2022年抽屉原理典型习题 .pdf

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1、抽屉原理规律：用物体数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1；若除数为零，则“答案”为商抽屉原则一：把n 个以上的物体放到n 个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。抽屉原则二：把多于m x n 个物体放到 n 个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（ m+1）个苹果。一、基础训练。1、把 98个苹果放到 10 个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少有 _个苹果。2、1000 只鸽子飞进 50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少有 _只鸽子。3、从 8 个抽屉里拿出 17 个苹果，无论怎么拿，

2、我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出 _个苹果。4、从_个抽屉中（填最大数）拿出25 个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它当中至少拿出 7 个苹果。二、拓展训练。1、六（ 1）班有 49 名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3 人外，均在 86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4 人成绩相同”。王老师说的对吗？为什么2、从 1、2、3, ，100这 100个数中任意挑出51个数来，证明这51个数中，一定有（1）2 个数互质（2）有两个数的差是50 100 个中，有50 个奇数， 50 个偶数，而奇数和偶数必定互质，所以51 个数字中，比有一对奇偶数是互质的。3、

3、圆周上有 2000 个点，在其上任意地标上0、1、2, 、1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数） ，求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个数和这点上所标的三个数之和不小于 2999. 4、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200 个信号中至少有四个信号完全相同。解：四种颜色的小旗取出三面共可组成444=64 种信号 ( 注三面可以是同色的 ) ，则将 200看作苹果， 64 种信号看作 64 个抽屉，由抽屉原则知至少有4 个苹果在同一抽屉中，即至少有 4 个信号完全相同。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5、在圆周上放着 100 个筹码，其中有 41 个红的和 59 个蓝的，那么总可以找到两个红筹码，在他们之间刚好有19 个筹码，为什么？6、试卷上有 4 道题，每题有 3 个可供选择的答案，一群学生参加考试，结果对于其中任何三 人都有一道题目的答案互不相同，问：参加考试的学生最多有多少人？7、一次数学竞赛，有75 人参加，满分为 20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是 980分，至少有几分得分相同 ? 8、某校六年级学生有31 人是四月份出生的，请证明：至少

5、有两人在同一天出生。9、袋子里有四种不同颜色的小球，每次摸出2 个，要保证 10 次所摸得的结果是一样的，至少要摸多少次？10、一副扑克牌共有54 张，从中取出多少张，才能保证其中必有3 种花色。11、图书角剩下科技书和文艺书各4 本，现在有 4 个学生来借阅，每人从中借2 本，请你证明，必有两名学生借阅的图书完全相同。12、在一条长 100 米的小路一旁种上101 棵小树，不管怎么种， 至少有两棵树苗之间的距离不超过 1 米。13、六年级有男生 57 人，证明：至少有两名男生在同一个星期过生日。14、19 朵鲜花插入 4 个花瓶里，证明：至少有一个花瓶里要插入5 朵或 5 朵以上的鲜花。14

6、、某旅行团一行50 人，随意游览甲、乙、丙三地，至少要有多少人游览的地方完全相名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 同？小升初“抽屉原理”讲解例 5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20 克到 20.1 克之间。现在需要重量相差不超过0.005 克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？解：把 2020.1克之间的盘子依重量

7、分成20 组：第 1 组：从 20.000克到 20.005 克；第 2 组：从 20.005克到 20.010 克； 第 20组：从 20.095 克到 20.100 克。这样，只要有21 个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2 个盘子就符合要求。例 6 在圆周上放着100 个筹码，其中有 41个红的和 59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19 个筹码，为什么？分析：此题需要研究 “ 红筹码 ” 的放置情况，因而涉及到“ 苹果” 的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“ 苹果” 之间有 19个筹码。解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，

8、2，100。然后依照以下规律将100 个筹码分为 20 组：（1，21，41，61，81）；（2，22，42，62，82）； （20，40，60，80，100）。将 41个红筹码看做苹果， 放入以上 20 个抽屉中， 因为 41=2 201，所以至少有一个抽屉中有 2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5 个筹码中有 3 个红色筹码，而每组的5 个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2 个相邻筹码之间都有19 个筹码，那么3 个红色筹码中必有2 个相邻（这将在下一个内容第二抽屉原理中说明），即有2 个红色筹码之间有19 个筹码。下面我们来考虑另外一种情况：若把5 个苹果放到 6 个抽屉中，则必然有

9、一个抽屉空着。这种情名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 况一般可以表述为：第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入 n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。例 7 在例 6 中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5 个筹码，其中有3 个是同色的，那么这 3 个同色的筹码必有2 个相邻。分析：将这个问题加以转化：如右图，将同色的3 个筹码 A，B，C 置于圆周上，看是否能用另外2 个筹码将其隔开。解：如图

10、，将同色的3 个筹码放置在圆周上，将每2 个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2 个苹果放入 3 个抽屉中，则必有1 个抽屉中没有苹果，即有2 个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2 个筹码必相邻。例 8 甲、乙二人为一个正方形的12 条棱涂红和绿2 种颜色。首先，甲任选3 条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3 条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6 条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4 条棱全部涂上红色？解：不能。如右图将 12 条棱分成四组：第一组： A1B1 ，B2B3，A3A4 ，第二组： A2B2 ，B3B4，A4A1 ，第三组： A3B3 ，B4B1，A1A2

11、，第四组： A4B4 ，B1B2，A2A3 。无论甲第一次将哪3 条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的 3 条棱涂绿，甲就无法将某一面的4 条棱全部涂红了。下面我们讨论抽屉原理的一个变形平均值原理。我们知道 n 个数 a1，a2，an的和与 n 的商是 a1，a2，an这 n 个数的平均值。平均值原理： 如果 n 个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。例 9 圆周上有 2000 个点，在其上任意地标上0，1，2，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不

12、小于 2999。解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，a2000，则其和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - a1a2+a2000=0+1+2+ +1999=1999000 。下面考虑一切相邻三数组之和：（a1a2a3）+（a2a3a4）（a1998+a1999 a2000）（ a1999a2000a1）（a2000a1a2）=3（a1a2a2000）3 1999000。这 2000 组和中必至少有一组和大于或等于但因

13、每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。例 10 一家旅馆有 90 个房间，住有100 名旅客，如果每次都恰有90 名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100 名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？解：如果钥匙数小于990，那么 90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此 90 个人就无法按题述的条件住下来。另一方面， 990 把钥匙已经足够了，这只要将90 把不同的钥匙分给90个人，而其余的10 名旅客，每人各

14、90 把钥匙（每个房间一把），那么任何90 名旅客返回时，都能按要求住进房间。最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。例 11 设有 4 28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28 个小方格，由抽屉原理知，至少有 10 个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10 个小方格就在第一行的前10列。下面考察第二、三、四行中前面10 个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：（1）这三行中，至少有一行，其前面10 个小

15、方格中，至少有2 个小方格是涂有红色的，那么这 2 个小方格和第一行中与其对应的2 个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。（2）这三行中每一行前面的10 格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 前三列中，那么其余的3 7 个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。我们先考虑这个3 7 的长方形的第一行。根据抽屉原理，至少有4 个小方格是涂上

16、同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第1 至 4 列。再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：（1）这 4 格中，至少有 2 格被涂上蓝色，那么这2 个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的 2 个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色。（2）这 4 格中，至多有 1 格被涂上蓝色，那么，至少有3 格被涂上黄色。不妨设这3 个小方格就在第二行的前面3 格。下面继续考虑第三行前面3 格的情况。用蓝、黄两色涂3 个小方格，由抽屉原理知，至少有2 个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形。总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -