2022年抽象函数的性质问题解析 .pdf

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1、第 1 页 共 6 页抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。材料一：若函数)1( xfy的定义域为)3,2，求函数)21(xfy的定义域。解析：由)1( xfy的定义域为)3,2，知1x中的)3,2x，从而411x，对函数)21(xfy而言，有1124x，解之得：),21(31,(x。所以函数)21(xfy的定义域为),21(31,(总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关

2、键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x与21x的范围等同。2、 值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。材料二：若函数)1( xfy的值域为1 ,1，求函数)23( xfy的值域。解 析 ： 函 数)23(xfy中 定 义 域 与 对 应 法 则 与 函 数)1(xfy的 定 义 域 与 对 应 法 则 完 全 相 同 ， 故 函 数)23( xfy的值域也为 1 ,1。总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。3、 对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。材料三：设函数)(

3、xfy定义在实数集上，则函数) 1( xfy与)1(xfy的图象关于（）A、直线0y对称B 直线0 x对称C 直线1y对称D 直线1x对称解法一（定义证明） ：设点),(00yxP是函数)1( xfy的图象上的任意一点，则)1(00 xfy，),(00yxP关于直线mx的 对 称 点 为),2(00/yxmP， 要 使 点),2(00/yxmP在 函 数)1(xfy的 图 象 上 ， 则)21()2(1000mxfxmfy，应有121m，故1m，所以函数) 1( xfy与)1(xfy的图象关于直线1x对称。解法二（图象变换法） ：由函数)( xfy的图象向右平移1 个单位得到函数)1(xfy的

4、图象；由函数)(xfy的图象关于y轴对称得到函数)(xfy的图象，再向右平移1 个单位，得到)1()1(xfxfy的图象。如图所示，选 D。解法三（特值代入法） ： 由已知可得点)1(,0(fP在函数)1(xfy的图象上， 点)1(,2(fQ在函数)1(xfy的图象上，又点P、Q 关于直线1x对称，选 D。总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数)(xfy满足)()(xbfxaf，则函数)(xfy的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - -

5、 - - - - - - - 第 2 页 共 6 页自对称轴为2bax；函数)(xafy与)(xbfy的互对称轴为xbxa，即2abx4、 周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设)(xfy是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线1x对称。证明)(xfy是周期函数。证明：由)( xfy的图象关于直线1x对称，得)()2(xfxf，又)(xfy是定义在 R 上的奇函数，所以)()(xfxf)()2(xfxf，则)()()2()2(2)4(xfxfxfxfxf由周期函数的定义可知4 是它的一个周期。总结：一般地，)()(xfTxf,)(1)(xfTxf均可断定函

6、数的周期为2T。5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值。材料五： 已知)( xfy是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的Rba,，都满足：)()()(abfbafbaf。判断)( xfy的奇偶性，并证明你的结论。解析：令1ba，则)1(1)1(1)11(fff，得0)1(f；令1ba，则)1()1()1() 1()1()1(fff，得0)1(f；令1a，xb得)1()() 1()1(fxxfxf，得)()(xfxf因此函数)( xfy为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。6、 单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当加以配凑。材料六：设)( x

7、fy是定义在 -1， 1上的奇函数， 且对于任意的1 ,1,ba，当0ba时，都有：0)()(babfaf。若ba，试比较)( af与)(bf的大小。解析：)()()()()()()()(bababfafbfafbfaf，ba，0ba，又0)()(babfaf，0)()(bfaf，即)()(bfaf。总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到1)()(12xfxf（或1)()(12xfxf）来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。7、 可解性：由抽象式求解析式问题视)( xf为未知数，构造方程（组）。材料七：设函数)(xf满足xxxfxf1)1()(, )10(xx且，求)(xf。名师

8、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 6 页解析：以xx1代 x ，得xxxfxxf12)11()1(，, 以11x代 x ，得12)()11(xxxfxf， , + -得：xxxxxxf12121)(2所以)1(21)(23xxxxxf)10(xx且总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(xf，将其余的式子替换成)(xf，构造一个或几个方程，然后设法求解。8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题捕捉图象信息，数形结合

9、。材料八：如图所示，)( xfi)4,3,2,1(i是定义在 0，1上的四个函数，其中满足性质：“对 0，1中任意的1x和2x，任意1 ,0，)()1()()1(2121xfxfxxf恒成立”的只有（）A、)(1xfB、)(2xfC、)(3xfD、)(4xf解析：令21，则不等式变为2)()()2(2121xfxfxxf，可知函数)(xfi是一个凹函数，故只有)(1xf正确，选A。总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含

10、，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。课外练习：函数()fx是定义域在0，1上的增函数，满足( )2()2xfxf且(1)1f，在每个区间111(,22ii(1, 2,)i上，( )yfx的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。（1） 、求(0)f、1()2f及1()4f的值，并归纳出1()2if(1,2,)i的表达式；（ 2 ）、 直 线12ix，112ix， x 轴 及( )yfx的 图 象 围 成 的 图 形 的 面 积 为ia(1,2,)i， 记12( )lim ()nxS kaaa，求( )S k的表达式，并写出其定义域和最小值。（04，北京， 18）解析： （1）为了求(

11、0)f，只需在条件( )2()2xfxf中，令0 x，即有(0)2(0)ff(0)0f。由1(1)2()2ff及(1)1f，得111()(1)222ff。同理1111()()4224ff。归纳11()22iif(1,2,)i。（2） 、11122iix时，1111( )()22iifxk x，1111211111111()()(1)22222242iiiiiiiikak(1,2,)i。故na是首项为1(1)24k，公比为14的等比数列， 所以12()lim ()nxS kaaa1(1)224(1)13414kk。()S k的定义域是 01k，当1k时取得最小值12。名师资料总结 - - -精品

12、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 6 页抽象函数问题的“原型”解法抽 象 来 源 于 具 体 。 抽 象 函 数 是 由 特 殊 的 、 具 体 的 函 数 抽 象 而 得 到 的 。 如()(0)fxkx k有121212()()()()fxxk xxfxfx可抽象为()()()fxyfxfy 。那么y= k x 就叫做抽象函数()fx 满足()()()fxyfxfy 的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化

13、规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型” （函数）并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数( )fx的“原型”（函数）1、()( )()fxyfxfy ykx ( k 为常数） 2 、()()()fxyfx fy y=xa （ a 0 且 a 1）3、()()()fxyfxfylogayx ( a 0 且 a 1) 4、()()()fxyfxfy nyx ( n 为常数）5、( )(

14、)2()()22xyxyfxfyff或()()2()()fxyfxyfxfyy=cosx (为常数） 6、( )()()1()()fxfyfxyfxfyy=tanx二、 “原型”解法例析【例 1】 设函数( )fx 满足( )()2()()22xyxyfxfyff，且 f (2)=0， x 、yR；求证：()fx为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由( )()2()()22xyxyfxfyff想：12coscosxx =2cos221xxcos221xx原型：y=cos x ，为周期函数且2为它的一个周期。猜测：( )fx 为周期函数， 2为它的一个周期令1x = x +，2x =则(

15、)( )2()()22fxfxfxf=0 ()( )(2)( )fxfxfxfx( )fx为周期函数且2是它的一个周期。【例 2】 已知函数( )fx 满足1()(1)1()fxfxfx，若(0)2004f，试求 f (2005) 。分析与略解：由1( )(1)1( )fxfxfx想：tan( x +4)=1tan1tanxx原型：y=tanx 为周期函数且周期为44=。猜测：()fx 为周期函数且周期为41=4 1(1)(2)(1)11(1)fxfxfxfx=)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf=-)(1xf1(4)(2)2( )(2)fxfxfxfxf ( x +4)=()fx(

16、)fx 是以 4 为周期的周期函数又 f(2)=2004 1(2004)(2005)(20041)1(2004)ffff=1(0)1(0)ff=1200412004=-20052003f(2005)=-20052003【例 3】 已知函数()fx 对于任意实数x 、y都有()( )()fxyfxfy，且当 x 0 时，( )fx 0，f (-1)=-2，求函数()fx 在区间 -2 ， 1 上的值域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - -

17、- - - - - 第 5 页 共 6 页分析与略解：由：()( )( )fxyfxfy想：k( x +y)=k x +ky原型：yk x （k为常数）为奇函数。k0 时为减函数，k0 时为增函数。猜测：( )fx为奇函数且( )fx为 R上的单调增函数，且()fx在 2,1 上有()fx 4,2 设1x 0 f (2x 1x )0 212111()()()()fxfxfxxxfx=2111()()()fxxfxfx=21()fxx0 21()()fxfx, ()fx 为 R上的单调增函数。令 x =y=0, 则 f (0)=0, 令y= x ，则 f ( x )= ()fx( )fx 为 R

18、上的奇函数。 f (-1)=- f (1)=-2 f (1)=2 ， f (-2)=2f (-1)=-4 -4 ()fx 2(x -2,1) 故( )fx 在-2,1上的值域为 -4 ，2 【例 4】 已知函数( )fx 对于一切实数x 、y满足 f (0) 0，()()()fxyfxfy ，且当 x 0 时，( )fx 1 （1）当 x 0 时，求( )fx 的取值范围（2）判断()fx在 R上的单调性分析与略解：由：()()()fxyfxfy想：xyxyaa a原型：y=xa （ a 0,a 1） ，0a=10。当 a 1 时为单调增函数，且x 0 时，y1， x 0 时，0y1；0a1

19、时为单调减函数，且x0 时，y1，x0 时，0y1。猜测：()fx为减函数，且当x 0 时，0()fx1。（1）对于一切x 、yR，()()()fxyfxfy且 f (0) 0 令 x =y=0，则f(0)=1 ，现设 x 0，则 - x 0，f(-x ) 1 又f(0)=f( x - x )= ()fx()fx=1 ()fx=)(1xf1 0()fx 1 （2）设1x 2x ，1x 、2x R，则1x 2x 0， f (1x 2x ) 1 且)()()()()()()()(212221222121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf1 12()()fxfx， f(x) 在 R上为单调减函

20、数【例 5】 已知函数()fx定义域为 (0,+ ) 且单调递增，满足f(4)=1 ，()()()fxyfxfy（1）证明：f(1)=0 ；(2) 求f(16) ； （3）若()fx+ f( x -3) 1，求 x 的范围；（4）试证f(nx )= n()fx（nN）分析与略解：由：()()()fxyfxfy想： logloglogaaaxyxy （ x 、yR+）原型：logayx （ a 0， a 0）猜测：()fx有f(1)=0 ，f(16)=2 ，,（1）令 x =1，y=4，则f(4)=f(1 4)=f(1)+f(4) f(1)=0 （2）f(16)=f(4 4)=f(4)+f(4)

21、=2 (3)()fx + f ( x 3)= f x ( x 3) 1= f (4) ()fx在（ 0， +）上单调递增(3)414303430 x xxxxxxx （ 3，4 （4）()()()fxyfxfy()()()nnfxfxxxxnfx个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 6 页【例 6】 已知函数()fx对于一切正实数x 、y都有()()()fxyfxfy且 x 1 时，()fx1， f

22、(2)=91(1) 求证：()fx0； （2）求证：11()()fxfx（3）求证：()fx在（ 0，+）上为单调减函数（4）若()fm=9，试求 m 的值。分析与简证：由()()()fxyfxfy，想：1212()nnnx xx x原型：nyx（ n 为常数（y=2x）猜测：()fx 0，在（ 0，+）上为单调减函数， ,(1) 对任意 x 0，()fx=()fxx)=2()fx0 假设存在y 0，使()fy=0，则对任意x 0 ()fx=f()xfyy=()()xffyy=0，这与已知矛盾故对任意 x 0，均有()fx 0 （2）()(1)()(1)fxfxfxf，()fx0, f (1)

23、=1 ()fxf(x1)=f(x1 x )=f(1)=1 11()()fxfx(3)1x 、2x (0,+ ) ，且1x 2x ，则12xx1，f(12xx) 1，22211111()()()()()xxfxfxffxfxxx即21()()fxfx()fx在（ 0，+）上为单调减函数。（4）f(2)=91，f( m )=9 f(2)f( m )=1 f(2 m )=1=f(1)，而()fx在 (0 ，+ ) 是单调减函数2 m =1 即 m =21综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象具体抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -