2022年抽象函数与具体函数值域的求法 .pdf
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1、1 抽象函数与具体函数值域的求法例 1 已知函数 f(x)对任意实数x、y 均有 f(xy)f(x)f(y),且当 x0时, f(x)0, f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析:先证明函数f( x)在 R 上是增函数(注意到f(x2) f(x2x1)x1f(x2x1) f( x1);再根据区间求其值域. 例 2 已知函数 f(x)对任意实数x、y 均有 f(xy) 2f(x)f(y),且当 x0 时, f(x)2,f(3) 5,求不等式f(a22a2)0,xN; f(ab)f(a)f(b), a、 bN;f(2) 4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明
2、理由. 分析:先猜出f(x)2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在( 0,)上的单调增函数,满足f(xy) f(x)f(y), f(3) 1,求:(1)f(1);(2) 若 f( x) f(x8) 2,求 x 的取值范围 . 分析:( 1)利用 31 3;(2)利用函数的单调性和已知关系式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 2 例 7 设函数 y f(x)的反函数是y g(x).如果 f(ab)
3、 f(a) f(b),那么 g(ab) g(a) g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设 f( a)m,f(b) n,则 g( m) a,g(n)b,进而 mn f(a) f(b)f(ab) f g(m)g(n). 例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: x1、x2是定义域中的数时,有f(x1x2); f(a)1(a0,a 是定义域中的一个数); 当 0 x2a 时, f(x)0. 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由;(2) 在( 0,4a)上, f(x)的单调性如何?说明理由. 分析:( 1)利用 f ( x1x2) f (x1x2),判定 f(x)是
4、奇函数;(3) 先证明 f(x)在( 0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意 .有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f(x)( x0)满足 f(xy) f(x) f(y),(1) 求证: f( 1) f( 1) 0;(2) 求证: f( x)为偶函数;(3) 若 f( x)在( 0,)上是增函数,解不等式f(x) f(x) 0. 分析:函数模型为:f(x)loga|x|(a
5、0)(1) 先令 xy 1,再令 x y 1;(2) 令 y 1;(3) 由 f( x)为偶函数,则f(x) f(|x|). 例 10 已知函数f(x)对一切实数x、y 满足 f(0)0,f(xy)f(x) f(y),且当 x0 时, f(x)1,求证:(1) 当 x0 时, 0f(x) 1;(2)f(x)在 xR 上是减函数 . 分析:( 1)先令 xy0 得 f(0) 1,再令 y x;(3) 受指数函数单调性的启发:由 f(xy) f(x)f(y)可得 f(x y),进而由 x1x2,有f(x1x2)1.练习题:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 3 1.已知: f(xy)f(x) f(y)对任意实数x、y 都成立,则()(A)f(0) 0 (B)f(0)1 (C)f(0) 0 或 1 (D)以上都不对2. 若对任意实数x、y 总有 f(xy) f(x) f(y),则下列各式中错误的是()(A)f(1) 0 (B)f() f(x)(C)f()f( x)f(y)(D) f(xn) nf(x)( nN)3.已知函数 f(x)对一切实数x、y 满足: f(0) 0,f(xy)f(x)f(y),且当 x0
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