平方等于（ ） A.50 B.75 C.125 D.200 7、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ） A.6厘米 B.8厘米 C.厘米 D.厘米 8、已知Rt△ABC中，∠C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 二、填空题： 9、△ABC中，若AC＋AB= BC，则∠B＋∠C= . 10、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为 三角形. 11、如图（1），∠OAB=∠OBC=∠OCD=90， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________. 12、 如图（2）， 等腰△ABC的底边BC为16, 底边上的高AD为6，则腰AB的长为____________. 13、如图（3），某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300m，结果他在水中实际游了500m，求该河流的宽度为___________m. 三、解答题： 14、如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， 已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长. 15、如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝90０，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积. 16、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走。1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙二人相距多远? 第二章 实 数 2.1认识无理数 一、问题引入： 1、 ______和______ 统称有理数，它们都是有限小数和无限______（填循环或不循环）小数. 2、(1)在右图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面 　积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 3、请你举出一个无限不循环小数的例子，如： ，并说出它的整数部分是 ， 小数部分是 ，请指出它的十分位、 百分位、千分位……. 4、 称为无理数，请举两个例子 . 二、基础训练： 1、x2=8,则x______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351，－，4.969696…，0，－5.2333,5.411010010001…，中， 不是有理数的数有_____ . 3、长、宽分别是3、2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？ 三、例题展示： 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.（你能再连接其它的两个顶点，使连接它们的线段的长度是无理数吗？） 四、课堂检测： 1、下列说法正确的是（　　） A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限不循环小数 C.无限小数都是无理数 D.是分数 2、实数：3.14，2π，0.315315315…，，0.3030030003…中，无理数有　　　　　个． 3、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，0.351，－，3.14159，－5.2323332…，0，0.1234567891011112131…（小数部分由相继的正整数组成）在下列每一个圈里填入适当的数. 4、如图，是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形[来源:学.科.网Z.X.X.K] 边长是无理数的正方形有________个 5、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 第二章 实 数 2.2平方根(一) 一、问题引入： 1、x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？ 2、什么叫做算术平方根？一个数a的算术平方根记作 ，读作 。 3、一个负数有算术平方根吗？为什么？ 二、基础训练： 1、0的算术平方根等于_________. 2、因为2.52=_________，所以______的算术平方根是______，记作：_________. 3、9的算术平方根是（ ） A. 3 B.3 C. D. 4、的算术平方根是（ ） A. B. C. D. - 5、若一个数的算术平方根是，则这个数是_________. 三、例题展示： 例1 ： 求下列各数的算术平方根： （1）400； （2）1； （3） ； （4）17． （提醒学生格式不是：“解：原式＝”） 解： 例2：如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 解： 四、课堂检测： 1、的算术平方根是 . 2、正数_________的平方为. 3、=_________. 4、的算术平方根为_________. 5、的算术平方根为_________. 6、 (－1.44)2的算术平方根为_________. 7、一个数的算术平方根为，比这个数大2的数是（ ） A.　 B.－2 　 C.+2 　D. 8、求下列各数的算术平方根： (1)2.25 ； （2） ； (3)2 ； (4)(7.4)2 . 第二章 实 数 2.2平方根(二) 一、问题引入： 1、一般地，如果一个 的 等于，即 ，那么这个 就叫做的平方根. 叫做开平方. 2、正数a的平方根是 ，读作 ，它们是互为 . 3、算术平方根与平方根的区别与联系是 . 4、一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 （填有或没有）平方根. 5、平方与开平方是互为逆运算吗？. 二、基础训练： 1、16的平方根是（ ） A.4 B.24 C. D.2 2、的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.4 D.2 3、7的平方根是____________. 4、判断下列各数是否有平方根？并说明理由. (1)(－3)2；　 　(2)0；　 　(3)－0.01；　 　(4)－52； 　(5)－a2. 三、例题展示： 1、求下列各数的平方根.（注意格式） (1) 81； (2) ； (3) 0.0009； (4) (－225)2； (5) 5. 2、解下列方程： （1）x2－49=0 （2）4x2－25=0 四、课堂检测： 1、的平方根是_________. 2、若有意义，则a能取的最小整数为____． 3、若是的一个平方根，则=________. 4、已知｜｜+=0,那么 =________, =________. 5、判断题 （1）－0.01是0.1的平方根.( ) （2）－52的平方根为－5.（ ） （3）0和负数没有平方根.（ ） （4）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ） 6、下列各数中没有平方根的数是（ ） A. －(－2)3 　 B. 3-3 C. a0 　　　D.－（a2+1） 7、求下列各数的平方根. (1)121； 　 (2)0.01； 　(3)2； 　 (4)(－13)2. 　 8、解方程：4x2－36=0 第二章 实 数 2.3立方根 一、问题引入： 1、一般地，如果一个 的 等于，即 ，那么这个 就叫做的立方根.用根号表示一个数a的立方根为 . 2、你能用开立方运算求某些数的立方根吗？开立方与立方是互为逆运算吗？ 3、立方根的性质：正数a的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 . 4、能归纳立方根与平方根的不同点是 . 二、基础训练： 1、8的立方根是（　 ） A．2 B． C．4 D． 2、下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是1 C.的立方根是 D.－5的立方根是 3、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K] A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 三、例题展示: 1、求下列各数的立方根：（注意格式） (1)0.001；　 　(2) －； 　 　(3)343； 　(4)－9. 2、求下列各式的值： (1)；　　 (2)；　　 (3)－；　 　(4)()3 . 四、课堂检测： 1、的立方根是________，－的立方根为 . 2、=________， ()3=________. 3、－8的立方根和的算术平方根之积为_______. 4、下列运算正确的是（　）． 　 A． B． 　　 C． D． 5、判断下列说法对不对？ （1）－4没有立方根； （ ） （2）1的立方根是1； （ ） （3）的立方根是； （ ） （4）－8的立方根是－2； （ ） （5）64的算术平方根是8 （ ） 6、求下列各数的立方根. （1）729； （2）－4； （3）（－5）3 ； （4）. 7、 解方程：2x3-250=0 8、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长. 第二章 实 数 2.4 估算 一、问题引入： 1、勾股定理用式子表示为 . 2、平方根与算术平方根的概念是 . 3、某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000平方米. (1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？ (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？(误差小于1米) 二、基础训练： 1、估算 （误差小于0.1）. 2、下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3、通过估算，比较下列各数的大小 6.233； 1. 4、估算0.00048的算术平方根在（ ） A. 0.05与0.06之间 B. 0.02与0.03之间 C. 0.002与0.003之间 D. 0.2与0.3之间 三、例题展示： 1、水房盖好后，要架梯子粉刷外墙，根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。现在有一个长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 解： 2、在公园两侧分别有一柱状花塑，高度分别是米与米，通过估算，试比较它们的高矮。你是怎么样想的？与同伴交流。 解： 四、课堂检测： 1、在无理数，，，中，其中在2.5与3.5之间的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（ ） A. 22厘米 B. 27厘米 C. 30.5厘米 D. 40厘米 3、大于－且小于的整数有______个. 4、化简的结果为（ ） A. －5 B. 5－ C. －－5 D. 不能确定 5、|－1|=______,|－2|=______. 6、通过估计，比较大小. （1）与 （2）与 7、一片矩形小树林，长是宽的3倍，而对角线的长为米，每棵树占地1米2，这片树林共有多少棵树？小树林的长大约是多少米？（结果精确到1米） 第二章 实 数 2.5 用计算器开方 一、问题引入： 怎样用计算器求一个数的平方根和立方根？你是如何操作的？ 二、基础训练： 1、的平方根是________. 2、任何一个正数的平方根之和是________. 3、4是________的一个平方根，16的平方根是________. 4、用计算器求下列各式的值（结果精确到0.001） （1）－ （2） （3） （4） 三、例题展示： 已知某圆柱体的体积V=π(d为圆柱的底面直径) （1）用V表示. （2）当V=110 时，求的值.(结果精确到0.01) 四、课堂检测： 1、用计算器求结果为（结果精确到0.001）（ ） A.12.17 B. 1.868 C. 1.868 D. －1.868 2、将用不等号连接起来为（ ） A. << B. < < C. << D. < < 3、一个正方形的草坪，面积为658平方米，这个草坪的周长是（ ） A. 6.42 B. 2.565 C. 25.65 D. 102.6 4、计算：=________. 5、一个长方体的长为5 cm，宽为2 cm，高为3 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm). 6、用计算器求下列各数的算术平方根（精确到0.0001），并观察这些数的算术平方根有什么规律. (1)78000, 780, 7.8, 0.078, 0.00078. (2)0.00065, 0.065, 6.5, 650, 65000. 第二章 实 数 2.6 实 数 一、问题引入： 1、了解实数的意义： 和 统称实数， 即实数可以分为 和 . 2、实数有正负之分吗？所以实数还可以分为 、 和 . 3、数轴上的点与实数是 关系，你能在数轴上找到对应的点吗？ 4、有理数的运算法则、运算律有哪些？这些运算法则、运算律在实数范围内仍然适用吗？ 二、基础训练： 1、在实数3.14,－,－,0.13241324…, ,－π,中，无理数的个数是______. 2、－的相反数是______，绝对值等于______. 3、下列说法中正确的是（ ） A.和数轴上一一对应的数是有理数 B.数轴上的点可以表示所有的实数 C.带根号的数都是无理数 D.不带根号的数都是无理数 4、在实数中，有（ ） A.最大的数 B.最小的数 C.绝对值最大的数 D.绝对值最小的数 三、例题展示： 在数轴上找出和-对应的点 解： 四、课堂检测： 1、在实数0.3,0, , ,0.123456…中，其中无理数的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2、的平方根是_________,立方根是 . 3、-的绝对值是_________,相反数是_________, 4、一个数的平方根等于它的立方根，这个数是（ ） A.0 B.－1 C.1 D.不存在 5、下列说法中，正确的是（ ） A.带根号的数是无理数 B.无理数是开方开不尽而产生的数 C.无理数是无限小数 D.无限小数是无理数 6、实数a在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7、利用勾股定理在如图所示的数轴上找出点－和. 解： 8、将等式=3和=7反过来的等式3=和7=还成立吗？ 式子：9==和4==成立吗？ 仿照上面的方法，化简下列各式： （1）2 （2）11 （3）6 第二章 实 数 2.7二次根式（一） 一、问题引入： 1、 叫做二次根式. 2、积的算术平方根等于 ， 用式子表示为： 商的算术平方根等于 ， 用式子表示为： . 3、 叫做最简二次根式，你会把一个根式化为最简二次根式吗？ 4、你怎么发现含有开得尽方的因数的？ 二、课堂训练： 1、 =_________； =_________. 2、下列二次根式；；；；；中是最简二次根式的有（ ）个. 3、化简下列各数（1）= ；(2)= ； 4、下列各式中，计算正确的是（ ） A. =2 B.2+=2 C. = D. = 2 三、例题展示： 1、化简下列各式： （1）； （2） ； （3） 2、化简下列各式： （1）； （2）； （3） 四、课堂检测： 1、的算术平方根是______. 2、一个正方形的面积为288，则它的边长为 . 3、的相反数是______，－的倒数是______. 4、下列各式中，无意义的是（ ） A. B. C. D. 5、化简的结果是（ ） A.－4 B.4 C.4 D.无意义 6、比较大小：3 2；5 8。 7、如果=2,那么()2=______. 8、化简下列各式：（1）；（2）； （3）； （4） . 9、（选做）一个直角三角形的斜边长为14cm,一条直角边长为10cm,求另一条直角边的长. 第二章 实 数 2.7二次根式（二） 一、问题引入： 1、积的算术平方根用式子表示为： ； 商的算术平方根用式子表示为： . 2、把上面两个式子等号的左右两边对换得二次根式的 和 ， 它们是： 和 . 3、平方差公式： ；完全平方公式： . 4、你能对二次根式进行简单的四则运算吗? 二、基础训练： 1、判断下列运算是否正确。 （1）+=（ ） （2）2+=2（ ） （3）a－b=(a－b)（ ） （4）=+=2+3=5（ ） 2、计算： = ；= ；则+= + = . 3、22= . 4、(-1)(+1)= . 5、+= . 三、例题展示： 1、计算：（1） （2）23 （3） 2、计算： （1） （2） （3） （4） （5）- （6） 四、课堂检测： 1、已知的平方根是3，则= . 2、下列平方根中, 已经简化的是（ ） A. B. C. D. 3、（－）（+）= . 4、计算： （1） （2） （3） （4） 5、已知=0，则-=_______. 第二章 实 数 2.7二次根式（三） 一、问题引入： 1、二次根式的乘法法则用式子表示为 ； 2、二次根式的除法法则用式子表示为 . 二、基础训练： 计算: (1) (2) (3) (4) -3 三、例题展示： 1、计算： （1） （2） （3） （4） 四、课堂检测： 1、看谁算得又快又准 = ； = ； = ； = 。 2、计算： （1） （2） （3） （4） 3、化简计算： 4(选做)、已知5+的小数部分为，5－的小数部分为，求： （1）的值； （2）的值. 第二章 实数单元检测 一、选择题： 1、的平方根是（ ） A. B.